Ecuaciones de primer grado Similar al ejercicio 1 propuesto Similar al ejercicio 2 propuesto

1. Ecuaciones de primer grado Similar al ejercicio 1 propuesto Similar al ejercicio 2 propuesto Similar al ejercicio 3 propuesto Problemas para resolver con ecuaciones de primer grado Similar a los problemas 4 y 5 propuestos Similar a los problemas 6 y 7 propuestos Similar a los problemas 8 y 9 propuestos Similar a los problemas 10 y 11 propuestos Similar a los problemas 12 y 13 propuestos Ecuaciones de segundo grado Similar al ejercicio 14 propuesto Similar al ejercicio 15 propuesto Similar al ejercicio 16 propuesto Problemas para resolver con ecuaciones de segundo grado Similar al problema 19 propuesto Similar al problema 20 propuesto Fin

2. Resuelve: 3x – 5 = 7x + 1 3x – 5 = 7x + 1 3x – 7x = 1 + 5 – 5 – 1 = 7x – 3x – 4x = 6 – 6 = 4x : 2 : 2 6 –4 – 6 4 3 2 x = –– = – –– ––– = x : 2 : 2 6 4 3 2 – –– = – –– = x Hay que agrupar las incógnitas a un lado del igual y los términos independientes al otro lado del igual. Los monomios que están sumando se escriben al otro lado del igual restando. Los monomios que están restando se escriben al otro lado del igual sumando. Vamos a poner las incógnitas a la izquierda y los términos independientes a la derecha. El 3x se copia y el 7x que tiene signo positivo se pasa a la izquierda del igual restando. El 1 se copia y el 5 que tiene signo negativo se pasa a la derecha del igual sumando. Se hacen las operaciones de cada miembro de la ecuación. El –4 que está multiplicando pasa al otro lado dividiendo. Se simplifica el resultado. Esta misma ecuación se puede resolver poniendo las incógnitas a la derecha. Volver al menú

3. Resuelve: 1 + 3(1 – x) = 6 + (6x + 5) – 5(x + 3) 1 + 3 – 3x = 6 + 6x + 5 – 5x – 15 – 3x – 6x + 5x = 6 + 5 – 15 – 1 – 3 – 4x = – 8 –8 –4 x = –– = +2 El 1 y el 3 no se pueden sumar, antes hay que quitar los paréntesis. Se copia el 1. El monomio que multiplica a un paréntesis hay que multiplicarlo por cada uno de los sumandos que hay dentro del paréntesis. El primer paréntesis se multiplica por 3. El 6 no está multiplicando al segundo paréntesis. El 6 se copia. El segundo paréntesis no está multiplicado por nada, se quita sin problema. El tercer paréntesis se multiplica por –5 teniendo mucho cuidado con los signos. Hay que juntar las incógnitas a un lado del igual y los términos independientes al otro. El –3x se copia y se cambian de signo el +6x y el –5x al pasarlos a la izquierda. El 6 se copia junto con el +5 y el –15. Se cambian de signo el 1 y el +3 al pasarlos a la derecha. Se hacen las sumas y las restas de cada miembro de la ecuación. El –4 que está multiplicando pasa dividiendo. Volver al menú

4. Resuelve: 7 2z – 5 3z + 1 10 5 4 –– – ––––– = z – ––––– _ 1 39 = 13z 2·7 – 4(2z – 5) 20·z – 5(3z + 1) ––––––––––– = –––––––––––– 39 13 20 20 –– = z 14 – 8z + 20 = 20z –15z – 5 3 = z 14 + 20 + 5 = 20z – 15z + 8z A z se le pone denominador 1. El mínimo común múltiplo de todos los denominadores es 20. Se escribe una única fracción con denominador 20 en cada miembro de la ecuación. El 20 se divide por cada denominador y el resultado se apunta para multiplicarlo después por el numerador correspondiente. 20:10 = 2 se apunta 2·7 Se copia la resta que hay entre las fracciones. 20:5 = 4 se apunta 4(2z – 5) 20:1 = 20 se apunta 20·z Se copia la resta que hay entre las fracciones. 20:4 = 5 se apunta 5(3z + 1) Se quitan los denominadores. Se hacen todas las multiplicaciones teniendo mucho cuidado con los signos. Volver al menú

5. Encuentra un número tal que sumando cinco a su tercera parte resulte igual a dicho número más uno. –––––––––––– ––––––––––––––– –––––––––– –––––– –––––– ––––––– x = número x 3 –– + 1 5 + = x _ 1 _ 1 _ 1 mcm = 3 3·5 + 1·x 3·x + 3·1 –––––––– = –––––––– 3 3 + 3 15 + x = 3x x – 3x = 3 – 15 – 2x = – 12 –12 –2 x = ––– = + 6 Se llama x a lo que se pide calcular. Se va leyendo la condición y se va traduciendo al lenguaje algebraico. Se resuelve la ecuación. Volver al menú

6. Si llevo la mitad del dinero en el bolsillo derecho, la tercera parte en el izquierdo y sesenta céntimos en la mano, ¿cuánto dinero tengo? –––––––––––––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––––––– x = dinero que tengo x 3 x 2 + –– + 0´60 –– ___ 1 = x _ 1 mcm = 6 3·x + 2·x + 6·0´60 6·x ––––––––––––––– = –– 6 6 = 6x 3x + 2x + 3´6 3x + 2x – 6x = – 3´6 – x = – 3´6 –3´6 –1 x = –––– = + 3´60€ Se llama x a lo que se pide calcular. Se van leyendo los datos y se van traduciendo al lenguaje algebraico. La suma de todas las cantidades da el total que es x. Se resuelve la ecuación. Volver al menú

7. Ana tiene 48 años y su hijo Miguel 23. ¿Cuántos años han de pasar para que el doble de la edad de Ana sea el triple de la de su hijo? ––––––––––––––––––––– ––––––––––––––––––– ––– x = años que han de pasar = 2(48 + x) 3(23 + x) 96 + 2x = 69 + 3x 48 48 + x 2x – 3x = 69 – 96 23 23 + x – x = – 27 –27 –1 x = –––– = 27 años Se llama x a lo que se pregunta. Se hace una tabla con las edades actuales y las edades futuras. Cuando pasen x años Ana tendrá 48 + x años y Miguel tendrá 23 + x años. Se escribe en lenguaje algebraico lo que ocurrirá. Volver al menú

8. El año pasado Agustín leyó 14 libros menos que María. Si entre los dos leyeron 36 libros, ¿cuántos leyó cada uno? –––––––––––––––––––––––––––––––– Libros que leyó Agustín = x – 14 = 11 (x – 14) + x = 36 Libros que leyó María = x = 25 x – 14 + x = 36 + 14 x + x = 36 2x = 50 50 2 x = –– = 25 Hay que calcular dos cantidades. x puede ser cualquiera de las dos cosas y dependiendo a cuál se asigne será más fácil o más difícil establecer la otra. Vamos a llamar x a los libros que leyó María para que resulte más fácil. A partir del enunciado se establece la otra cantidad. La suma de todas las cantidades es el total. Ahora se calculan las cantidades de cada uno de ellos. Volver al menú

9. Arturo, Luis y Raúl se quieren repartir 30€ de manera que Arturo reciba la mitad de dinero que Luis, y que Luis se quede con 3€ menos que Raúl. ¿Con cuánto dinero se quedará cada uno de ellos? –––––––––––––––––––– –––––––––––––––––––––––––––––– –––––––––––– Entonces Raúl tendrá 3€ más que Luis. x 2 Dinero de Arturo = x / 2 = 5´40€ –– + x + x + 3 = 30 _ 1 _ 1 _ 1 __ 1 Dinero de Luis = x = 10´80€ mcm = 2 Dinero de Raúl = x + 3 = 13´80€ 2·3 2·30 1·x + 2·x + 2·x + ––––––––––––––– = –––– 2 2 + 2x = 60 x + 2x + 6 x + 2x + 2x = 60 – 6 5x = 54 54 5 x = –– = 10´8 Hay que calcular tres cantidades. x puede ser el dinero de cualquiera de los tres y dependiendo a quién se asigne será más fácil o más difícil establecer las otras cantidades. Vamos a llamar x al dinero de Luis. A partir del enunciado se terminan de establecer las cantidades. La suma de todas las cantidades es el total. Ahora se calculan las cantidades de cada uno de ellos. Volver al menú

10. Resuelve: 9x2 – 9x – 4 = 0 ax2 + bx + c = 0 9 a = – b ± b2 – 4ac 2a – (–9) ± (–9)2 – 4 ·9 ·(–4) x = –––––––––––––– = –––––––-––––––––––––– = –9 b = 2 ·9 c = –4 + 9 + 15 18 24 18 :6 :6 4 3 ––––––– = –– = –– + 9 ± 81 + 144 + 9 ± 225 + 9 ± 15 = –––––––-–––––– = –––––––––– = ––––––– = + 9 – 15 18 –6 18 :6 :6 –1 3 18 18 18 ––––––– = –– = –– Primero se escriben los valores de a, b y c. a es el coeficiente de x2. a vale 9 (no se apunta el signo positivo). b es el coeficiente de x. b vale –9. c es el término independiente. c vale –4. Se utiliza la fórmula para resolver la ecuación. Se cambian las letras por sus respectivos valores escribiéndolos entre paréntesis cuando sean negativos. Al no salir un número entero se simplifica la fracción. Volver al menú

11. Resuelve: 5x2 – 6 = x2 + 43 5x2 – x2 = 43 + 6 4x2 = 49 49 4 x2 = –– 49 4 x = ± –– 7 2 x = ± – En la ecuación sólo hay x2, no aparece x, y se resuelve despejando x2. El cuadrado se pasa al otro lado del igual haciendo la raíz cuadrada. Delante de la raíz cuadrada hay que escribir ±. Volver al menú

12. Resuelve: 5x2 + x = 3x – 3x 5x2 + x = 0 5x2 – 2x = 0 x = 0 x( ) = 0 5x – 2 5x – 2 = 0 5x = 2 2 5 x = – En la ecuación hay x2 y x pero no hay términos independientes. Se resuelve pasando todos los términos a un miembro de la ecuación. Ahora se saca factor común de x. Cuando se multiplican dos números y el resultado es cero es porque alguno de los números era cero. En este caso x es cero o bien 5x – 2 es cero. Volver al menú

13. Encuentra tres números consecutivos tales que el producto del menor por el mediano, menos el triple del mayor, sea 42. –––––––––––––––––––––––––– ––––––– –––––––––––––––––––– –––––– x Números consecutivos x + 1 x + 2 x·(x + 1) – 3·(x + 2) = 42 x2 + x – 3x – 6 = 42 x2 + x – 3x – 6 – 42 = 0 x2 – 2x – 48 = 0 1 a = – b ± b2 – 4ac 2a – (–2) ± (–2)2 – 4 ·1 ·(–48) x = –––––––––––––– = –––––––-–––––––––––––– = –2 b = 2 ·1 c = –48 + 2 + 14 2 16 2 ––––––– = –– = 8 + 2 ± 4 + 192 + 2 ± 196 + 2 ± 14 = –––––––-–––––– = –––––––––– = ––––––– = + 2 – 14 2 –12 2 2 2 2 ––––––– = ––– = –6 x Los números son x + 1 x + 2 x O bien x + 1 x + 2 = 8 = –6 = 8 + 1 = 9 = –6 + 1 = –5 = 8 + 2 = 10 = –6 + 2 = –4 Volver al menú

14. Una parcela con forma rectangular, que tiene una superficie de 1292m2, se ha cercado con 145´8m de valla. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela? El perímetro, 145´8m, es la suma de los cuatro lados. La mitad del perímetro es la suma del largo y el ancho. 72´9 – x 145´8 : 2 = 72´9m = largo + ancho x Si el largo es x el ancho es 72´9 – x. El área se obtiene multiplicando el largo por el ancho. 1292 = x·(72´9 – x) 1292 = 72´9x – x2 x2 – 72’9x + 1292 = 0 1 a = – b ± b2 – 4ac 2a – (–72´9) ± (–72´9)2 – 4 ·1 ·1292 x = –––––––––––––– = –––––––-–––––––––––––––––– = –72´9 b = 2 ·1 c = 1292 72´9 +12´1 2 85 2 –––––––– = –– = 42´5 72´9 ± 5314´41 – 5168 72´9 ± 146´41 72´9 ± 12´1 = –––––––––––––––––– = ––––––––––– = –––––––– = 72´9 – 12´1 2 60´8 2 2 2 2 –––––––– = ––– = 30´4 Largo = 42´5m Ancho = 72´9 – 42´5 = 30´4m Volver al menú