Systèmes différentiels en dimension 3 : comportements « complexes »

1. Master IXXI, cours interdisciplinaire de systèmes dynamiquesEmmanuel Risler, INSA de Lyon4 - systèmes différentiels dans l’espace, dynamiques complexes

2. Systèmes différentiels en dimension 3 : comportements « complexes »

3. Application du boulanger

4. Attracteur étrange et transformation du boulanger

5. Exemples de systèmes chaotiques • Mécanique celeste • Double pendule (voir vidéos) • Convection • Fontaine chaotique de Lorentz : analogue mécanique du phénomène de convection (en régime d’apparition des rouleaux de convection) (voir vidéo) • Billards

6. Modèle de Lorenz Convection

7. Dessin de Poincaré • Poincaré (fin 19ème siècle), découvre des orbites homoclines à des solutions périodiques dans le problème des trois corps plan restreint • Approximation dans laquelle • les trois corps se meuvent dans un même plan • le mouvement des deux corps les plus massifs (le soleil et la terre) est Keplerien (on néglige la masse du troisième, la lune) • Poincaré a découvert l’existence d’orbites homoclines à des orbites périodiques « hyperboliques » dans ce système

8. Application de premier retour… au voisinage d’une orbite périodique = application (« mapping ») du plan, défini au voisinage d’un point fixe

9. Application de premier retour au voisinage d’une orbite périodique « hyperbolique »

10. Chacune des deux variétés (stable et instable) s’accumule sur elle-même. • Infinité d’orbites homoclines • Caractère « autosimilaire » du dessin. • Fer à cheval

11. f(x) I1 E0 I0 I1 I0 x 0 E0 Applications dilatantes de l’intervalle

12. f : E0 R E1 = f-1(E0) = I0 U I1 En = f-n(E0) Pour tout n  N, En a 2n composantes connexes, pour toute composante connexe J de En , fn définit une bijection : J E0 K = f-∞ (E0) ensemble de Cantor h : K S2+ = {0,1}N , x (a0, a1, a2, …) ai = 0 si fi(x)  I0 ai = 1 si fi(x)  I1 h bijection bicontinue, qui conjugue f avec s s : S2+  S2+ le shift sur deux symboles f KK h   h s S2+S2+

13. Conséquences : • Infinité d’orbites périodiques (et orbites périodiques de toutes les périodes) • Pour toute paire d’orbites périodiques, infinité d’orbites homoclines à ces orbites périodiques • Sensibilité aux conditions initiales (« effet papillon ») • « Shadowinglemma » : impossibilité de savoir, par l’observation des solutions, si le système est purement déterministe, ou s’il est soumis à une petite pertubation aléatoire • Analogies : • S1 S1, qnq , n  N • [0;1]  [0;1] , x  10x mod 1 (décalage de la virgule en base 10)

14. Fer à cheval de Smale

15. K+ = f-∞ (E0) ensemble de Cantor K- = f+∞ (E0) ensemble de Cantor • K = K+  K- • h : K S2 = {0,1}Z , x (…, a-2, a-1, a0, a1, a2, …) • ai = 0 si fi(x)  I0 ai = 1 si fi(x)  I1 • h bijection bicontinue, qui conjugue f avec s • s : S2  S2 le shift sur deux symboles f KK h   h s S2S2

16. Conséquences : • Infinité d’orbites périodiques (et orbites périodiques de toutes les périodes) • Pour toute paire d’orbites périodiques, infinité d’orbites homoclines à ces orbites périodiques • Sensibilité aux conditions initiales (« effet papillon ») • « Shadowinglemma » : impossibilité de savoir, par l’observation des solutions, si le système est purement déterministe, ou s’il est soumis à une petite pertubation aléatoire

17. (codimension 1) Im l1 l3 Re l2 l1 = - r + iw l2 = - r - iw l3 = g Application de premier retour au voisinage d’un point « saddle focus »

18. Im Im l1 l1 l3 l3 Re Re l2 l2 • > g • < g Dans ce cas, on va avoir de nouveau des horseshoes au voisinage de l’orbite homocline au point saddle-focus Les horseshoes persistent par perturbation de la dynamique

19. l1 l1 l3 l3 l2 l2 Application de premier retour au voisinage d’un point « saddle focus » (suite)

20. Un attracteur d’un mapping de R3: le solénoïde

21. Attracteur de Hénon

22. Application logistique

27. Point fixe du groupe de renormalisation, universalité • Opérateur de renormalisation • Point fixe • Génériquement, le point fixe est hyperbolique • Le fait que, dans une famille générique à un paramètre (la famille quadratique) on traverse la variété stable du point fixe pour une seule valeur du paramètre « montre » que cette variété stable est de codimension un • Variété instable de dimension un • Sous-variétés pour lesquelles les bifurcations de doublement de période se produisent s’accumulent sur la variété stable • La valeur de la valeur propre instable se retrouve universellement dans les rapports entre les valeurs successives des paramètres de bifurcations dans les phénomènes de cascades de doublement de périodes

28. z  z2+c , c  C , z  C Im(c) Re(c) Polynômes de degré 2 dans C

29. R.M. May (1976). "Simple mathematical models with very complicated dynamics". Nature 261: 459