Conceitos de Sinais e Sistemas Mestrado em Ciências da Fala e da Audição

1. Conceitos de Sinais e SistemasMestrado em Ciências da Fala e da Audição António Teixeira

2. Resposta em Frequência conceito base filtros passa-baixo passa-alto passa e rejeita banda MATLAB freqz() butter() Aula 9a

3. Vamos agora dedicar algum tempo a descrever a resposta de sistemas a sinusóides • Pode parecer uma perda de tempo, mas os sistemas LTI são completamente caracterizados pela sua resposta a sinusóides • Esta caracterização é conhecida como função de transferência • porque descreve o que acontece a sinais sinusoidais ao serem transferidos através do sistema • Como as sinusóides podem ver afectadas em duas das suas características pelos sistemas LTI (fase e amplitude) é conveniente dividir em duas partes • resposta em amplitude e resposta de fase

4. O conceito base • Efectuar medições à saída do sistema para sinusóides de várias frequências • para simplificar pode usar-se uma amplitude fixa • considerando a resposta em amplitude só temos de medir a amplitude na saída • Exemplo (Amplitude de entrada 2 V) Frequência Amplitude da sáida 125 Hz 2 V 250 Hz 2 V 500 Hz 1.98 V 1000 Hz 1.42 V 1500 Hz 0.50 V 2000 Hz 0.18 V 3000 Hz 0.02 V

5. Problema • E se quisermos saber o que acontece a uma sinusóide de 400 Hz ou 1733 Hz ? • Para poder prever a resposta a uma sinusóide de qualquer frequência necessitaríamos de uma tabela com uma linha para todas as possíveis frequências • ou seja um número infinito de entradas !!! • A solução passa pela utilização de um gráfico, • com frequência no eixo horizontal • e amplitude no eixo vertical

6. 400 Hz  2 V 1733 Hz  0.3 V

7. Passa-baixo • Vantagem importante: • o gráfico fornece uma melhor indicação do tipo/padrão da resposta • No nosso sistema para sinusóides abaixo de um certo valor de frequência a amplitude de saída é igual à de entrada • Acima dessa frequência a amplitude na saída é reduzida, ou atenuada • Uma resposta deste tipo (decrescendo com o aumento da frequência) é conhecida por passa-baixo • devido a todas as frequências abaixo de um certo valor passarem pelo sistema sem alteração • enquanto as superiores a essa frequência são atenuadas

8. Respostas como quocientes • No primeiro exemplo todas as medições usaram a mesma amplitude (2V) • No entanto nem sempre é possível ou desejável essa situação • Generaliza-se o conceito fazendo com que a resposta seja o quociente (razão) entre o nível do sinal à saída pelo nível do sinal de entrada, ambos função da frequência Resposta(f) = Saída(f) / Entrada(f)

9. Aplicando ao exemplo anterior • Tabela: Frequência Amplitude da sáida Amplitude de Entrada saida/entrada 125 Hz 2 V 2 1 250 Hz 2 V 2 1 500 Hz 1.98 V 2 0.99 1000 Hz 1.42 V 2 0.70 1500 Hz 0.50 V 2 0.25 2000 Hz 0.18 V 2 0.09 3000 Hz 0.02 V 2 0.01

10. Filtros • Sistemas que deixam passar uma gama de frequências melhor que outras são conhecidos em geral por filtros • Existem dois tipos principais de filtros • passa-baixo • passa-alto

11. Comando MATLAB freqz • Tendo os vectores a e b (nossos conhecidos das experiências com o comando filter() ) pode obter-se facilmente a resposta em frequência • freqz(b,a) % mais simples, eixo dos xx entre 0 e 1 • freqz(b,a,N,freq_amostragem); • N = número de pontos para calcular • [h,f]=freqz(b,a,N,freq_amostragem); • h conterá a resposta, para facilitar cálculos posteriores • f conterá as frequências usadas na obtenção da resposta

12. Passa-baixo • idealmente não afecta as sinusóides abaixo de uma determinada frequência, designada por frequência de corte amplitude 1 0 fc “pass band” banda de passagem “stop band” banda de corte

13. Na vida real um passa baixo será por exemplo transição não instantânea em dB frequência de corte definida pela frequência onde a amplitude decresce 3 dB relativamente ao máximo

14. Passa-alto • Deixam passar sinusóides acima de um certa frequência • Idealmente amplitude 1 0 fc “pass band” banda de passagem “stop band” banda de corte

15. 1 0 fc2 1 0 fc1 Filtros em paralelo 1 + 0 Rejeita banda

16. Filtros em cascata 1 1 1 0 0 fc2 fc1 0 Passa banda

17. Comando MATLAB butter • BUTTER Butterworth digital and analog filter design. • [B,A] = BUTTER(N,Wn) designs an Nth order lowpass digitalButterworth filter and returns the filter coefficients in length N+1 vectors B (numerator) and A (denominator). • The coefficients are listed in descending powers of z. • The cutoff frequency Wn must be 0.0 < Wn < 1.0, with 1.0 corresponding to half the sample rate.

18. If Wn is a two-element vector, Wn = [W1 W2], BUTTER returns an order 2N bandpass filter with passband W1 < W < W2. • [B,A] = BUTTER(N,Wn,'high') designs a highpass filter. • [B,A] = BUTTER(N,Wn,'stop') is a bandstop filter if Wn = [W1 W2].

19. Resposta de fase • Geralmente muito menos relevante que a resposta em amplitude • motivações perceptuais • Define-se como a diferença entre as fases das sinusóides de entrada e saída Fase(f) = Fase da saída(f) - Fase da entrada (f) • Uma resposta de fase linear atrasa de um mesmo valor temporal todas as sinusóides

20. TPC  • Leitura do Capítulo 6 de Rosen & Howell

21. Análise em frequência de sinais Síntese Análise Conceito de espectro Análise espectral de sinais digitais a DFT e FFT Análise em frequência de sinais reais analógicos digitais MATLAB fft Aula 9b

22. Análise de Fourier Para sinais analógicos periódicos

23. Fourier • Joseph Fourier foi um matemático Francês • do sec XIX • Descoberta importante: • Qualquer sinal (periódico) pode ser decomposto num conjunto de sinusóides com frequências múltiplas da frequência do sinal

24. Exemplo • Frequência fundamental = 2.5 Hz • Cada período dura 0.4 segundos T

25. Espectro • Representando as amplitudes das várias sinusóides • obtém-se o espectro de riscas (line spectrum) 1/T

26. Harmónicos • Sons periódicos apenas podem ter sinusóides que sejam múltiplas da sua frequência fundamental • Ex: • frequência fundamental: 100 Hz • Contem sinusóides de 100, 200, 300, etc Hz • As componentes de sons periódicos chamam-se harmónicos

27. Exemplo: síntese onda dente de serra

28. Espectro Representação das amplitudes (fases) dos harmónicos

29. Os harmónicos ficam mais próximos No primeiro estão espaçados de 100 Hz No segundo caso espaçados de 50 Hz ... Que acontece se reduzir a freq. Fundamental ?

30. E se os sinais não forem periódicos ? • O período de repetição será infinito • As riscas do espectro ficam separadas de 1/T que neste caso será zero • Tem-se assim neste caso um número infinito de riscas • O sinal pode conter todas as frequências desde 0 até infinito • Trata-se da chamada Transformada de Fourier

31. Análise de Fourier • Normalmente não sabemos quais as sinusóides e amplitudes que devemos somar • Temos de obter com base no sinal • o Teorema de Fourier diz como se faz • um sinal periódico apenas contem frequências que são múltiplos inteiros de uma frequência base ou “fundamental” • conhecidas por harmónicos (ou componentes espectrais) • Esta sequência de termos relacionados é conhecida por série • Sendo o processo conhecido por Série de Fourier

32. fseriesdemo

33. Análise de Fourier de sinais digitais DFT, FFT

34. DTF e FFT • Vimos que a série de Fourier converte uma onda num conjunto de sinusóides, tal que quando somadas, se obtém o sinal original • A operação que converte uma onda digital em sinusóides (digitais) é a Discrete Fourier Transform (DFT) • A FFT é um algoritmo rápido de cálculo da DFT

35. Exemplo • Considere-se o sinal • x = [ -8 –8 –4 5 –2 4 7 9] • Aplicando a DFT • Obtém-se 8 sinusóides – tantas como o número de amostras do sinal – de 0, 1, 2 ... 7 ciclos

37. Exemplo

38. Aplicação a uma vogal

39. Aplicação de análise de Fourier ao sinal de voz cujas características variam no tempo

40. Segmentos (Frames) • A análise pela DFT assume que o sinal mantém as suas características a seguir ao bloco analisado • O que não se verifica no sinal de voz • A análise é efectuada em pequenos segmentos em que o sinal tem características estáveis • Cerca de 10 a 20 ms • Cada segmento é designado em Inglês por frame

41. Janelas • Ao obter-se um segmento está implícito que se colocam a zero todos os valores fora do segmento • Isto corresponde à aplicação do que se chama janela rectangular • Problema: o que se vê na FFT não são apenas as componentes devidas ao sinal mas também componentes devidas à janela • Para evitar parcialmente este problema utilizam-se outras janelas, como as de Hamming e Hann

42. Janelas • Hamming • Aplicada ao sinal

43. Efeito na FFT

44. Tamanho das janelas • Para se usar DFT deve ser potência de 2 • 32, 64, 128, 256, 512, 1024 • Resolução na frequência pretendida • N amostras resultam em N pontos na frequência entre 0 e a freq. Amostragem • Intervalo entre frequências= fa/N • N=fa/intervalo • Intervalo = 45 Hz => 10000/45=222 => 256 amostras • Intervalo = 300 Hz => 10000/300=34 => 32 amostras

45. Análise em frequência de sinais reais sinais analógicos

46. O problema base • Até agora os espectros (análise espectral) referia-se a sinais com uma representação matemática “simples” • Mas o que acontece quando pretendemos o espectro de sinais do mundo real, não definidos por uma fórmula matemática? • a transformada/série de Fourier apenas funciona com sinais abstractos “no papel”

47. Uma solução • Até recentemente, apenas existia uma forma prática de determinar o espectro nestes casos, utilizando filtros passa-banda • este tipo de filtro possui a propriedade de selectivamente atenuar as frequências abaixo e acima da região a que são mais sensíveis • para saber a energia que existe numa gama de frequência apenas temos de fazer passar o sinal por um filtro passa-banda ajustado para essa gama • Para ter o espectro numa gama de frequências teremos de ter vários filtros com a frequência central cobrindo o intervalo • o conjunto de filtros chama-se BANCO DE FILTROS • Por vezes a utilização de vários filtros não é viável (por exemplo pelo seu custo) utilizando-se um filtros com frequência central ajustável

48. Exemplo: análise da onda triangular • O sinal • período = 5 ms

49. filtro para frequência central=200 • filtro e saída Max=0.3748

50. filtro para frequência central=300 • filtro e saída Max aprox 0