1. ordenako ekuazio diferentzialak:

1. 1. ordenako ekuazio diferentzialak: Lehen ordenako ekuazio diferentzial arrunta, edo ordinarioa, hurrengo erako adierazpena da: Ebatzi nahi dugun problema da ekuazio diferentzial hori integratzea, hau da, funtzio bat, y = f(x), kalkulatzea zeinak aurreko adierazpena betetzen baitu eta baita hastapen-baldintza bat, y(x0) = y0 ere. Ondorengo Cauchy-ren teoremak bermatzen digu soluzio bat existitzen dela eta bakarra dela hurrengo baldintza murriztaileetan:

2. Funtzio bat analitikotzat jotzen da baldin eta deribagarria bada infinitu aldiz: Cauchy-ren teorema: f(x,y) analitikoa bada (x0,y0) puntua gordetzen duen D eremu baten barnean, orduan existitzen da funtzio analitiko bat, eta soilik bat, y(x), zeinak egiaztatzen baitu: ondoko hastapen-baldintzarekin: Beste baldintza bat, ez hain zorrotza, soluzioa existitzeko eta bakarra izateko (nahiz eta, agian, analitikoa ez izan) da Lipschitz-en baldintza:

3. Demagun funtzio bat, f(x,y), definituta dagoela XY planoko eremu batean. Esaten da f(x,y) funtzioak Lipschitz-en baldintza bat betetzen duela (y-rekiko) eremu horretan honelako konstante bat, M >0, existitzen bada: (x,y1) eta (x,y2) eremuaren puntu guztietarako. M konstanteari Lipschitz-en konstantea deitzen zaio. Baldintza nahikoa bat Lipschitz-en baldintza bat (y-rekiko) egiaztatzeko da ∂f/∂y existitu dadila eta bornatua izan dadila D eremuan. Hain zuzen ere, hori baieztatzen denean benetan Lipschitz-en baldintza bat (y-rekiko) betetzen da, eta Lipschitz-en konstantea hurrengo hau da:

4. Benetan: beraz:

5. Adibidea: Demagun D eremua honela definituta dagoela: eta bedi f(x,y) funtzioa hurrengo hau : ∂f/∂y existitzen denez eta D eremuan bornatua denez:

6. Emaitza bera honela ere lortu zitekeen: Dena den, ikusi dugun baldintza hau (y-rekiko deribatu partzialarena), nahiz eta nahikoa izan, ez da beharrezkoa Lipschitz-en baldintza bat egiaztatzeko, ondoko adibidean ikus daitekeen bezala: Funtzio honek betetzen du Lipschitz-en baldintza bat: Nahiz eta ∂f/∂y ez den existitzen (x,0)puntuetan.

7. Euler-en metodoa: Lehen ordenako ekuazio diferentzialak numerikoki integratzeko metodo hurbildua eta erraza da: Bedi: ondoko hastapen-baldintzarekin: Demagun y(x) dela problemaren soluzio zehatza. Hartzen baldin badugu x0-rekiko nahiko gertu dagoen x bat, orduan, zilegi da ondoko hurbilketa:

8. Hortaz, adibidez, x1 = x0+h, hartzen baldin badugu, orduan, numerikoki kalkula dezakegu y1 = y(x1) -ren balio hurbildua hurrengo erara: Orain x0-rekiko urrutiago (x1 baino) dagoen x2 puntu batean y2 = y(x2)-ren balio hurbildua kalkulatu nahi badugu, lehen bezala arituko gara: baina orain ondoko hastapen-baldintza hurbilduarekin:

9. Erabili Euler-en metodoa hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzioari hurbiltzeko hurrengo puntuetan: x = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 eta 1, bai h = 0.2 bai h = 0.1 balioekin. h = 0.2

11. h = 0.1

13. Ikusten dugunez orain lortutako balioak, h=0.1 balioarekin, desberdinak dira lehen lortu genituenekiko h=0.2 balioarekin. Zenbat eta txikiago h-ren balioa orduan eta hobea izango da hurbilketa (neketsuagoa ere, zeren iterazioen kopurua handiago izango baita). h-ren balio konstante baterako egindako errorea gero eta handiagoa izango da hasierako puntutik, x0-tik, alegia aldendu ahala. Hau ondo ikus daiteke hurrengo grafikoan non bi soluzio hurbilduak erakusten baitira soluzio zehatzarekin batera:

15. Euler-en metodo hobetua: Hurrengo lehen ordenako ekuazio diferentzialaren: soluzio zehatza x1 puntuan ondoko adierazpenak emanda dago: Lehen ikusi dugun Euler-en metodo arruntean hurrengo hurbilketa onartzen genuen:

16. Bi adierazpenak alderatuz, ikusten da, hurbilketaren baliokidea dela suposatzea soluzio zehatzaren, f(x,y)-ren, balioa konstantea dela integratzailean, eta balio hori integralaren beheko muturrarena dela, hau da, f(x, y) = f(x0,y0): Bidezkoagoa emango luke, integralean, f(x,y)-ren balioari hurbiltzea bere batezbesteko balioaz, bere beheko muturraren balioaz baino: Baina hori egin nahi badugu, arazo bat sortzen da: y1-ren balioaren hurbilketa kalkulatzeko, aldez aurretik, beharko genuke balio hori f(x1,y1)-en balioa kalkulatzeko batezbestekoan.

17. Korapilo hau hurrengo erara askatzen da: Lehenbizi y1 -ren kurbilketa bat kalkulatzen dugu Euler-en metodo arruntaren bidez: Gero, hurbilketa hori erabiltzen da f(x1,y1(0)) kalkulatzeko eta, honen bidez, hurbilketa berri bat (zehatzagoa) lor dezakegu y1-rako: noski, azken hau erabil genezake beste hurbilketa zehatzagoa lortzeko: eta horrela ekin genezake gero eta iterazio gehiago kalkulatuz hurbilketa bat ontzat jo arte.

18. Behin erabakitzen dugun hurbilketa ona lortu dugula y1-rako prozedura bera errepikatuko genuke y2 kalkulatzeko:

19. Erabili Euler-en metodo ondua hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzioari hurbiltzeko hurrengo puntuetan x = 0.2 eta 0.4, h = 0.2 balioa eta hiru zifra esangarri erabiliz: h = 0.2

20. Orduan, hiru zifra esangarri erabiliz:

22. Ondorioz, hiru zifra esangarriekin:

23. Taylor-en algoritmoa: Beste era alternatibo bat Euler-en metodoa hobetzeko izango litzateke batugai gehiago hartzea soluzio zehatzaren Taylor-en garapenean: Hau hurrengo erara egin daiteke: Hurrengo ekuazio diferentzialatik abiatuz: eta x-rekiko deribatuz, hau da geratzen zaiguna:

24. Hemndik aurrera hurrengo idazkera laburdua onartuko dugu: Deribatzen jarraitzen badugu: eta horrela ekin genezake gero eta ordena handiagoko deribatuak kalkulatuz. f funtzioak edozein ordenako deribatuak onartuko balitu (hau da, f analitikoa balitz), orduan, honela kalkula genezake soluzio zehatza (Cauchy-ren teorema).

25. Metodo hau erabiltzen badugu lehengo adibidearekin: Beraz, soluzio zehatza honela idatz daiteke:

26. Kasu orokorrean, ordea, metodo hau neketsua suerta daiteke hurrengo adibidean egiaztatzen den bezala:

28. Ondorioz, kalkuluak eginez: eta soluzioa honela idatz daiteke:

29. Picard-en metodoa (segidako hurbilketena): Lehen ikusi genuen bezala, hurrengo lehen ordenako ekuazio diferentzialaren: soluzio zehatza x puntuan hurrengo erara idatz daiteke: y(x) funtzioa ezagutuko bagenu, goiko integralean ordezkatuko genezake eta horrela identitate hutsa eskuratuko genuke. Aldiz, soluzio hurbildu bat, y0(x), ezagutuko bagenu goiko integralean sar genezake beste hurbilketa hobea erdiesteko, y1(x). Azken hau integratuz beste bat lortuko genuke, y2(x), eta abar.

30. Normalean egiten den lehen hurbilketa da y0(x) konstantetzat hartzea eta konstantea hori, noski, hastapen-baldintzarena da: y0(x) = y(x0). Konbergentzia ona lortuko ez balitz, beste hasierako hurbilketekin, y0(x), saia gintezke Euler-en metodoaz (edo Euler-en metodo onduaz). Integralak numerikoki kalkulatzen direnean metodo hauei, Adams-Bashforth izena ematen zaie.

31. Erabili Picard-en metodoa hurrengo problemarekin:

35. Erabili Picard-en metodoa hurrengo problemarekin:

38. Erabili Picard-en metodoa hurrengo problemarekin:

41. Runge-Kutta-ren metodoa (laugarren ordenakoa): Runge-Kutta izeneko metodoak dira algoritmoak kalkulatzeko numerikoki hurrengo problemaren soluzioaren hurbilketak: hurrengo erako puntuetan: zehaztasun handiz, nahiz eta horretarako h -ren balioek ez duten zertan txikiak izan. Prozedura honetan datza:

42. Soluzioaren balio hurbildua, y1, kalkulatzekox1 = x0 + h, puntuan, hurrengo balioak kalkulatu behar dira: eta, orduan, soluzio hurbildua honela emanda dago:

43. Era berean arituz gero, kalkulatuko genuke soluzioaren balio hurbildua, y2, hurrengo puntuan, x2 = x1 + h:

44. eta horrela n-garren puntuan, xn = xn-1 + h:

45. Erabili Runge-Kutta-ren metodoa hurrengo problemarekin kalkulatzeko soluzio hurbilduak x = 0.2 eta x =0.4 puntuetan: h = 0.2:

48. Erabili Runge-Kutta-ren metodoa hurrengo problemarekin kalkulatzeko soluzio hurbilduak x = 0.1 eta x =0.2 puntuetan: h = 0.1: