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Factorisation de trinômes

Factorisation de trinômes. a x 2 + b x + c. Remarque :. Tu devrais visionner la présentation : Factorisation par double mise en évidence.ppt avant de visionner celle-ci. Développer. Factoriser. x 2 + 5 x + 6. ( x + 2) ( x + 3).

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Factorisation de trinômes

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Presentation Transcript

  1. Factorisation de trinômes ax2 + bx + c Remarque : Tu devrais visionner la présentation : Factorisation par double mise en évidence.ppt avant de visionner celle-ci.

  2. Développer Factoriser x2 + 5x + 6 (x + 2) (x + 3) Factoriser un trinôme de la forme ax2 + bx + c, c’est retrouver les facteurs qui l’ont produit. Exemple : ? x (x + 3) + 2 (x + 3) Ce terme est le regroupement de 2 termes, x2 + 3x + 2x + 6 mais lesquels ? 1x + 4x? Termes semblables, donc on les regroupe. 7x – 2x? x2 + 5x + 6 3x + 2x ? Pour retrouver ces 2 termes, il faut une méthode.

  3. T1 X T3 = 6x2 3x 3x 2x X 2x T2 = 5x 3x 2x + Méthode T1 T2 T3 x2 + 5x + 6 Appelons le premier terme : T1 Appelons le deuxième terme : T2 Appelons le troisième terme : T3 Pour décomposer le terme du milieu, il faut trouver 2 termes qui respectent, en même temps, les 2 conditions suivantes : - les 2 termes multipliés doivent être égaux à T1 X T3 x2 X 6 = 6x2 - les 2 termes additionnés doivent être égaux à T2 5x = 6x2 = 5x Les 2 termes sont donc 3x et 2x.

  4. x2 + 2x + 3x + 6 3 3 x x (x + 2) (x + 2) Lorsque ces 2 termes sont déterminés, on remplace le terme du milieu par ceux-ci; x2 + 5x + 6 on termine par une double mise en évidence. x2 + 2x + 3x + 6 x( ) x + 2 x + 2 + 3 ( ) (x + 3) (x + 2)

  5. x x 2 2 x2 + 4x + 2x + 8 (x + 4) (x + 4) T1 X T3 = 8x2 4x 2x T2 = 6x Problèmes Factorise x2 + 6x + 8 x( ) x + 4 x + 4 + 2 ( ) (x + 2) (x + 4)

  6. x x 3 3 x2 + 5x + 3x + 15 (x + 5) (x + 5) T1 X T3 = 15x2 5x 3x T2 = 8x Factorise x2 + 8x + 15 x( ) x + 5 x + 5 + 3 ( ) (x + 3) (x + 5)

  7. - 6x + 6x x x x x 3 -3 -3 3 +3x - 3x x2 - 6x + 3x - 18 x2 + 6x - 3x - 18 T1 X T3 = - 18x2 T2 = + 3x (x + 6) (x - 6) (x + 6) (x - 6) T1 X T3 = - 18x2 T2 = - 3x Factorise x2 + 3x - 18 x( ) x + 6 x + 6 - 3 ( ) (x - 3) (x + 6) Factorise x2 - 3x - 18 x( ) x - 6 x - 6 + 3 ( ) (x + 3) (x - 6)

  8. T1 X T3 = - 14x2 - 7x x x 2 2 + 2x T2 = - 5x x2 - 7x + 2x - 14 (x - 7) (x - 7) x( ) x - 7 x - 7 + 2 ( ) (x - 7) (x + 2) Factorise x2 - 5x - 14 x( ) x - 7 x - 7 + 2 ( ) (x - 7) (x + 2) x2 - 5x - 14 Démarche exigée : x2 - 7x + 2x - 14 Remarque : Connaître ses tables de multiplication et d’addition est, ici, un facteur important.

  9. T1 X T3 = 28x2 - 7x - 4x T2 = - 11x Factorise x2 - 11x + 28 x2 - 7x - 4x + 28 x( ) x - 7 x - 7 - 4 ( ) (x - 4) (x - 7)

  10. T1 X T3 = 30x2 10x 3x T2 = 13x Factorise 6x2 + 13x + 5 6x2 + 3x + 10x + 5 3x( ) 2x + 1 2x + 1 + 5 ( ) (3x + 5) (2x + 1)

  11. T1 X T3 = 60x2 - 12x - 5x T2 = - 17x Factorise 6x2 - 17x + 10 6x2 - 12x - 5x + 10 6x( ) x - 2 x - 2 - 5 ( ) (6x - 5) (x - 2)

  12. T1 X T3 = 110x2 22x 5x T2 = 27x Factorise 2x2 + 27x + 55 2x2 + 22x + 5x + 55 2x( ) x + 11 x + 11 + 5 ( ) (2x + 5) (x + 11) Il n’est pas toujours facile de déterminer les deux termes. Utiliser la technique de décomposition en facteurs premiers peut aider : 1) Déterminer les facteurs premiers du terme obtenu par T1 X T3 : 110 = 2 X 5 X 11 Exemple : 2) Faire des regroupements par addition pour obtenir T2 : Exemple : (2 X 11) + 5 = 27 (2 X 5) + 11 = 21 22 + 5 = 27 10 + 11 = 21 non oui

  13. T1 X T3 = - 48x2 - 8x + 6x T2 = - 2x Ce binôme n’est pas assez factorisé. Ce polynôme contient 3 facteurs : Factorise 4x2 - 2x - 12 4x2 - 8x + 6x - 12 4x( ) x - 2 x - 2 + 6 ( ) (4x + 6) (x - 2) (2x + 3) (x – 2) 4x2 - 2x - 12 2 La simple mise en évidence est toujours la première étape d’une factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes.

  14. T1 X T3 = - 12x2 - 4x + 3x T2 = - x (2x + 3) (x - 2) 2 La simple mise en évidence est toujours la première étape d’une factorisation quand un même facteur se retrouve dans tous les termes. 4x2 - 2x - 12 2 (2x2 - x – 6) 2 (2x2 - 4x + 3x - 6) 2 (2x( ) x – 2 ) x - 2 + 3 ( )

  15. T1 X T3 = 18x2 9x 2x T2 = 11 x Problèmes Sachant que le polynôme 3x2 + 11x + 6 représente l’aire de ce rectangle, détermine l’expression algébrique représentant son périmètre. 3x2 + 11x + 6 1) Factoriser le polynôme pour connaître les dimensions du rectangle : 3x2 + 11x + 6 3x2 + 9x + 2x + 6 3x( ) x + 3 x + 3 + 2 ( ) (3x + 2) (x + 3) 2 ) Calculer le périmètre : P = 2 (L + l) P = 2 (3x + 2 + x + 3) = 2 (4x + 5) = 8x + 10

  16. T1 X T3 = 20x2 - 5x - 4x T2 = - 9x (x - 5) (x - 4) = 0 4 , 5 Les servent à énumérer un ensemble de réponses. Pour quelles valeurs de x , le polynôme x2 – 9x + 20 est – il égal à zéro ? 1) Factoriser le polynôme : x2 - 9x + 20 = 0 x2 - 5x - 4x + 20 = 0 x( ) x - 5 x - 5 - 4 ( ) = 0 (x - 5) (x - 4) = 0 2) Loi du produit nul : Soit x - 4 = 0, donc x = 4 Soit x - 5 = 0, donc x = 5 Remarque :

  17. Aire base = volume hauteur 4x3 + 44x2 + 127x + 105 2x + 3 Un prisme à base rectangulaire a un volume représenté par l’expression algébrique (4x3 + 44x2 + 127x + 105) cm3. Quelles expressions algébriques représentent les dimensions de la base si la hauteur du prisme est représentée par 2x + 3 ? 1) Déterminer l’expression algébrique représentant la base du prisme : 4x3 + 44x2 + 127x + 105 Volume = Aire base X hauteur 2x + 3 + 127x + 105 + - - - 4x3 + 6x2 + 19x 2x2 + 35 + 105 + 38x2 + - - - + 38x2 + 57x 70x + - + 105 + 70x - - 0 0 L’expression algébrique représentant l’aire de la base est (2x2 + 19x + 35) cm2.

  18. T1 X T3 = 70x2 14x 5x T2 = 19x 2) Factoriser : 2x2 + 19x + 35 2x2 + 14x + 5x + 35 2x( ) x + 7 x + 7 + 5 ( ) (x + 7) (2x + 5) Les dimensions de la base du prisme sont (2x + 5) cm et (x + 7) cm.

  19. Longueur X largeur Aire = (4x + 18) (4x – 2) Aire = Aire = 4x (4x – 2) + 18 (4x – 2) Aire = 16x2 - 8x + 72x - 36 Aire = 16x2 + 64x - 36 (4x – 2) Pour quelle valeur de x, l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ? (4x + 18) 1) Déterminer l’expression algébrique représentant l’aire du rectangle :

  20. Aire = 16x2 + 64x - 36 684 = 16x2 + 64x - 36 684 = 16x2 + 64x - 36 - 684 - 684 16x2 + 64x - 720 0 = (4x – 2) Pour quelle valeur de x, l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ? (4x + 18) 2) Déterminer l’équation : 3) Ramener l’équation à 0 :

  21. Simple mise en évidence. Le facteur 16 n’influence pas les valeurs de x, donc À rejeter; 16x2 + 64x - 720 0 = (4x – 2) Pour quelle valeur de x, l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ? (4x + 18) 4) Déterminer les valeurs de x par factorisation et par la loi du produit nul : 0 = 16 (x2 + 4x – 45) 0 = 16 (x - 5) (x + 9) si x – 5 = 0 alors x = 5, en géométrie, on ne peut pas avoir une valeur négative. si x + 9 = 0 alors x = - 9.

  22. T1 X T3 = - 11 520x2 16x2 - 80x + 144x - 720 144x - 80x T2 = 64x Le facteur 16 n’influence pas les valeurs de x. 16 16 16x2 + 64x - 720 0 = 0 = 16 (x + 9) (x - 5) Preuve : 16x (x – 5) + 144 (x – 5) (16x + 144) (x – 5) Si 16x + 144 = 0 alors 16x = -144 Si x – 5 = 0 alors x = 5 x = - 9 Réponse : 5 cm

  23. 684 = 16x2 + 64x - 36 684 = 16 X 52 + 64 X 5 - 36 684 = 400 + 320 - 36 684 = 720 - 36 684 = 684 (4x – 2) Pour quelle valeur de x, l’aire de ce rectangle est-elle égale à 684 cm2 ? (4x + 18) Validation Pour x = 5 Remarque : La factorisation et la loi du produit nul sont deux méthodes permettant de résoudre une équation du second degré.

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