2. Die Welle-Teilchen-Dualität 2.1. Die de-Broglie-Wellenlänge

1. ...sind e.m.-Wellen ...und masselose Teilchen Hypothese:( de-Broglie 1924, Nobelpreis 1929 ) Umgekehrt haben auch ,,Teilchen” (Elektronen, Atome, Kristalle, Katzen, ...) Wellencharakter mit Nichtrelativistische ,,Teilchen” der Masse m: de-Broglie-Wellenlänge 2. Die Welle-Teilchen-Dualität 2.1. Die de-Broglie-Wellenlänge Photonen:

2. Kristallbeugung ist möglich (Experiment: Davisson, Germer 1926, Nobelpreis 1937) U  100V  0,12nm Gitterkonstanten  ( 0,3  0,7 ) nm X-Rays e Kantenbeugung am MgO-Einkristall Beispiel: Elektronenbeugung Beschleunigungsspannung: mec2 511keV U ≪ 511kV

3. Beispiel: Elektronenbeugung am Youngschen Doppelspalt Zählrate Exp.: Schwacher Elektronenstrahl  Auftreffen von Einzelelektronen Folgerung: Einzelne Elektronen interferieren mit sich selbst! l s ≫ l intensiver Elektronenstrahl Doppelspalt, l,≫Spaltbreiten Interferenz von 2 Punktquellen Detektor/Film

4. passive Ladungssonde passive Ladungssonde Zählrate l Elektronenstrahl  Elektronen nehmen jeden möglichen Weg gleichzeitig? Experiment: Detektiere den Weg jedes Elektrons mit passiven Sonden. Beobachtung: Das Zweistrahl-Interferenzmuster verschwindet, sobald die Sonden aktiviert werden. Durch die (,,passive“) Messung wurde die quantenmechanische ,,Kohärenz” zerstört. Jede Messung ändert das gemessene System!

5. optisches Analogon: Fresnelsches Biprisma I(y) n l O d ≫ Basislänge s ≫ l N(y) 0 V HV HV Kathodenstrahl-Quelle Metallfaden,   O(m) 0 V Realisierung des Doppelspaltexperiments (Düber, Möllenstedt):

6. Einfachster Fall: Die Bewegung einer Punktmasse m wird durch deren komplexe Wellenfunktion beschrieben. Physikalische Bedeutung: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte am Ort zur Zeit t Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Volumen d3r um zur Zeit t Bewegungsgleichung im Potential V: Schrödingergleichung: ( lineare Dgl.) (Schrödinger 1926, Nobelpreis 1933) 2.2. Die Wellenfunktion(Zusammenfassung, Details  Theorie)

7. mit nichtlinearer Dispersionsrelation: de Broglies Ansatz: ✔ Lösung für freie Teilchen (V  0):Wellenpaket ( Superposition ebener Wellen)

8. Wahrscheinlichkeitserhaltung: Wahrscheinlichkeitsdichte: Wahrscheinlichkeitsflussdichte: Kontinuitätsgleichung: Ortsraum und k-Raum (bzw. Impulsraum): Ortsraum: Impulsraum:

9. Ort: Impuls: Impulsoperator (hermitescher) Messoperator Ô: Quantenmechanische Unschärfe der Messgröße Ô: Standardabweichung (vgl. Praktikum) Klassischer Grenzfall ( ): klassischer Messwert ≙,,Erwartungswert“

10. Analogie zur Optik Wellenbild Unschärferelationen Beispiel:Orts / Impuls-Unschärfe (Gleichheit gilt für gaußförmige Wellenpakete) Spezialfall:Energie/Zeit-Unschärfe Anwendung:Lebensdauer  angeregter Zustände, radioaktiver Kerne,...  natürliche Linienbreite: 2.3. Die Heisenbergsche Unschärferelation (Heisenberg 1927, Nobelpreis 1932)  Gilt für alle über Fouriertransformationen verknüpfte Messgrößen

11. x völlig unbestimmt Experiment: Elektronenbeugung am Spalt x e N x ≪ 1 b ebene Welle

12. Gedankenexperiment: Auflösungsgrenze des Mikroskops Punktabbildg. durchs Okular/Auge d Objektiv   D px Rückstoß x x bessere Ortsauflösung größere Impulsverschmierung  kleiner  Punktabbildg. durchs Okular/Auge d Objektiv  D x Teilchen Punktabbildg.  Photonen im Kegel      ununterscheidbar Beugung  Photonen aus Kegel  ununterscheidbar

13. Ansatz: mit Stationäre Schrödingergleichung potentielle Energie Operator der kinetischen Energie Gesamtenergie Eigenzustände mit fester (erhaltener) Energie Spektrum der zugehörigen Energieeigenwerte Lösung ( Theorie)  2.4. Potentialkästen Betrachte stationäre Potentiale: (zunächst 1-dimensional) Hier: Anschauliche Darstellung und Computersimulationen

14. E2 E1 E0 • Es gibt eine Nullpunktsenergie: 2.4.1. Rechteckpotentiale   E Randbedingung: a Déjà vu: wie schwingende Saite  sinusförmige Eigenmoden, quantisierte Frequenzen E  0 0 a x Teilchen in unendlich hohem Rechteck-Potentialtopf • En wächst quadratisch mit der Quantenzahl n. Anders als Photonen! • E↗ Knoten von ↗  Krümmung von ↗. • a↘ E wächst quadratisch.

15. Computer-Exp.: Teilchen in endlich hohem Rechteck-Potentialtopf E V0 E2 E1 E0 E  0 0 a x • Teilchen dringt in energetisch verbotenen Bereich VE ein; dort fällt die Wellenfunktion exponentiell ab. • Es gibt nur noch endlich viele diskreteEnergiezustände mit EnV0 . • Oberhalb der Ionisationsenergie V0 entsteht ein Energiekontinuum freier Zustände.

16. E E3 E2 E1 E0 E  0 Theorie  0 x Teilchen im harmonischen Potential Im harmonischen Oszillator-Potential unterscheiden sich benachbarte Energie-Niveaus um das Energiequantum . Dabei ist  die klassischeEigenfrequenz des Oszillators.  Plancksche Quantenhypothese: Übergänge durch Absorption oder Emission von Energiequanten (z.B. Photonen oder Phononen) 2.4.2.Harmonischer Oszillator Qualitativ: Unendliche Folge von Kastenpot. wachsender Höhen • Unendl. Folge diskreter Niveaus • Exp. Dämpfung in verbotenen Bereichen • Es gibt eine Nullpunktsenergie • Energiequantenzahl n  Knoten

17. E E V0 V0 0 0 x x Untersuche die monoenergetischenharmonischen Teilwellen des Wellenpakets 2.5. Der Tunneleffekt 2.5.1. Potentialstufen • Rechteckstufe enthält die wesentliche Physik • Form der Stufe  Details

18. quantenmechanisch Überlagerung: einlaufend  reflektiert x  verbotene Zone: exponentielle Dämpfung x • : klassisch V0 E 0 x R, T  Reflexions-, Transmissionskoeffizienten für Aufenthaltswahrscheinlichkeiten

19. quantenmechanisch auslaufend x   einlaufend  reflektiert x • : klassisch E V0 0 x • Bemerkung: • Gilt auch bei negativen Potentialstufen. • Wellenpaket  Überlagerung aller harmonischen Teilwellen.

20. E V0 0 x E V0 Untersuche die monoenergetischenharmonischen Teilwellen des Wellenpakets 0 x a 2.5.2. Potentialbarrieren • Rechteckbarriere enthält die wesentliche Physik • Barrierenform  Höhe und Breite

21. quantenmechanisch exponentielle Dämpfung  x  getunnelte Welle x • : klassisch V0 E 0 x

22. quantenmechanisch x    x 1 R Interferenz der reflektierten Teilwellen Tunneleffekt T 0 0 1 2 3 • : klassisch E V0 0 x

23. z Emission Proton E Elektron Coulombfeld 0 z VCoulomb Vextern Eexternz Vtot E2 E1 e e E0 Exp. Test des Tunneleffekts (1): Feldemission des Wasserstoffs Tunneleffekt

24.  r E VCoulomb starke Kernkraft Atomkern Ladung  Ze Tunneleffekt 0 r VKern Vtot Experimenteller Test des Tunneleffekts (2): -Zerfall von Kernen -Teilchen  Helium-Kern (2Protonen  2Neutronen), Ladung  2e

25. z N V Tunneleffekt H H V0 z Symmetrische Bindungsposition Stabile Bindungsposition Exp. Test des Tunneleffekts (3): Tunnelschwingung des NH3-Moleküls Bindungsenergie des N-Atoms in H3-Ebene: H