Co to jest MIARA ?

2. POMIAR I MIARAGRUPA 97_27_MFG1kompetencje MATEMATYCZNO-FIZYCZNEopiekun KRYSTYNA CHMIELEWSKAsemestr IV rok szkolny 2011/2012III LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE W OSTROWIE WIELKOPOLSKIM

3. Co to jest MIARA ? • Miara (wielkości fizycznej lub umownej) – liczbowy wynik pomiaru danej wielkości, wartość wielkości fizycznej lub umownej wyrażona w postaci iloczynu liczby (wartości liczbowej wielkości), określającej stosunek wartości wielkości do jednostki miary (czyli wskazującej, ile razy wartość ta jest większa lub mniejsza od jednostki miary) i jednostki miary tej wielkości

4. Co to jest POMIAR ? • Pomiar – według współczesnej fizyki proces oddziaływania przyrządu pomiarowego z badanym obiektem, zachodzący w czasie i przestrzeni, którego wynikiem jest uzyskanie informacji o własnościach obiektu. • Pomiar jest to zespół czynności wykonywanych w celu ustalenia miary określonej wielkości fizycznej lub umownej, jako iloczynu jednostki miary oraz liczby określającej wartość liczbową tej wielkości, inaczej mówiąc porównywanie wartości danej wielkości z jednostką miary tej wielkości.

5. SPIS TREŚCI Układ jednostek SI Miara Jordana Ogólne pojęcia miary zbioru Eksperyment – pomiar prędkości światła Doświadczenie – pomiar wysokości wieży kościelnej Doświadczenie – pomiar wysokości wieży kościelnej Doświadczenie – pomiar obszaru boiska wielofunkcyjnego

6. Co to jest układ Si ? • Układ SI (franc. Système International d'Unités) – Międzynarodowy Układ Jednostek Miar zatwierdzony w 1960 (później modyfikowany) przez Generalną Konferencję Miar. Jest stworzony w oparciu o metryczny system miar. Jednostki w układzie SI dzielą się na podstawowe i pochodne. • W Polsce układ SI obowiązuje od 1966, obecnie został oficjalnie przyjęty przez wszystkie kraje świata z wyjątkiem Stanów Zjednoczonych, Liberii i Birmy.

7. Wzorzec kilograma

8. Historia • Układ SI powstał ze starego układu MKS, do którego należał metr, kilogram i sekunda. W 1954 roku dołączono jako podstawowe jednostki amper, kelwina oraz kandelę, natomiast sam Międzynarodowy Układ Jednostek Miar został zatwierdzony na XI Generalnej Konferencji Miar w 1960 roku. Po obradach XIV Generalnej Konferencji Miar w 1971 r. do klasy jednostek podstawowych został włączony mol określający liczność materii. Natomiast na XX, w październiku 1995 roku do klasy jednostek pochodnych włączono jednostki występujące dotychczas jako jednostki uzupełniające - radian i steradian.

9. Jednostki podstawowe

10. Jednostki pochodne Jednostkami pochodnymi nazywamy wszystkie pozostałe jednostki wielkości fizycznych, zarówno te posiadające własne nazwy jak np. wat (W) czy dioptria (δ), jak i te, które ich nie posiadają i są wyrażane za pomocą jednostek podstawowych, np. przyspieszenie nie posiada swojej nazwy jednostki i wyrażane jest za pomocą metra i sekundy -

11. Jednostki pochodne

12. Miara Jordana • Niech D będzie obszarem lub dowolnym zbiorem płaskim ograniczonym (np. sumą obszarów, krzywych i punktów). Zamknijmy go w pewien kwadrat Q, podzielmy Q na skończoną ilość prostokątów domkniętych p1, p2, …, pn i oznaczamy 10 przez Sn sumę pól tych prostokątów, które zawierają (zewnątrz lub na brzegu) jakiś punkt zbioru D; 20 przez sn sumę pól tych prostokątów pk , których każdy punkt należy do zbioru D (jeżeli takich p nie ma, przyjmujemy Sn=0). • Zbiór wszystkich sum Sn odpowiadającym różnym podziałom kwadratu Q na n prostokątów i różnym n- 1,2,… ma pewien kres dolny Sn , który nazywamy miarą zewnętrzną zbioru D. Podobnie zbiór sum sn ma pewien kres górny sn , który nazywamy miarą wewnętrzną zbioru D, oczywiście sD < SD .

13. Jeżeli sd= SD , to zbiór D nazywamy mierzalnym powierzchniowo w sensie Jordana, a wspólną wartość obu miar nazywamy miarą płaską Jordana(lub polem) zbioru D. • Dowodzi się, że tak określone ,,pole” nie zależy od wielkości ani od położenia kwadratu Q i że dla figur takich, jak trójkąt, wielobok, koło ,,pole” to zlew się z polem znanym w geometrii elementarnej. Istnieją jednak zbiory, a nawet obszary niemierzalne, tj. takie, dla których sD< SD. Zbiór (reprezentowany na rysunku przez obszar wewnątrz niebieskiej krzywej) jest mierzalny w sensie Jordana wtedy i tylko wtedy, jeśli może być dobrze przybliżony tak od wewnątrz jak i od zewnątrz przez sumy prostokątów (ich brzegi oznaczone są odpowiednio ciemną zielenią i ciemnym różem).

14. Ogólne pojęcia miary zbioru: • Miara zbioru (figury) – funkcja, która niektórym zbiorom (figurą) przyporządkowuje nieujemne liczby rzeczywiste. W przypadku figur znajdujących się na prostej miarą tą jest długość, na płaszczyźnie- pole, w przestrzeni trójwymiarowej- objętość. Najczęściej spotykanymi miarami są miara Jordana i Lebesgue’a .

15. Metryka: • Metryka (In. odległość)- funkcja d określona na iloczynie kartezjańskim gdzie X jest niepustym zbiorem, przyjmująca wartości rzeczywiste nieujemne.

16. Aby istniała metryka muszą być spełnione następujące warunki: • d(x,y)=0 wtedy i tylko wtedy gdy x=y ; oznacza to, ze odległość miedzy dwoma punktami wynosi 0 wtedy i tylko wtedy, gdy punkty te pokrywają się. • D(x,y)= d(y,x) dla dowolnych x, y należących do zbioru X ; tzn. że odległość między dwoma punktami, nie zależnie czy mierzona od punktu x do punktu y, czy też od punktu y do punktu x jest zawsze taka sama • D(x,y) + d(y,z) ≥ d(x,z) dla dowolnych x,y,z należących do zbioru X. Jest to tzw. Nierówność trójkąta i oznacza ona, że odległość między dwoma punktami x,z mierzona pośrednio przez y jest większa bądź równa odległości między tymi punktami mierzonej bezpośrednio od x do z. Liczbę d(x,y) nazywamy odległością liczb x i y

17. Przykłady metryk: • metryka na prostej rzeczywistej jest określona • wzorem d(x,y)= |x-y| • oznacza on zwykłą odległość przestrzeni euklidesowej jednowymiarowej; na płaszczyźnie odległość między dwoma punktami o współrzędnych: x=(x1,x2) i y=(y1+y2) dana jest wzorem d(x,y). Ciekawym przykładem jest tzw. Metryka rzeka. Charakteryzuje sytuacje w pewnym kraju zarośniętym gęsto lasami, przez który przepływa rzeka y=0 . Mieszkańcy tego kraju aby móc zaopatrywać się w wodę, wytyczyli ścieżki prowadzące od ich domu prostopadłe do rzeki. Aby dostać się tam z miejsca do miejsca , trzeba iść do rzeki, popłynąć rzeką tak daleko żeby znaleźć się w punkcie rzeki najbliższym punktu ( i znowu przejść ścieżką przez las. • Odległość tę można zobrazować jaką najkrótszą drogę, którą przebędzie taksówkarz wiozący pasażera z miejsca z1 do miejsca z2 w mieście, w którym wszystkie ulice przecinają się pod kątem prostym. Przejedzie on najpierw ulicą x1 aż do skrzyżowania z ulicą y1 dojeżdżając do miejsca z2 .

18. Pomiar prędkości światła W CELU ODTWORZENIA FILMU, KLIKNIJ W CZARNY PROSTOKĄT

19. Wysokość wieży Kościelnej Wieża o wysokości H daje cień 21,5 m, podobnie osoba o wysokości 185 cm daje cień 148 cm.

20. Obliczamy wysokość wieży korzystając z twierdzenia Talesa.

21. W ten sposób, otrzymaliśmy przybliżoną wartość wysokości wieży kościelnej równą 26,9 m.

22. Pomiary stawu w parku miejskim

23. Powierzchnia parku stanowi 60292 m2, w tym trawników 17010 m2, a 6256 m2 to powierzchnia stawu parkowego. Park ograniczony jest ulicami: od strony południowej – ul. Ks. Jana Kompały, od wschodu – ul. Piłsudskiego, od północy – ul. Ledóchowskiego, od zachodu – Aleja Powstańców Wielkopolskich, gdzie naprzeciwko parku znajduje się Urząd Miasta.

25. Pomiary długości i szerokości stawu • Zadanie: • mierzymy długość i szerokość stawu za pomocą kroków (1 krok= 1m), • porównujemy pomiary z dokładnymi danymi uzyskanymi z mapy (w skali) • obliczamy błąd przybliżenia

27. Pomiary w terenie: a= 117m b= 78 • Dane z mapy: a’= 123m b’= 80m • Błąd względna: A=|a’-a|*100% /a’ B=|b’-b|*100% /b’ A=|123-117|*100% /123= 4,88% B=|80-74|*100% /80= 7,5%

28. Obszar boiska szkolnego • Boisko szkolne – wielofunkcyjne składa się z obszaru przeznaczonego do użytku sportowego ( wymiary tego elementu będziemy się starali uzyskać ) oraz otaczającej go „ścieżki” z kostki brukowej. • Do przeprowadzenia pomiaru wykorzystamy jedynie miarę o długości 5 m oraz kartkę i długopis do podstawowych obliczeń.

29. Układ Boiska Obszar Właściwy Kostka Brukowa

30. Podczas mierzenia miarą uzyskaliśmy dane mówiące, iż wielkość całego obszaru to • 33m x 48,5m. Udało nam się również zmierzyć, iż szerokość „ścieżki” to 1 m. • Dzięki temu po odjęciu szerokości ścieżki od każdego z boków uzyskaliśmy wynik – • 31m x 45,5m!

32. WNIOSKI: 1. Pojęcia pomiar i miara mają podstawowe znaczenie w matematyce i fizyce, ich podstawach teoretycznych i zastosowaniach praktycznych. 2. Pomiary można wykonywać w sposób bardzo prosty lub przy użyciu różnych urządzeń, zawsze należy uwzględnić błędy pomiaru. 3. Pojęcie miary w matematyce ma różne zastosowania, np. w geometrii i rachunku prawdopodobieństwa.

33. BIBLIOGRAFIA • W.Babiański, L.Chańko,D.Ponczek, Matematyka1, wyd. VIII,2002. • Franciszek Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych, Warszawa, 1975 • http://pl.wikipedia.org/wiki/Uk%C5%82ad_SI • http://tvpw.pl/videos/175/Jak_zmierzyc_predkosc_swiatla_w_mikrofalowce