Factorisation par division

1. Factorisation par division

2. Factoriser, c’est retrouver les facteurs qui constituent un produit. factoriser Produit = facteur X facteur 15 = ou 1 X 15 3 X 5 5a = 5 X a ab = a X b 3x + 3 = 3 X ( x + 1 ) x2 + 5x + 6 = ( x + 2 ) X ( x + 3) Remarque: Comme il existe plusieurs formes de produit, il existe plusieurs techniques de factorisation.

3. Factoriser par division Lorsque l’on connaît l’un des facteurs, on peut déterminer l’autre par division. Exemple: Sachant que 3 est facteur de 15, détermine l’autre facteur ? Ici, on nous fournit un des facteurs soit 3. La division de 15 par 3 nous donnera l’autre facteur soit 5 La division est donc une forme de factorisation.

4. 2 . 2 . 3 . x . x . x . y . y . z 12x3 y2 z 6yz 2 . 3 . y . z Division de monômes Pour diviser un monôme par un monôme, il faut: - diviser les coefficients entre eux; - diviser les lettres semblables en soustrayant leurs exposants; - inclure les lettres différentes dans le terme final; 12x3 y2 z ÷ 6yz : 12 ÷ 6 = 2 x3 y y1 = y2÷ y1 = y2-1 = 1 z0 = z1-1 = z1÷ z1 = z ÷ z = 2 . x3 . y . 1 = 2x3 y On pourrait aussi procéder comme suit: 12x3 y2 z ÷ 6yz : 2x3 y = =

5. 2 . x . x . y . y . y . z 2x2y3z x y2 4xyz2 2 . 2 . x . y . z . z 2 z 1 z 1 2 1 z x y2 x . y2 . . 1 2 z 2 2x2y3z ÷ 4xyz2 : 2 ÷ 4 = 21-2 = 2-1 = 21 ÷ 22 = x1 = x2÷ x1 = x2-1 = x y2 y3÷ y1 = y3-1 = z-1 = z1-2 = z1÷ z2 = = On pourrait aussi procéder comme suit: 2x2y3z ÷ 4xyz2 = = =

6. 2 . 2 . x . x . 2x = 4x2 y 2 . x . y = 2xy 1 1 2x 2 . x . y y y 4x2÷ 2xy = 4x2÷ 2x1y1 4x2 X 1 ÷ 2x1y1 ou 4x2 X y0÷ 2x1y1 : 4 ÷ 2 = 2 x2÷ x1 = x2-1 = x y0÷ y1 = y0-1 = y-1 = = On pourrait aussi procéder comme suit: 4x2÷ 2xy =

7. Selon ce principe 2 . 2 . 3 . x . x . x . y . y . z 12x3 y2 z 6yz 2 . 3 . y . z x3 y 2 Procédé rapide 12x3 y2 z ÷ 6yz : 2x3 y = = x3 x3 y y2 12 z 2 Le plus grand est en haut donc… = y 6 z Ils s’annulent.

8. 2 . x . x . y . y . y . z 2x2y3z x y2 x y2 4xyz2 2 . 2 . x . y . z . z 2 z 2 z Selon ce principe x2 y3 z 2 x y z2 4 22 Procédé rapide 2x2y3z ÷ 4xyz2 = = = x Le plus grand est en haut donc… y2 = 2 z Le plus grand est en bas donc…

9. 2 . 2 . x . x . 2x 2x = 4x2 y y 2 . x . y = 2xy Selon ce principe 24x3y4 23 . 3 . x3 . y4 6a3b3c2 23y2 8y2 = = = = 3x 3x 2a2bc 9x4y2 32 . x4 . y2 ( x2 + 3 )3 120 a4 b3 c6 d88 = = ( x2 + 3 )2 60 a3 b3 c4 d87 4x2÷ 2xy = Procédé rapide x2 x 4 2 Le plus grand est en haut donc… = x y 2 y Effectue les divisions suivantes : 3ab2c ( x2 + 3 ) 2ac2d

10. 3xy + 6y ( 3xy + 6y ) = = 3y 3y 3y x2 - 3x ( x2 – 3x ) = = x x x ( 6x3 + 9x2 – 12x ) 6x3 + 9x2 - 12x = = 3x 3x 3x 3x Division d’un polynôme par un monôme Pour diviser un polynôme par un monôme : - on distribue le monôme sur le polynôme; - on procède alors comme une division d’un monôme par un monôme. Exemples: ( 3xy + 6y ) ÷ 3y = x + 2 x - 3 ( x2 – 3x ) ÷ x = 2x2 + 3x - 4

11. Aire base = volume 2c3 + 10c2 + 12c 2c3 + 10c2 + 12c hauteur 2c 2c 2c3 + 10c2 + 12c = = 2c 2c 2c Problème Le volume de ce prisme est de ( 2c3 + 10c2 + 12c ) unités3. 2c Quelle expression algébrique représente l’aire d’une des bases sachant que la hauteur du prisme est représentée par le monôme 2c ? Volume = Aire base X hauteur c2 + 5c + 6 Réponse: ( c2 + 5c + 6 ) unités2 Remarque: La division est une des techniques de factorisation.