MATEMÁTICAS A. CS II

1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema V Programación Lineal Apuntes 2º Bachillerato C.S.

2. PRODUCCIÓN Y TRANSPORTE TEMA 5.6 * 2º BCS Apuntes 2º Bachillerato C.S.

3. REBAJAS DE ENERO • Un comercio ofrece un lote A de 2 camisas y un pantalón, y otro lote B de 3 camisas y dos pantalones. • Cada lote de A le reporta un beneficio de 20 € y por cada lote B le reporta un beneficio de 40 €. • Dispone de 600 camisas y 400 pantalones. • Determina los lotes de tipo A y de B que debe vender para maximizar sus beneficios. • 1.- Función objetivo • Sea x = Nº de lotes de tipo A. • Sea y = Nº de lotes de tipo B. • F(x,y) = 20.x + 40.y • 2.- Restricciones del problema • 2.x + 2.y <= 600 , pues no puede vender más de 600 camisas. • x + 2.y <= 400 , pues no tiene más de 400 pantalones. • x >=0 , pues debe ser una cantidad positiva • y >=0 , pues debe ser una cantidad positiva Apuntes 2º Bachillerato C.S.

4. Y 300 200 100 • 3.- Determinamos la región factible • 2x + 2y ≤ 600 • y ≤ 500/3 – (2/3)x • Tabla: • x = 0  y = 300 • x = 300  y = 0 • x + 2y ≤ 400 • y ≤ 200 – (1/2)x • Tabla: • x = 0  y = 200 • x = 400  y = 0 • Vértices • A(0,0) • B(0,200) • C(200,100) • D(300,0) B C D A 0 100 200 300 400 X Apuntes 2º Bachillerato C.S.

5. Y 300 200 100 • 4.- Hallamos los valores que dan el máximo beneficio • MODO GRÁFICO: • Dibujamos la recta • 20.x + 40.y = 0 • y = – (20 / 40).x • Tabla • x y • 0 0 • 200 – 100 • Y hacemos pasar paralelas a ella por todos vértices de la región factible. • Vemos que la paralela por el vértice B coincide con la paralela por el vértice C • Solución: Todos los puntos del segmento BC (de coordenadas enteras por la naturaleza del enunciado) B C D A 0 100 200 300 X Apuntes 2º Bachillerato C.S.

6. 5.- Hallamos los valores que dan el máximo beneficio • MODO ANALÍTICO: • Calculamos el valor de la función en los vértices • F(x,y) = 20.x + 40.y • F(A)=F( 0,0 ) = = 20.0 + 40.0 = 0 • F(B)=F( 0,200 ) = • = 20.0 + 40.200 = 0+80000 = 80000 • F(C)=F( 200,100 ) = • = 20.200 + 40.100 = 40000 + 40000 = • = 80000 • F(D)=F( 300, 0 ) = • = 20.300 + 40.0 = 60000 + 0 = 60000 • Vemos que el los vértices B y C se obtiene la máxima ganancia, la misma. • Solución: • 0 ≤ x ≤ 200 lotes de tipo A • 100 ≤ y ≤ 200 lotes de tipo B Y 300 200 100 B C D A 0 100 200 300 X Apuntes 2º Bachillerato C.S.

7. VENTA DE LIBROS • Las ventas de libros producen 200 € por cada título que sale al mercado. Pero los gastos de la edición se elevan al doble del cuadrado de títulos publicados. • Si por cada título edita 20 ejemplares vende un mínimo de 1200 libros. Pero si por cada título edita 30 ejemplares vende un máximo de 2400 libros. • Hallar el número de títulos que debe sacar al mercado anualmente para obtener el máximo beneficio. • 1.- Función objetivo: • F(x) = 200.x – 2.x2 • Siendo x el número de títulos a la venta. • 2.- Restricciones: 3.- Región factible: • 20.x >= 1200 • 30.x <= 2400 • Es decir x >= 60 • x <= 80 Y 0 60 80 X Apuntes 2º Bachillerato C.S.

8. 4.- Hallamos el punto o puntos de la región factible que nos da el máximo beneficio. • A.- MODO GRÁFICO • En este caso el único posible, pues No hay vértices. • Dibujamos la función objetivo y sus ¿paralelas? por los vértices • F(x) = 200.x – 2.x2 • 200.x – 2.x2 = 0 • 2.x.(100 – x) = 0 • Parábola convexa de vértice: • x = – 200/(– 4) = 50 • y = 200.50 – 2.2500 = 5000 • Pc(0, 0) y Pc(100, 0) • Vemos que el vértice de la parábola queda fuera de la región factible. • Solución: x = 60 títulos. 60 80 0 25 50 75 100 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

9. LOGÍSTICA • Una empresa de transportes de personas posee 7 autocares de 52 plazas cada uno y 4 autocares mini de 35 plazas cada uno. • Los conductores, dos en cada autocar grande y uno en cada autocar pequeño, cobran 300 € el viaje. Los autocares consumen en combustible 350 € y 200 € en cada viaje respectivamente. • Se dispone que el número de autocares mini sea siempre menor que el de autocares normales. • Determina el número de autocares y de mini-autocares que deben poner en funcionamiento, en el supuesto de tener un viaje para 270 personas, para que los gastos sean mínimos. • 1.- Función objetivo • Sea x = Nº de autocares. • Sea y = Nº de mini-autocares. • F(x,y) = (300+300+350).x + (300+200).y = 950.x + 500.y Apuntes 2º Bachillerato C.S.

10. 2.- Restricciones del problema • 52.x + 35.y ≥ 270 , pues se debe poder llevar al menos a 270 personas. • x <= 7 , pues a lo sumo hay 7 autocares. • y <= 4 , pues a lo sumo hay 4 mini-autocares • x >=0 , pues debe ser una cantidad positiva • y >=0 , pues debe ser una cantidad positiva. • 3.- Determinamos la región factible • y ≥ (270 – 52.x) / 35  y ≥ 7,71 – 1,5.x • Tabla: • x = 0  y = 7,71 • x = 1  y = 6,21 • x ≤ 7 • y ≤ 4 7,5 5 2,5 0 2,5 5 7,5 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

11. Calculamos los vértices teóricos • Vértice A • 0 = 7,71 – 1,5.x • x = 7,71 / 1,5 = 5,14 • A(5,14 , 0) • Vértice B • y = 7,71 – 1,5.x • y = 4 • 4 = 7,71 – 1,5.x • 1,5.x = 3,71 • x = 3,71 / 1,5 = 2,47 • B(2,47, 4) • Vértice A real Vértice C • A(5 , 1) C(7 , 4) • Vértice B real Vértice D • B(3,4) D(7, 0) 7,5 5 2,5 B C A D 0 2,5 5 7,5 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

12. 4.- Hallamos los valores que dan el mínimo gasto • MODO GRÁFICO: • F(x,y) = 950.x + 500.y • Dibujamos la recta • 850.x + 500.y = 0 • y = – (850 / 500).x = – 1,7.x • Tabla • x y • 0 0 • 3 – 5,1 • Y hacemos pasar paralelas a ella por todos vértices de la región factible. • Vemos que la paralela por el vértice B es la que menor ordenada presenta en el corte con el eje. • Solución: B(2,47 , 4) • x = 3 autocares normales • y = 4 mini-autocares 7,5 5 2,5 B C A D 0 2,5 5 7,5 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

13. 5.- Hallamos los valores que dan el mínimo gasto • MODO ANALÍTICO: • Calculamos el valor de la función • en los vértices • F(x,y) = 950.x + 500.y • F(A)=F(5,1) = 950.5 + 500 = 5250 • F(B)=F(3,4) = 950.3 + 500.4 = • = 2850 + 2000 = 4850 • F(C)=F(7,4) = 950.7 + 500.4 = • = 6650 + 2000 = 8650 • F(D)=F(7,0) =950.7 + 500.0 = 6650 • Vemos que el vértices B es el que • presenta el menor gasto. • Solución: x = 3 autocares normales • y = 4 mini-autocares • Podría pensarse que el vértice real A(5, 1) es en realidad A(6,0). Comprobemos: • F(A) = F(6,0) = 950.6 = 5700, mayor que los 4850 € 7,5 5 2,5 B C A D 0 2,5 5 7,5 Ojo: El punto P(4,2) es la verdadera solución Apuntes 2º Bachillerato C.S.

14. Comentario importante al problema de logística • La solución es: • 3 autocares y 4 mini-autocares. • El gasto realizado por la empresa ha sido: • F(B)=F(3,4) = 950.3 + 500.4 = 2850 + 2000 = 4850 • El número de plazas disponibles para 270 personas es: • Plazas = 52.3 + 35.4 = 156 + 140 = 296 , 26 más de las necesarias. • Casi un mini-autocar de sobra. • Atención: Supuesto de solución real: • Con 4 autocares y 2 mini-autocares. • El gasto realizado por la empresa habría sido: • F(4,2) = 950.4 + 500.2 = 3800 + 1000 = 4800 • El número de plazas disponibles para 270 personas es: • Plazas = 52.4 + 35.2 = 208 + 70 = 278 , sólo 8 más de las necesarias. • Como se ve, al no ser coordenadas enteras, la solución puede ser falsa. • El punto P(4,2) cumple mejor las condiciones del ejercicio que el B(3,4). • Por lo tanto, cuando las coordenadas de los vértices no son enteras como lo exige la naturaleza del ejercicio, hay que tener especial cuidado. Apuntes 2º Bachillerato C.S.