Álgebra Linear (Parte 1) (C. T. Chen, Capítulo 3)

1. Álgebra Linear(Parte 1)(C. T. Chen, Capítulo 3) Sistemas Lineares

2. Introdução Sejam as matrizes reais Anxm, Bmxr, Clxn, Drxp. Seja ai a i-ésima coluna de A e bja j-ésima linha de B. Então - aibi é uma matriz nxr (ai é nx1 e bi é 1xr) - biai só existe se n=r. Neste caso, o resultado é um escalar.

3. Bases, representação e ortonormalização Seja o espaço linear real de dimensão n (n-dimensional) Cada vetor em é uma n-upla, e é dado por , que normalmente escrevemos de forma transposta, por economia de espaço, como

4. A dimensão de um espaço linear pode ser definida como o número máximo de vetores linearmente independentes no mesmo. Logo, em podemos ter no máximo n vetores LI

5. Base e representação

6. Base ortonormal

7. Exemplo 2 q2 2 i2 -1 q1 0.5 q2

8. Normas de vetores

9. Norma 1 Norma 2, quadrática ou Euclidiana Norma ∞

10. Ortonormalização Um vetor é dito normalizado se sua norma Euclidiana é 1, ou seja, Observe que é um escalar e é uma matriz nxn.

11. Ortonormalização Dado um conjunto de vetores LI Pode-se obter um conjunto ortonormal através do seguinte procedimento:

12. Ortonormalização de Schmidt

14. Equações algébricas lineares Range spacede A se traduz como espaço imagem ou espaço de colunas de A

15. Exemplo

17. Espaço imagem de A

18. Espaço nulo de A

19. Teorema da existência de soluções

20. Teorema da parametrização das soluções

21. Exemplo

22. Corolário

23. Determinante e inversa de matrizes quadradas

26. Transformação de similaridade Seja uma matriz quadrada . Ela mapeia nele mesmo. Se associarmos a a base ortonormalem (3.8), então a -ésima coluna de é a representação de na base ortonormal. Agora, selecionando um conjunto diferente como base, a saber, , a matriz terá uma representação diferente, . Daí, a-ésima coluna de é a representação de na base . Isto é ilustrado pelo exemplo a seguir:

27. Exemplo 3.4

28. Continuação...

29. Caso geral • Seja A uma matriz n por n