1 / 22

Lehen ordenako ekuazio diferentzialak

Lehen ordenako ekuazio diferentzialak. Bi aldagaiko funtzioaren diferentzial totala. Gogora dezagun z = f ( x , y ) , bi aldagaiko funtzioaren

makaio
Download Presentation

Lehen ordenako ekuazio diferentzialak

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Lehen ordenako ekuazio diferentzialak

  2. Bi aldagaiko funtzioaren diferentzial totala Gogora dezagun z = f(x, y), bi aldagaiko funtzioaren diferentzialtotala:Funtzioa konstante bada, z = f(x, y) = c, orduan dz =0 Adibidez: x2–5xy + y3 = c, (2x – 5y) dx +(-5x + 3y2) dy = 0

  3. Lehen ordenako ekuazio diferentzial zehatza: Esango dugu M(x, y) dx + N(x, y) dy dela diferentzial zehatza,OXY planoko R eremu batetan, baldin eta bi aldagaiko funtzio baten diferentzial osoa ba da. Hau da, existitzen bada f(x, y), era honetakoa: df(x, y)=M(x, y) dx + N(x, y) dy Hori horrela bada, M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0,lehen ordenako ekuazio diferentzialari, zehatza deituko diogu.

  4. Bitez M(x, y) eta N(x, y) eta heuren lehen ordenako deribatu partzialak jarraiak, OXY planoko R eremu batetan. M(x, y) dx + N(x, y) dy diferentzialzehatza izateko baldintza nahikoa eta beharrezkoa da hurrengo hau: Diferentzial zehatza izateko irizpidea:

  5. Frogapena: Benetan, M(x, y) dx + N(x, y) dy zehatza ba da, orduan existetzen da f funtzioa R eremuan honelakoa:M(x, y) dx + N(x, y) dy =(f/x) dx +(f/y) dyHortaz: eta, ondorioz: Nahikotasuna egiaztatuko dugu hurrengoan, frogatuz nola existitzen den f (eta nola kalkula daitekeen) irizpidearen baldintza baieztatzen denean.

  6. Ebazpen metodoa: f /x = M(x, y) denez: Orain goiko f-ren lehen ordenaho deribatu partziala y-rekiko kalkulatuko dugu eta kontutan izango dugu ere, f /y = N(x, y) berdintza, aldi berean, baieztatzen dela:

  7. Orain, g(y) integratuz y-rekiko, g(y) hori kalkulatuko dugu eta adierazpenean odezkatuko dugu. Honekin batera, f(x, y) funtzioa lortuko dugu eta lehen ordenako ekuazio diferentzialaren soluzioa izango da: f(x, y) = c.

  8. Adibidea Ebatzi 2xy dx + (x2 – 1) dy = 0. Ebazpena:M(x, y)=2xy, N(x, y) = x2 – 1, M/y =2x =N/x Beraz zehatza da eta honelakof funtzioa existituko da:f/x =2xy, f/y =x2 – 1f(x, y) = x2y + g(y)f/y = x2 + g’(y) =x2 – 1g’(y)=-1, g(y) = -y

  9. Orduan f(x, y) = x2y – y, eta soluzioax2y – y = c, edo y = c/(1 – x2) (bigarren era honetan idatzita ikusten da eremutik kanpo geratzen direla x = 1 eta x = -1 puntuak.

  10. Adibidea Ebatzi (e2y – y cos xy)dx+(2xe2y– x cos xy + 2y)dy = 0. Ebazpena:Zehatza da:M/y = 2e2y + xy sin xy – cos xy = N/xHortaz, f funtzioa existitzen da era honetakoa: f/y = 2xe2y – x cos xy + 2yhau da:

  11. Orduan h’(x) = 0, h(x) = c. Eta soluzioa hurrengo da: xe2y – sin xy + y2+ c = 0

  12. Adibidea: Ebatzi hastapen-baldintzetako problema hau: Ebazpena:Honela berridatzi daiteke ekuazio diferentziala: (cos x sin x – xy2) dx + y(1– x2) dy = 0eta:M/y = – 2xy = N/x (zehatza da)Beraz:f/y = y(1– x2) f(x, y) =½y2(1 – x2)+ h(x)f/x = – xy2 + h’(x) =cos x sin x – xy2

  13. Ondorioz:h(x) =cos x sin x h(x) =-½cos2 x eta, ½y2(1– x2) –½cos2 x = c1edo, baliokidea dena: y2(1 – x2) –cos2x = c non c = 2c1. Orain y(0) = 2, denez, c = 3.eta, hastapen-baldintzetako problemaren soluzioa hau da:y2(1 – x2) – cos2 x =3

  14. Faktore integratzaileak Batzuetan, nahiz eta lehen ordenako ekuazio diferentzial bat, M(x, y)dx +N(x, y)dy = 0, zehatza ez izan, existitu daitezke, (x, y), faktore integratzaileak, non(x, y)M(x, y)dx + (x, y)N(x, y)dy = 0 lehen ordenako ekuazio diferentzial zehatza den.Hori gertatuko da baldin eta soilik baldin: (M)y= (N)x Hortaz My + yM = Nx + xN, edoxN– yM = (My – Nx) 

  15. Demagun  dela soilik aldagai bakardun funtzioa, adibidez, soilik x-ren funtzioa, orduan: x = d /dx eta y = 0 ondorioz:Bestela esanda, (My –Nx) / N, soilik x-ren funtzioa bada, orduan, kalkula daiteke x aldagai bakardun funtzioa den  faktore integratzailea.

  16. Era berean,  soilik y-ren funtzioa balitz, orduan: y = d /dy eta x = 0 ondorioz:eta orain, (Nx – My) / M , soilik y-ren funtzioa balitz, orduan, kalkula genezake  faktore integratzailea (soilik y-ren funtzioa izango litzatekeena)

  17. Laburbilduz: M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0zehatza ez bada, baina (My –Nx)/ N soilik x-ren funtzioa bada, orduan: Bestela, M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0zehatza ez bada, Baina (Nx –My) / M soilik y-ren funtzioa bada, orduan:

  18. Adibidea: xy dx + (2x2+ 3y2 – 20) dy = 0ez da zehatza: M = xy, N =2x2 + 3y2 – 20, eta My = x, Nx = 4x Bestaldetik:da x eta y-ren funtzioa.

  19. Beraz, hasierako lehen ordenako ekuazio diferentziala orain honela bilakatzen da:xy4dx + (2x2y3 +3y5– 20y3) dy = 0eta soluzioa (kalkulatu): ½ x2y4 + ½ y6 – 5y4 = c

  20. Lehen ordenako ekuazio diferentzial linealak: Oraintxe ikusiko dugunez, hauek beti dute soilik x-ren funtzioa den, (x), faktore integratzailea.Era kanonikoan edo normalean, ekuazio diferentzial lineala honelakoa da:

More Related