Factorisation des fonctions logiques

1. Factorisation des fonctions logiques Factorisation des fonctions logiques Polytech' Montpellier Université Montpellier II Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier cedex 05, FRANCE Laboratoire d'Informatique, de Robotique et de Microélectronique de Montpellier UMR 9928 Université Montpellier II / CNRS 161 rue Ada, 34392 Montpellier cedex 05, FRANCE

2. cd 00 01 11 10 ab 00 01 1 1 1 1 1 11 1 10 1 1 1 12 Transistors 24 Transistors Effet de la factorisation F = a.c + a.d + b.c + b.d Factorisation => F = (a + b) . (c + d)

3. Produit algébrique Soit F et G deux expressions algébriques de deux fonctions booléennes F = S mi pour i=1,...,n G = S mj pour j=1,...,m Le produit algébriqueF.G est défini par: F.G = S mi.mj pour i=1,...,n et j=1,...,m F = a + b G = c + d’.e F.G = a.c + a.d’.e + b.c + b.d’.e

4. Division algébrique Soit F et G deux expressions algébriques de deux fonctions booléennes G est un diviseur algébrique deF si F = G.Q + R où : G.Q est le produit algébrique Q est la plus grande expression possible non nulle, càd qu’il n’existe pas Q’ tel que Q < Q’ et F = G.Q’ + R R est une expression algébrique Le quotient Q (noté aussi F/G) et le reste R de cette division sont uniques F = a.b + a.d + c.b + d.c + e G = a + c G est un diviseur de F. Q = b + d R = e Si F = G.Q (càd R = 0) avec les mêmes conditions, G est un facteur algébrique de F

5. Division algébrique vs division booléenne • F = a' b + b.c + a.c et Q = a + b • Division algébrique : F = c (a+ b) + a' b • Division booléenne : F = (a+ b) (a' + c) • Plus efficace mais difficile à automatiser

6. Expression libre Une expression algébrique F est une expression libres’il n’existe pas de monôme m (avec m différent de 1) qui soit un facteur algébrique de F. F = a.b + a.c n’est pas libre F = a.b.c n’est pas libre F = a.b + c est libre

7. Noyau K est un noyau d’une expression algébrique F si K = F/m (quotient) où m est un monôme et K une expression libre m est appelé le co-noyau de K Un noyau est de degré 0 s’il n’admet pas d’autre noyau que lui même. (Le degré d’un noyau est défini de manière récursive) F = a’.b’.c’.d’ + a’.b.d + a’.c.d + a.b’.c’.d K = (b’.c’.d’ + b.d + c.d) est un noyau de F, a’ est son co-noyau K n’est pas de degré 0 (degré 1) K admet un noyau K1 = (b + c), d étant son co-noyau Les noyaux d’une expression algébrique représentent toutes les factorisations maximales possibles (en nombre de variables)

8. Gain associé à un noyau G: Gain en nombre de littéraux associé à un noyau G = (Nombre de littéraux du co-noyau) * (Nombre de monômes du noyau -1) F = a’.b’.c’.d’ + a’.b.d + a’.c.d + a.b’.c’.d => 14 littéraux K = (b’.c’.d’ + b.d + c.d) est un noyau de gain G = 2 (1*(3-1)) F = a’.(b’.c’.d’ + b.d + c.d) + a.b’.c’.d => 12 littéraux

9. Factorisation d’une fonction simple - Algorithme 1 Algorithme: 1 - Calculer tous les noyaux de degré 0 de F 2 - Classer les noyaux par gain croissant 3 - Opérer les divisions successives de la fonction par les noyaux. F = a’.b’.c’.d’ + a’.b.d + a’.c.d + a.b’.c’.d Les noyaux et co-noyaux de degré 0 de F sont: K1 = a’.d’ + a.d (Co-noyau: b’.c’) => Gain 2 K2 = b + c (Co-noyau: a’.d) => Gain 2 F/K1 = b’.c’.(a’.d’ + a.d) + a’.b.d + a’.c.d (F/K1)/K2 = b’.c’.(a’.d’ + a.d) + a’.d.(b + c)

10. Factorisation d’une fonction simple - Algorithme 1 Attention : une fois une factorisation effectuée, il est possible que certaines des factorisations suivantes soient impossibles F = a.b + a.c.d + c.e Les noyaux et co-noyaux de degré 0 de F sont: K1 = b + c.d (Co-noyau: a) => Gain 1 K2 = a.d + e (Co-noyau: c) => Gain 1 F/K1 = a.(b + c.d) + c.e (F/K1)/K2 => Impossible

11. Factorisation d’une fonction simple - Algorithme 2 Algorithme: 1 - Calculer tous les noyaux de degré 0 de F 2 - Diviser par le noyau de gain maximal et renommer ce noyau par une sous- fonction 3 - Recommencer en 1 jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de noyau 4 - Réinjecter toutes les sous-fonctions pour obtenir la forme factorisée de F. F = a’.b’.c’.d’ + a’.b.d + a’.c.d + a.b’.c’.d noyaux et co-noyaux de degré 0 de F : K1 = a’.d’ + a.d (Co-noyau: b’.c’) => Gain 2 K2 = b + c (Co-noyau: a’.d) => Gain 2 Gain identique => division par K1 F = b’.c’.(K1) + a’.b.d + a’.c.d noyaux et co-noyaux de degré 0 de F : K3 = b + c (Co-noyau: a’.d) => Gain 2 Division par K3 F = b’.c’.(K1) + a’.d.(K3) Plus de noyau de degré 0. En réinjectant K1 et K3 on obtient: F = b’.c’.(a’.d’ + a.d) + a’.d.(b + c)

12. f1 f1 f2 f2 Factorisation des fonctions multiples • Sous-expressions communes à plusieurs fonctions. • Les noyaux ou parties de noyaux communs • f1 = acd+ade+abd+i Noyau de f1 : b+c+e => f1 = ad (c+e) +abd + i • f2 = bcd+bde+bdh Noyau de f2 : c+e+h => f2 = bd (c+e) + bdh • Les monômes ou parties de monômes communs • f1 = abcd + e => f1 = S d + e • f2 = abce + d => f2 = S e + d • S = abc

13. Recherche de noyaux ou parties de noyaux communs Algorithme: 1 - On calcule tous les noyaux de chaque fonction Fi 2 - On associe à chaque monôme de tous les noyaux une variable Tj 3 - Pour chaque noyau on associe le monôme  Tk qui compose ce noyau 4 - On calcule tous les noyaux de la fonction Z = ( Tk) 5 - Chaque co-noyau d'un noyau de degré 0 de la fonction Z correspond à une partie de noyau commune. F1 = a.c.d + a.d.e + a.i F2 = b.c.d + b.d.e + b.h F3 = e.c.d + e.i Noyau de F1: (c.d + d.e + i) (Co-noyau = a) Gain = 1*(3-1) = 2 (c + e) (Co-noyau = a.d) Gain = 2*(2-1) = 2Noyau de F2: (c.d + d.e + h) (Co-noyau = b) Gain = 1*(3-1) = 2 (c + e) (Co-noyau = b.d) Gain = 2*(2-1) = 2Noyau de F3: (c.d + i) (Co-noyau = e) Gain = 1*(2-1) = 1

14. Recherche de noyaux ou parties de noyaux communs • On associe une variable Ti à chaque monôme des noyaux: • T1 = c.dT2 = d.eT3 = iT4 = cT5 = eT6 = h • On forme la fonction Z = T1.T2.T3 + T4.T5 + T1.T2.T6 + T4.T5 + T1.T3 • Les noyaux et co-noyaux des noyaux de degré 0 de Z sont: T1.T2 , T1.T3 et T4.T5 • Les parties de noyaux communs sont donc: (c.d + d.e) , (c.d + i) et (c + e)

15. Gain associé à un noyau commun ou partie commune Pour chaque fonction i où la partie commune est renommée, gain localGi Gi = (Nombre de lit. du co-noyau i) * (Nombre de monômes de la partie commune -1) Gain global G (en nombre de littéraux) G =  [ Gi] + [(Nombre de lit. de la sous-fonction -1) * (Nombre d'occurrences de la sous-fonction)] - [Nombre de lit. de la sous-fonction] • Gain associé à H = c.d + d.e: • G = [1*(2 - 1) + 1*(2 - 1)] + [(4 - 1) * 2] - [4]G = 4 H = c.d + d.e F1 = a.H + a.i F2 = b.H + b.h F3 = e.c.d + e.i 17 littéraux F1 = a.c.d + a.d.e + a.i F2 = b.c.d + b.d.e + b.h F3 = e.c.d + e.i 21 littéraux

16. Recherche de monômes ou parties de monômes communes Algorithme 1 - On rajoute à chaque monôme de chaque fonction Fi une variable vi 2 - On calcule tous les noyaux de degré 0 et co-noyaux associés de la fonction Z composée de tous les monômes précédemment construits 3 - Les co-noyaux de noyaux de degré 0 dans lesquels aucune variable vi n'apparaît correspondent à des parties de monômes communs. Si plusieurs co-noyaux sont associés au même noyau, ils forment une somme de monômes communs Exemple F1 = a.b.c.d + d.e + h F2 = a.b.c.e + d.e + h Z = a.b.c.d.v1 + d.e.v1 + h.v1 + a.b.c.e.v2 + d.e.v2 + h.v2 Noyau Co-noyau d.v1 + e.v2 a.b.cv1 + v2 d.ev1 + v2 h 1) a.b.c : partie de monômes commune à F1 et F2 2) (d.e + h) : somme de monômes commune à F1 et F2

17. Gain associé G = [(Nombre de lit. de la sous-fonction -1) * (Nombre d'occurrences de la sous-fonction)] - [Nombre de lit. de la sous-fonction] F1 = F3.d + d.e + hF2 = F3.e + d.e + h F3 = abc F1 = a.b.c.d + d.e + hF2 = a.b.c.e + d.e + h 14 Littéraux 13 Littéraux Sous-fonction commune F3 = a.b.c G = [(3 - 1) * 2] - [3] = 1

18. Algorithme général de factorisation des fonctions multiples • 1- Calculer tous les noyaux de chaque fonction et déterminer leur gain • 2 - Calculer toutes les parties de noyaux communes à plusieurs fonctions et calculer le gain • 3 - Calculer toutes les parties de monômes et sommes de monômes communs à plusieurs fonctions et calculer le gain • 4 - Renommer la sous-fonction de gain maximal et l’ajouter à la liste des fonctions. • 5 - Retourner en 1 tant qu’il existe un noyau, une partie de monôme commune ou une somme de monômes communs dont le gain est positif. • 6 - Réinjecter toutes les sous-fonctions

19. Exemple F1 = a'.b'.c'.d' + a'.b.d + a'.c.d + a.b'.c'.d 24 littérauxF2 = a'.b'.c'.d + a.b.d' + a.c.d’ 1 - Noyaux de chaque fonction Noyau de F1: K11 = (a'.d' + a.d) => Gain = 2*(2-1) = 2 K12 = (b'.c'.d' + b.d + c.d) => Gain = 1*(3-1) = 2 K13 = (a'.b + a'.c + a.b'.c') => Gain = 1*(3-1) = 2 K14 = (b + c) => Gain = 2*(2-1) = 2 Noyau de F2: K21 = (b + c) => Gain = 2*(2-1) = 2 2 - Parties de noyaux communes (b + c) => Gain = [2+2] + [(2-1)*2] - [2] = 4 3 - Parties de monômes communs a'.b'.c' => Gain = [(3-1)*2 ] -[3] = 1 4 - Choix de la sous-fonction de gain maximal F1 = a'.b'.c'.d' + a'.d.G1 + a.b'.c'.dF2 = a'.b'.c'.d + a.d'.G1G1 = b + c 20 littéraux

20. Exemple F1 = a'.b'.c'.d' + a'.d.G1 + a.b'.c'.dF2 = a'.b'.c'.d + a.d'.G1G1 = b + c 1 - Noyaux de chaque fonction Noyau de F1: K11 = (b'.c'.d' + d.G1) => Gain 1 K12 = (a'.G1 + a.b'.c') => Gain 1 K13 = (a'.d' + a.d) => Gain 2 Noyau de F2: Aucun Noyau de G1: Aucun 2 - Parties de noyaux communs => Aucun 3 - Parties de monômes communs a'.b'.c' => Gain 1 4 - Choix de la sous-fonction de gain maximal F1 = b'.c'.G2 + a'.d.G1 F2 = a'.b'.c'.d + a.d'.G1 G1 = b + c G2 = a'.d' + a.d 19 littéraux

21. Exemple 1 - Noyaux de chaque fonction Noyau de F1: Aucun Noyau de F2: Aucun Noyau de G1: Aucun Noyau de G2: Aucun 2 - Parties de noyaux communes => Aucun 3 - Parties de monômes communs => b'.c' Gain 0 => a'.d Gain 0 Il n’existe plus de sous-fonction possible de gain positif (b'.c' et a'.d ont un gain nul) 6 - Réinjecter toutes les sous-fonctions F1 = b'.c'.G2 + a'.d.G1 F1 = b'.c'.(a'.d' + a.d) + a'.d.(b + c) F2 = a'.b'.c'.d + a.d'.G1 F2 = a'.b'.c'.d + a.d'.(b + c) G1 = b + c G2 = a'.d' + a.d

22. Décomposition technologique - niveau portes Décomposition sur une bibliothèque d’éléments précaractérisés “Technology mapping” ou "assignation technologique" Bibliothèque d’éléments prédéfinis Réseau de cellules (chemin critique et surface optimisés) Ensemble d’équations booléennes minimisées Etape suivant la factorisation (minimisation du nombre de littéraux)

23. F t5’ t4h+ t2t3 t1t2 + fg a+bc d+e ab+c Décomposition technologique (Technology Mapping) Exemple: t1 = a + bc; t2 = d + e; t3 = ab + c; t4 = t1t2 + fg; t5 = t4h + t2t3; F = t5’; Ensemble d'équations logiques non optimisées de 16 littéraux

24. Equations Optimisées En utilisant la factorisation (indépendante de la technologie) ces équations sont optimisées en utilisant seulement 14 littéraux : t1 = d + e; t2 = b + h; t3 = at2 + c; t4 = t1t3 + fgh; F = t4’; F t4’ F t3 t5’ t1t3 + fgh at2 +c t4h+ t2t3 t2 t1 t1t2 + fg b+h d+e d+e ab+d a+bc

25. Bibliothèque Implanter ce réseau en utilisant un ensemble de portes appartenant à une bibliothèque. Chaque porte a un coût (surface, délai, puissance, …)

26. Approche algorithmique Approche algorithmique [DAGON, MISII] • Représenter chaque fonction du réseau en utilisant un ensemble d' opérateurs de base. Cette représentation est appelée le graphe sujet. • Typiquement, la base est le NAND 2 entrées et l'inversion [MISII]. • Cet ensemble doit être fonctionnellement complet. • De même, chaque porte de la bibliothèque est représentée en utilisant les opérateurs de base => graphes formes • Représenter chaque porte de toutes les façons possibles 3. Chercher une couverture optimale du graphe sujet par des graphes formes

27. Graphe sujet Graphe sujet représenté en opérateursNAND2 et NOT t1 = d + e; t2 = b + h; t3 = at2 + c; t4 = t1t3 + fgh; F = t4’; F F t4’ f t1t3 + fgh t3 c at2 +c d’ e’ t2 g h t1 a b+h d+e b’ h’

28. nand3 (3) Exemple de bibliothèque : graphes formes inv(1) nand2(2) and2(3) nor(2) or2(3) nor3 (3) aoi21 (3) oai22 (4) xor (5) xnor (5) Graphes des portes représentés en opérateursNAND2 et NOT

29. Approche algorithmique Une couvertureest une collection de graphes formes telle que • chaque noeud du graphe sujet est contenu dans un (ou plusieurs) graphes formes • chaque entréed'un graphe forme est la sortie d'un autre graphe forme (i.e. les entrées d'une porte sont la sortie d'autres portes) Si l'on vise la surface minimale, le coût de la couverture est la somme des surfaces des portes de la couverture. Problème du mapping technologique : trouver une couverture de coût minimum du graphe sujet en choisissant les portes dans la bibliothèque.

30. Graphe Sujet t1 = d + e; t2 = b + h; t3 = at2 + c; t4 = t1t3 + fgh; F = t4’; f g d F e h b a c

31. Couverture du graphe sujet t1 = d + e; t2 = b + h; t3 = at2 + c; t4 = t1t3 + fgh; F = t4’; nand2(2) inv(1) f g d F e h b a Coût total = 23 c

32. Une autre couverture (meilleure) t1 = d + e; t2 = b + h; t3 = at2 + c; t4 = t1t3 + fgh; F = t4’; and2(3) f g aoi22(4) or2(3) d F e h or2(3) nand2(2) b a nand2(2) c Coût total = 19 inv(1)

33. Une autre couverture (encore meilleure) t1 = d + e; t2 = b + h; t3 = at2 + c; t4 = t1t3 + fgh; F = t4’; f nand3(3) g and2(3) oai21(3) d F e h b oai21 (3) a nand2(2) c Coût total= 15 inv(1)

34. Technology mapping par couverture Entrée • Réseau logique optimisé, indépendamment de la technologie • La description des portes dans une bibliothèque avec leur coût. Sortie • Réseau de portes(netlist) de la bibliothèque qui minimise le coût total Approche Générale • Construire le graphe sujet du réseau. • Représenter chaque porte de la bibliothèque par un graphe forme (ou plusieurs) • Trouver une couverture optimale du graphe sujet par les graphes formes des portes de la bibliothèque

35. Résolution • Dans le cas général, le problème de la recherche d'une couverture optimale est un problème dit NP-dur i.e. qu'il faut d'abord générer toutes les solutions, et ensuite choisir la meilleure • Si le graphe sujet et les graphes formes sont des arbres (pas de reconvergence) il existe un algorithme efficace.

36. Cas général => problème de satisfiabilité • Chercher tous les "matches" possibles {mk } (ellipses dans fig.) pour chaque noeud du graphe sujet • En utilisant une variable mi booléenne pour chaque "match" d'un graphe forme dans le graphe sujet, (mi =1 si le match est choisi, 0 sinon) • Ecrire une clause pour chaque nœud du graphe sujet indiquant les possibilités de recouvrement de ce nœud. Chaque nœud doit être couvert. • si un noeud du graphe sujet est couvert par les matches {m1, m2, ...}, la clause est (m1 + m2 + ...), càd le nœud de la fonction peut être couvert par m1 ou m2 ou … • Ex : 1 o1 m1 :porte NAND2 3 5 2 m2 :porte OR2 a 4 6 b 7 8 c o2 9 d

37. Cas général => problème de satisfiabilité • Répéter pour chaque noeud : • (mi1+mi2+…+min) • Prendre le produit de toutes les clauses càd tous les nœuds doivent être couverts => (CNF ou forme πΣ) • (mi1+mi2+…+min) . (mj1+mj2+…+mjn)…….. (mk1+mk2+…+mkn) • Déterminer les jeux de valeurs des mi pour lesquels la forme πΣ =1 • (mi1+mi2+…+min) . (mj1+mj2+…+mjn)…….. (mk1+mk2+…+mkn) = 1 • Déterminer parmi tous les jeux de valeurs celui-ci qui a le cout minimal

38. problème de satisfiabilité 1 o1 3 5 2 a 4 6 b 7 8 c o2 Porte nand3 (3) 9 d m11 m10 Pour n7 : (m10 + m11 + …..)

39. problème de satisfiabilité • Toute assignation des mi pour laquelle la CNF est satisfaite (i.e. =1) garantit que toutes les noeuds du graphe sujet sont couverts, mais ne garantit pas que les entrées d'une porte choisie corresponde à des sorties d'autres portes • Ex : • On rectifie en ajoutant des clauses supplémentaires à la CNF 1 o1 3 5 2 a 4 6 b 7 8 c o2 9 d

40. Problème de satisfiabilité : entrées/sorties • Soit le match miqui a les noeuds ei1,…,eincomme entrées. Si miest choisi, un des matches qui implante eijdoit aussi être choisi pour chaque entrée (j n'est pas une entrée primaire). • Soit Sijune expression disjonctive (le "ou") des variables mk donnant les matches qui implantent eij et pour lesquels eij est une sortie. • Sélectionner le match miimplique de satisfaire chacune des expressions Sijpour j = 1 … n. • On peut l'écrire : (mi(Si1 … Sin ) ) (m'i + (Si1 … Sin ) ) ((m'i + Si1)… (m'i + Sin ) ) 1 3 2

41. couverture de DAG => problème de statisfiabilité • Un match pour chaque sortie primaire doit être sélectionné • Une assignation des variables mi pour laquelle la CNF vaut 1 est une couverture possible. • Minimisation surface : chaque match mia un coût ci i.e. la surface de la porte que le matche représente. • Le but est de trouver une assignation qui satisfasse la CNF dont le coût total soit minimum. • Trouver un monôme premier de coût minimum: • si la variable mi =0, (mi n'est pas choisi), son coût est 0 • si la variable mi =1, (mi est choisi), son coût est ci

42. Exemple 1 o1 3 5 2 a 4 6 b 7 8 c o2 9 d

43. Exemple Générer les contraintes de couverture de chaque noeud : (m1+ m12+ m14) (m2+ m12+ m14) (m3+ m12+ m14)(m4+ m11+ m12+ m13) (m5+ m12+ m14)(m6+ m11+ m13) (m7+ m10+ m11+ m13)(m8+ m10+ m13) (m9+ m10+ m13)

44. Exemple Pour assurer qu'une couverture conduit à un circuit valide, des clauses supplémentaires sont générées. • Par exemple, sélectionner m3 nécessite de : • choisir un match qui a n2 comme sortie, et • choisir un match qui a n1 comme sortie. Le seul match dont la sortie est n1 est m1, et le seul match dont la sortie est n2 est m2 m1 m3 1 On rajoute la clause : (m3 {m1,m2}) i.e. (m'3+ m1) (m'3 + m2) o1 3 5 2 m2 a 4 6 b 7 8 c o2 9 d

45. Exemple • On avait : (m1+ m12+ m14) (m2+ m12+ m14) (m3+ m12+ m14) (m4+ m11+ m12+ m13) (m5+ m12+ m14) (m6+ m11+ m13) (m7+ m10+ m11+ m13)(m8+ m10+ m13) (m9+ m10+ m13) • On rajoute :(m'3+ m1) (m'3+ m2) (m3+m'5) (m'5+ m4) (m'6+ m4)(m'7+ m6) (m'8+ m7) (m8+m'9) (m'10+ m6)(m'14+ m4) (m5+ m12+ m14) (m9+ m10+ m13) • On développe ….. • L'expression de la couverture a 58 monômes premiers • Le monôme premier de coût minimal estm'3m'5m'6m'7m'8m'9m'10 m12 m13m'14 • c-à-d deux portes de coût total 9. Cela correspond à une couverture qui sélectionne les matchs m12(xnor2) et m13 (nand4).

46. Exemple m'3m'5m'6m'7m'8m'9m'10 m12 m13m'14 1 • NB le noeud n4est couvert par les 2 matchs càd sa fonction est dédoublée. o1 3 5 2 a 4 6 b 7 8 c o2 9 d

47. Complexité de la couverture de DAG Methodes de résolution: • Branch and bound [Thelen] • BDD-s [Lin and Somenzi] Même pour des circuits de taille modérée, résolution longue. = > Se ramener à des arbres

48. Couverture optimale par des arbres • F = (f1,f2) • f1 = cd’+ abe + ce + a’b’de + cb’de • f2 = a ’ + abd + cd + e’ Factorisation => g1 = a.b+c g2= b’.d.e g3= g1.e+ (a’+c).g2 f1 = c d’ +g3 f2 = a’+ d.g1+e’ Partitionnement : Fonctions mono-sortie (arbres) g2 g3 f1 g1 f2

49. Mapping optimisé Algorithme : programmation dynamique (des feuilles vers la racine) Fonction Bibliothèque inv = 2 nand2 =3 and2 =4 aoi21 = 6 nor2 = 2,5 u t y z x d a c b

50. Mapping optimisé Bibliothèque Fonction inv:2 nand2:3 and2:4 aoi21:6 nor2:2,5 u t y z x d a c b