Download
1 / 31
310 likes | 424 Views
Hálótervezés. Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor kzst@almos.vein.hu kzst@vision.vein.hu http ://vision.vein.hu/~kzst/oktatas/halo/index.htm. 4 . Maximális folyamok alkalmazása – több forrás, több nyelő.
E N D
Hálótervezés Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor kzst@almos.vein.hu kzst@vision.vein.hu http://vision.vein.hu/~kzst/oktatas/halo/index.htm 4.
Maximális folyamok alkalmazása – több forrás, több nyelő • Több forrás, illetve több nyelő esetén a feladat bonyolultsága nem változik, mert a problémát vissza lehet vezetni az eredeti maximális folyam problémára. • Be kell vezetni egy S un. „szuper termelőt” és egy T un. „szuper fogyasztót”. • S-sel s1,s2,..,sn termelőket végtelen kapacitással össze kell kötni. • t1,t2,..,tm fogyasztókat T-vel végtelen kapacitással össze kell kötni. • Ezen a módosított hálózaton kell maximális folyamot keresni. • A módosított hálózatból elhagyjuk S,T csúcsot, valamint S,T éleit.
Maximális folyamok alkalmazása – maximális párosítás • Legyen adott egy G=(N,A) páros gráf, valamint a gráf N1, N2 partíciója. w:AR+ pedig egy súlyfüggvény • Legyen egy aN1-ből N2-be menő él kapacitása w(a)+1. • Vegyünk fel egy s termelőt és egy t fogyasztót. s-et kössük össze N1 csúcsokkal kapacitásuk legyen 1. Kössük össze N2 csúcsokat t-vel, és az élek kapacitása legyen 1. • Ekkor a módosított hálózaton talált maximális folyam az eredeti gráfon maximális párosításnak felel meg.
Síkba teríthetőség • Egy G=(N,A) gráf síkba teríthető, ha van olyan f:NR2 és g:AP(R2) amelyekre a=(x,y)A esetén g(a)=(f(x),f(y))R2 összekötő egyszerű út, és különböző éleknek megfeleltetett utaknak csak a végpontokban van közös csúcsuk. • Egy gráf pontosan akkor teríthető síkba, ha a gráf nem tartalmaz C5, C3,3 részgráfokat (Kuratowski)
Gráfelmélet alkalmazása pszichológiában - fogalmak • Egy G=(N,A) tagolási pontjának nevezünk egy olyan PN csúcsot, amely két olyan G1, G2 részgráfra osztja fel, amelynek csak egy P közös pontjuk van, úgyhogy G1 valamely csúcsa, és a G2 valamely csúcsa közötti utak mind keresztülhaladnak P-n. • Egy gráf tagolatlan, ha nincs tagolási pontja.
Gráfelmélet alkalmazása pszichológiában - fogalmak • A gráf átmérője a gráfban található legnagyobb távolság. • Az összefüggő gráf középső pontjának, vagy középpontjának nevezzük azt a csúcsot, amelynek legnagyobb távolsága minimális. • A gráf sugara a gráf központi csúcsának (vagy csúcsainak) legnagyobb távolsága. • A gráf kerületi pontjai a gráf azon csúcsai, amelyeknek legnagyobb távolságuk maximális.
Gráfelmélet alkalmazása pszichológiában - fogalmak • Leavitt – féle középpontossági mutatószám: • Leavitt – féle viszonylagos kerületességi mutatószám:
NP teljesség • (Számítógéppel) megoldhatatlan problémák • Polinomiális O(nk) időben megoldható problémák • NP – feladatok (P≠NP?) • NP teljes feladatok
Az utazóügynök probléma (TSP) • Az utazóügynöknek n várost kell meglátogatnia tetszőleges sorrendben, de minél kevesebb utazási költség mellett. (Ez negatív is lehet, ekkor az ügynöknek haszna van az útból.) • Precízebben: egy súlyozott gráfban minimális költségű Hamilton-kör keresése. • (TSP NP-nehéz)
Az utazóügynök probléma (TSP) Összes költség: 23 Összes költség: 22
NP-teljes problémák megoldása • Naiv algoritmusok • Branch and Bound, dinamikus algoritmusok (erről majd később) • Közelítő módszerek
Az utazóügynök probléma – egy közelítő megoldása • Legyen adott egy Cn=(N,A) irányítatlan súlyozott, teljes gráf w:AR+ súlyfüggvénnyel. Legyen továbbá érvényes valamennyi élére az un. háromszög egyenlőtlenség, vagyis: • Ekkor található egy olyan Hamilton kör, mely nem hosszabb mint a legrövidebb Hamilton kör hosszának kétszerese.
Az utazóügynök probléma – egy közelítő megoldása • Prim algoritmussal keresünk a gráfban egy minimális költségű feszítőfát. • A fát un. preorder bejárással (bal-közép-jobb) bejárjuk. A bejárt csúcsokat listába rendezzük. • Az ismétlődő csúcsokat elhagyjuk a listából.
Bizonytalanság • Standard bizonytalanság • Összetett standard bizonytalanság • Kiterjesztett bizonytalanság • A mérés modellezése Y=f(X1,X2,..,XN) Pl. legrövidebb utak keresésénél a legrövidebb út hossza az út éleinek összege. Tehát: Y=X1+X2+..+XM
Standard bizonytalanság • Standard bizonytalanság meghatározása – 1. módszer: • Véletlen változó (random variable) • Standard bizonytalanság: • Szabadságfok: ni (egyszerű esetben ni=n-1)
Összetett standard bizonytalanság • Független paraméterek esetén • Kovariancia: • Korreláció:
Összetett standard bizonytalanság • Modellparamtérek sztochasztikus kapcsolata esetén:
Kiterjesztett bizonytalanság • Átfedési tényező (coverage factor) 2k3 • Kiterjesztett bizonytalanság: U=kuc(y) • Használat: • Iparban • Kereskedelemben
Szorgalmi feladatok – minimális költségű szállítás • Készítsen az alábbi problémára egy algoritmust, az eddig tanult módszerek segítségével! • Legyen adott egy G=(N1,N2;A) teljes páros gráf, ha csúcspontjai a1,a2,..,an (N1), b1,b2,..,bm (N2). Az ai-beli egész értékű a(ai) >= 0 készletekből kell a bj-beli egész értékű b(bj) >= 0 igényeket kielégíteni az (ai,bj)A éleken történő szállítással úgy, hogy ha az (ai,bj) élen f(ai,bj)=fij mennyiséget szállítunk, akkor annak minden egységét r(ai,bj)=rij>=0 egész értékű szállítási költséggel terheljük. Célunk az, hogy az f szállítás szállítási költsége minimális legyen. Ahol a szállítás költsége: (+30p)
Szorgalmi feladatok – optimális foglalkoztatás • Készítsen az alábbi problémára egy algoritmust, az eddig tanult módszerek segítségével! • Legyen adott egy G=(N1,N2;A) teljes páros gráf, ha csúcspontjai a1,a2,..,an(N1), b1,b2,..,bm(N2). Legyen pl. (ai,bj)A él az ai dolgozó bj munkában a hatásfoka (pl. 100-(a selejtszázaléka)). Keressünk olyan munkatervet, mellyel valamennyi munka a lehető legnagyobb hatásfokkal elvégezhető (+30p)
Szorgalmi feladatok – raktározási probléma • Az x1,x2,..,xm gyárakban gépeket gyártanak, és a késztermékeket y1,y2,..,yn raktárba kell szállítani. Minden xi gyárhoz meghatározattaknak tekintjük azokat a raktárakat, amelyekbe xi-ből szállítani lehet Jelöljük a(xi)-vel az xi-ben gyártott gépek számát és b(yj)-vel az yj befogadóképességét egységnyi időtartam alatt. Ekkor a szállítást úgy kell tervezni, hogy az a(xi) készletet kimerítse, de a b(yj) igényeket ne lépje túl. (+30p)
