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Factorisation de trinômes

Factorisation de trinômes. a x 2 + b x + c. Remarque:. Tu devrais visionner la présentation: Factorisation par double mise en évidence.ppt avant de visionner celle-ci. Développer. Factoriser. x 2 + 5 x + 6. ( x + 2 ) ( x + 3 ).

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Factorisation de trinômes

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Presentation Transcript

  1. Factorisation de trinômes ax2 + bx + c Remarque: Tu devrais visionner la présentation: Factorisation par double mise en évidence.ppt avant de visionner celle-ci.

  2. Développer Factoriser x2 + 5x + 6 ( x + 2 ) ( x + 3 ) Factoriser un trinôme de la forme ax2 + bx + c, c’est retrouver les facteurs qui l’ont produit. Exemple: ? x ( x + 3 ) + 2 ( x + 3 ) Ce terme est le regroupement de 2 termes, x2 + 3x + 2x + 6 mais lesquels ? 1x + 4x? Termes semblables donc on les regroupe. 7x – 2x? x2 + 5x + 6 3x + 2x ? Pour retrouver ces 2 termes, il faut une méthode.

  3. T1 X T3 = 6x2 3x 3x 2x X 2x T2 = 5x 3x 2x + Méthode T1 T2 T3 x2 + 5x + 6 Appelons le premier terme : T1 Appelons le deuxième terme : T2 Appelons le troisième terme : T3 Pour décomposer le terme du milieu, il faut trouver 2 termes qui respectent, en même temps, les 2 conditions suivantes: - les 2 termes multipliés doivent être égaux à T1 X T3 x2 X 6 = 6x2 - les 2 termes additionnés doivent être égaux à T2 5x = 6x2 = 5x les 2 termes sont donc 3x et 2x .

  4. x2 + 2x + 3x + 6 3 3 x x ( x + 2 ) ( x + 2 ) Lorsque ces 2 termes sont déterminés, on remplace le terme du milieu par ceux-ci; x2 + 5x + 6 on termine par une double mise en évidence. x2 + 2x + 3x + 6 x( ) x + 2 x + 2 + 3 ( ) ( x + 3 ) ( x + 2 )

  5. x x 2 2 x2 + 4x + 2x + 8 ( x + 4 ) ( x + 4 ) T1 X T3 = 8x2 4x 2x T2 = 6x Exemple: Factorise x2 + 6x + 8 x( ) x + 4 x + 4 + 2 ( ) ( x + 2 ) ( x + 4 )

  6. x x 3 3 x2 + 5x + 3x + 15 ( x + 5 ) ( x + 5 ) T1 X T3 = 15x2 5x 3x T2 = 8x Exemple: Factorise x2 + 8x + 15 x( ) x + 5 x + 5 + 3 ( ) ( x + 3 ) ( x + 5 )

  7. + 6x x x -3 -3 -3x x2 + 6x - 3x - 18 ( x + 6 ) ( x + 6 ) T1 X T3 = - 18x2 T2 = 3x Exemple: Factorise x2 + 3x - 18 x( ) x + 6 x + 6 - 3 ( ) ( x - 3 ) ( x + 6 ) Remarque: Connaître ses tables de multiplication et d’addition est, ici, un facteur important.

  8. T1 X T3 = - 14x2 - 7x x x 2 2 + 2x T2 = - 5x x2 - 7x + 2x - 14 ( x - 7 ) ( x - 7 ) x( ) x - 7 x - 7 + 2 ( ) ( x - 7 ) ( x + 2 ) Exemple: Factorise x2 - 5x - 14 x( ) x - 7 x - 7 + 2 ( ) ( x - 7 ) ( x + 2 ) x2 - 5x - 14 Démarche exigée : x2 - 7x + 2x - 14

  9. T1 X T3 = 28x2 - 7x - 4x T2 = - 11x Exemple: Factorise x2 - 11x + 28 x2 - 7x - 4x + 28 x( ) x - 7 x - 7 - 4 ( ) ( x - 4 ) ( x - 7 )

  10. T1 X T3 = 30x2 10x 3x T2 = 13x Exemple: Factorise 6x2 + 13x + 5 6x2 + 3x + 10x + 5 3x( ) 2x + 1 2x + 1 + 5 ( ) ( 3x + 5 ) ( 2x + 1 )

  11. T1 X T3 = 60x2 - 12x - 5x T2 = - 17x Exemple: Factorise 6x2 - 17x + 10 6x2 - 12x - 5x + 10 6x( ) x - 2 x - 2 - 5 ( ) ( 6x - 5 ) ( x - 2 )

  12. T1 X T3 = 110x2 22x 5x T2 = 27x Exemple: Factorise 2x2 + 27x + 55 2x2 + 22x + 5x + 55 2x( ) x + 11 x + 11 + 5 ( ) ( 2x + 5 ) ( x + 11 ) Il n’est pas toujours facile de déterminer les deux termes. Utiliser la technique des facteurs premiers peut aider : 1) Déterminer les facteurs premiers du terme obtenu par T1 X T3 : Exemple: 110 = 2 X 5 X 11 2) Faire des regroupements par addition pour obtenir T2 : Exemple: ( 2 X 11 ) + 5 = 27 ( 2 X 5 ) + 11 = 21 22 + 5 = 27 10 + 11 = 21 non oui

  13. T1 X T3 = - 48x2 - 8x + 6x T2 = - 2x Ce binôme n’est pas assez factorisé. ce polynôme contient 3 facteurs : Exemple: Factorise 4x2 - 2x - 12 4x2 - 8x + 6x - 12 4x( ) x - 2 x - 2 + 6 ( ) ( 4x + 6 ) ( x - 2 ) ( 2x + 3) ( x – 2 ) 4x2 - 2x - 12 2 La simple mise en évidence est toujours la première étape d’une factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes.

  14. T1 X T3 = - 12x2 - 4x + 3x T2 = - x 2 ( 2x( ) x - 2 x – 2 ) + 3 ( ) ( 2x + 3 ) ( x - 2 ) 2 La simple mise en évidence est toujours la première étape d’une factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes. 4x2 - 2x - 12 2 ( 2x2 - x – 6) 2 ( 2x2 - 4x + 3x - 6 )

  15. T1 X T3 = 18x2 9x 2x T2 = 11 x Problème Sachant que le polynôme 3x2 + 11x + 6 représente l’aire de ce rectangle, détermine l’expression algébrique représentant son périmètre. 3x2 + 11x + 6 1) Factoriser le polynôme pour connaître les dimensions du rectangle: 3x2 + 11x + 6 3x2 + 9x + 2x + 6 3x( ) x + 3 x + 3 + 2 ( ) ( x + 3 ) ( 3x + 2 ) 2 ) Calculer le périmètre: P = 2 ( L + l ) P = 2 ( 3x + 2 + x + 3 ) = 2 ( 4x + 5 ) = 8x + 10

  16. T1 X T3 = 20x2 - 5x - 4x T2 = - 9x ( x - 5 ) ( x - 4 ) = 0 4 , 5 Problème Pour quelles valeurs de x , le polynôme x2 – 9x + 20 est – il égal à zéro ? 1) Factoriser le polynôme: x2 - 9x + 20 = 0 x2 - 5x - 4x + 20 = 0 x( ) x - 5 x - 5 - 4 ( ) = 0 ( x - 5 ) ( x - 4 ) = 0 2) Loi du produit nul: soit x - 4 = 0 donc x = 4 soit x - 5 = 0 donc x = 5

  17. Aire base = volume hauteur 4x3 + 44x2 + 127x + 105 2x + 3 Problème Un prisme à base rectangulaire a un volume représenté par l’expression algébrique ( 4x3 + 44x2 + 127x + 105 ) cm3. Quelles expressions algébriques représentent les dimensions de la base si on sait que la hauteur du prisme est représentée par 2x + 3 ? 1) Déterminer l’expression algébrique représentant la base du prisme: 4x3 + 44x2 + 127x + 105 Volume = Aire base X hauteur 2x + 3 + 127x + 105 + - - - 4x3 + 6x2 + 19x 2x2 + 35 + 105 + 38x2 + - - - + 38x2 + 57x 70x + - + 105 + 70x - - 0 0 L’expression algébrique représentant l’aire de la base est ( 2x2 + 19x + 35 ) cm2.

  18. T1 X T3 = 70x2 14x 5x T2 = 19x 2) Factoriser 2x2 + 19x + 35 2x2 + 14x + 5x + 35 2x( ) x + 7 x + 7 + 5 ( ) ( x + 7 ) ( 2x + 5 ) Les dimensions de la base du prisme sont ( 2x + 5 ) cm et ( x + 7 ) cm.

  19. Longueur X largeur Aire = ( 4x + 18 ) ( 4x – 2 ) Aire = Aire = 4x ( 4x – 2 ) + 18 ( 4x – 2 ) Aire = 16x2 - 8x + 72x - 36 Aire = 16x2 + 64x - 36 Problème ( 4x – 2 ) Pour quelle valeur de x , l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ? ( 4x + 18 ) 1) Déterminer l’expression algébrique représentant l’aire du rectangle.

  20. Aire = 16x2 + 64x - 36 684 = 16x2 + 64x - 36 684 = 16x2 + 64x - 36 - 684 - 684 16x2 + 64x - 720 0 = ( 4x – 2 ) Pour quelle valeur de x , l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ? ( 4x + 18 ) 2) Déterminer l’équation: 3) Ramener l’équation à 0:

  21. Le facteur 16 n’influence pas les valeurs de x, donc à rejeter; 16x2 + 64x - 720 0 = ( 4x – 2 ) Pour quelle valeur de x , l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ? ( 4x + 18 ) 4) Déterminer les valeurs de x par factorisation et par la loi du produit nul. 0 = 16 ( x2 + 4x – 45 ) 0 = 16 ( x + 9 ) ( x - 5 ) 0 = ( x + 9 ) ( x - 5 ) en géométrie, on ne peut pas avoir une valeur négative. si x + 9 = 0 alors x = - 9 si x – 5 = 0 alors x = 5 cm Réponse: 5

  22. 684 = 16x2 + 64x - 36 684 = 16 X 52 + 64 X 5 - 36 684 = 400 + 320 - 36 684 = 720 - 36 684 = 684 ( 4x – 2 ) Pour quelle valeur de x , l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ? ( 4x + 18 ) Validation Pour x = 5 Remarque : La factorisation et la loi du produit nul est une des méthodes permettant de résoudre une équation du second degré.

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