450 likes | 789 Views
BAB 6 Geometri. Standar Kompetensi :. Menentukan kedudukan , jarak , dan besar sudut yang melibatkan titik , garis , dan bidang dalam ruang dimensi tiga. Kompetensi Dasar :. Menentukan kedudukan titik , garis , dan bidang dalam ruang dimensi tiga .
E N D
BAB 6Geometri StandarKompetensi: • Menentukankedudukan, jarak, danbesarsudut yang melibatkantitik, garis, • danbidangdalamruangdimensitiga. KompetensiDasar: • Menentukankedudukantitik, garis, danbidangdalamruangdimensitiga. • Menentukanjarakdarititikkegarisdandarititikkebidangdalamruang • dimensitiga. • Menentukanbesarsudutantaragarisdanbidangdanantaraduabidang • dalamsaturuangdimensitiga.
KedudukanTitik, Garis, dan BidangdalamRuang A P TitikA TitikP Titik Sebuahtitikhanyadapatditentukanolehletaknya, tetapitidakmempunyaiukuran(dikatakantidakberdimensi).
Garis B g Sebuahgaris (dimaksudkanadalahgarislurus) dapatdiperpanjangsekehendakkita. Sebuahgarishanyadilukiskansebagiansaja. Bagiandarigarisinidisebutwakilgaris. Garisg A Segmen/ruasgarisAB
Bidangadalahsebuahbidang (dimaksudkanadalahbidangdatar) dapatdiperlusseluas-luasnya. Padaumumnya, sebuahbidanghanyadilukiskansebagiansaja yang disebutsebagaiwakilbidang.
AksiomaGarisdanBidang Dalamgeometriruangadatigabuahaksioma yang penting. Aksioma 1 Melaluiduabuahtitiksebaranghanyadapatdibuatsebuahgarislurus. Aksioma 2 Jikasebuahgarisdansebuahbidangmempunyaiduatitikpersekutuan, makagarisituseluruhnyaterletakpadabidang. Aksioma 3 Melaluitigabuahtitiksebaranghanyadapatdibuatsebuahbidang. Euclides (300 SM)
Dalil 1 Sebuahbidangditentukanolehtigatitiksebarang. Dalil 2 Sebuahbidangditentukanolehsebuahgarisdansebuahtitik (titikberadadiluargaris. Dalil 3 Sebuahbidangditentukanolehduabuahgarisberpotongan. Dalil 4 Sebuahbidangditentukanolehduabuahgarissejajar.
1. Kedudukantitikterhadapgarisdantitikterhadapbidang. Kedudukantitik, garis, danbidangdapatdikelompokkansebagaiberikut. 2. Kedudukangaristerhadapgarisdangaristerhadapbidang. 3. Kedudukanbidangterhadapbidang lain.
KedudukanTitikTerhadapGaris B g h TitikAterletakpadagarisg A TitikTerletakpadaGaris JikatitikAdilaluiolehgaris g, makatitikAdikatakanterletakpadagaris g. TitikBdiluargarish TitikdiLuarGaris JikatitikBtidakdilaluiolehgaris h, makatitikBdikatakanberadadiluargaris h.
KedudukanTitikTerhadapBidang TitikTerletakpadaBidang JikatitikAdapatdilaluiolehbidang, makatitikAterletakpadabidang. TitikdiLuarBidang JikatitikBtidakdapatdilaluiolehbidang, makatitikBdikatakanberadadiluarbidang.
KedudukanGarisTerhadapGaris Lain Kemungkinankedudukansebuahgaristerhadapgaris lain dalamsebuahbangunruangadalahberpotongan, sejajar, ataubersilangan. DuaGarisBerpotongan Duabuahgarisgdanhdikatakanberpotongan, jikakeduagarisituterletakpadasebuahbidangdanmempunyaisebuahtitikpersekutuan. Dalamgeometribidang, titikpersekutuanitudisebuttitikpotongantarakeduagaris.
DuaGarisSejajar Duabuahg danhdikatakansejajar, jikakeduagarisituterletakpadasebuahbidangdantidakmempunyaisatu pun titikpersekutuan. DuaGarisBersilangan Duabuahgarisgdanhdikatakanbersilangan (tidakberpotongandantidaksejajar) jikakeduagarisitutidakterletakpadasebuahbidang.
AksiomaDuaGarisSejajar Aksioma 4 Melaluisebuahtitik yang beradadiluarsebuahgaris, hanyadapatdibuatsebuahgaris yang sejajardengangarisitu. h A g
Dalil-DaliltentangDuaGarisSejajar Dalil 5 k l l m Jikagarisksejajardengangaris ldangarislsejajardengangarism, makagarisksejajardengangarism. m k m k l
Dalil 6 Jikagarisksejajardengangaris h danmemotonggarisg, garislsejajargarishdanjugamemotonggarisg, makagaris-garisk, l, dangterletakpadasebuahbidang. k h dankmemotongg l h danlmemotongg k, l, dangterletakpadasebuahbidang g k l
Dalil 7 Jikagarisksejajargaris ldangarislsejajarmenembusbidang, makagariskjugamenembusbidang . k l l menembusbidang k menembusbidang. l Q k F
KedudukanGarisTerhadapBidang Kemungkinankedudukansebuahgaristerhadapsebuahbidang. GarisTerletakpadaBidang Sebuahgarisgdikatakanterletakpadabidang, jikagarisgdanbidang sekurang-kurangnyamempunyaiduatitikpersekutuan. g B A Garisg terletakpadabidang
GarisSejajarBidang Sebuahgarishdikatakansejajarbidang, jikagarishdanbidang tidakmempunyaisatu pun titikpersekutuan. Garishsejajarbidang h
GarisMemotongatauMenembusBidang Sebuahgariskdikatakanmemotongataumenembusbidang, jikagariskdanbidang hanyamempunyaisebuahtitikpersekutuan. Titikpersekutuanitudisebuttitikpotongatautitiktembus. Gariskmemotongbidang dititikA k A
Dalil-DaliltentangGarisSejajarBidang Dalil 8 g h Jikagarisgsejajardengangaris hdangarishterletakpadabidang, makagarisgsejajardenganbidang . h terletakpadabidang g bidang
Dalil 9 Jikabidang melaluigarisg dangarisg sejajarterhadapbidang , makagarispotongantarabidang denganbidang akansejajarterhadapgarisg. melaluig h bidang (, ) g
Dalil 10 g h h bidang Jikagarisgsejajardengangaris hdangarishsejajarterhadapbidang, makagarisgsejajardenganbidang . g bidang
Dalil 11 Jikabidang danbidang berpotongandanmasing-masingsejajarterhadapgarisg, makagarispotongantarabidang denganbidang akansejajardengangarisg. g g (, ) g
TitikTembusGarisdanBidang yang Berpotongan Tititktembusantaragarisg denganbidang (gmemotongbidang ) dapatdicaridengancarasebagaiberikut Buatlahbidang melaluigarisg Tentukangarispotongbidang danbidang , dengancaramenghubungkanduabuahtitikpersekutuanantarabidang danbidang . Titikpersekutuanantarabidang danbidang ditandaidengantitikAdantitikB. Garispotongbidang danbidang dilambangkandengan (, ). Titikpotonggarisgdengangaris (, ) adalahtitiktembus yang diminta, yaitutitikP.
KedudukanBidangTerhadapBidang Lain DuaBidangBerimpit Bidang danbidang dikatakanberimpit, jikasetiaptitik yang terletakpadabidang jugaterletakpadabidang atausetiaptitik yang terletakpadabidang jugaterletakpadabidang. ,
DuaBidangSejajar Bidang danbidang dikatakansejajarjikakeduabidangitutidakmempunyaisatu pun titikpersekutuan.
DuaBidangBerpotongan Bidang danbidang dikatakanberpotonganjikakeduabidangitutepatmemlikisebuahgarispersekutuan. Garispersekutuanataugarispotongmerupakantempatkedudukantitik-titikpersekutuanbidang danbidang . Garispersekutuanantarabidang danbidang dituliskansebagai (, ).
Dalil-DaliltentangDuaBidangSejajar Dalil 12 a g Jikagarisasejajardengangaris gdangarisb sejajargarish, garisadangarisbberpotonganterletakpadabidang, garis g dangarish berpotonganterletakpadabidang , makabidang sejajardenganbidang . b h a danb berpotonganpadabidang g danh berpotonganpadabidang bidang bidang
Dalil 13 Jikabidang sejajarbidang dandipotongolehbidang , makagarispotong (, ) sejajargarispotong (, ). bidang bidang bidang memotongbidang danbidang (, ) (, ).
Dalil 14 Jikagarisg menembusbidang danbidang sejajarbidang , makagaris g jugamenembusbidang . g menembus bidang bidang g menembusbidang
Dalil 15 Jikabidanggsejajarbidang danbidang sejajarbidang , makagarisg jugasejajarbidang . g bidang bidang bidang g bidang
Dalil 16 g Jikagarisgterletakpadabidang danbidang sejajarbidang , makagarisg sejajarbidang . g terletakpadabidang bidang bidang g bidang
Dalil 17 Jikabidangsejajarbidang danbidang memotongbidang , makabidang jugamemotongbidang . bidang bidang bidang memotongbidang bidang jugamemotongbidang
Dalil 18 Jikabidang sejajarbidang danbidang sejajarbidang , makabidang sejajarbidang . bidang bidang bidang bidang bidang bidang
Dalil 19 JikabidangsejajarbidangUdanbidang sejajarbidangV, bidang danbidang berpotonganpadagaris (, ), bidangUdanbidangVberpotonganpadagaris (U, V), makagaris (, ) sejajargaris (U, V). bidang bidangU bidang bidangV bidangdanbidang berpotonganpadagaris (, ) bidangUdanbidangVberpotonganpadagaris (U, V) (, ) (U, V)
KedudukanJarakdalamRuang dadalahjaraktitikP(x , y ) kegarisg ax + by + c = 0;makajarakddapatditentukandenganmenggunakanhubungan: dadalahjaraktitikA(x , y ) ketitikB(x , y ),makajarakddapatditentukandenganmenggunakanhubungan: 1 1 2 2 1 1 (x x )2 + (y y )2 d = = AB d B(x , y ) A(x , y ) 2 1 1 2 d = a2 + b2 ax + by + c P(x , y ) 1 1 1 1 d g ax + by + c
JarakTitikkeTitik JaraktitikAketitikBditentukanolehpanjangruasgarisAB. A d B A JarakTitikkeGaris d g RuasgarisAPmerupakanjaraktitik A kegaris g P
JarakTitikkeBidang RuasgarisAQmerupakanjaraktitik A kebidang. A d Q g
JarakDuaGarisSejajar h B PanjangruasgarisABditetapkansebagaijarakantaragaris g dangaris h yang sejajar. d g A
JarakDuaGarisBersilangan PQ tegaklurusterhadapgarisg danjugaterhadapgarish, sehinggapanjangruasgarisPQ ditetapkansebagaijarakgaris g dangaris h yang bersilangan.
JarakGarisdanBidang yang Sejajar P g PanjangruasgarisPQditetapkansebagaijarakantaragaris g danbidang yang sejajar. Q k
JarakDuaBidangSejajar PanjangruasgarisPQditetapkansebagaijarakantarabidangdanbidang yang sejajar. P ° k Q
MenentukanSudutdalamRuang h B SudutantaraDuaGarisBerpotongan P g A BesarsudutAPBditetapkansebagaiukuransudutantaragaris g dangaris h yang berpotongan.
SudutantaraDuaGarisBersilangan Duabuahsudutdikatakansambesar, jika kaki-kaki keduasudutitusejajardansearah. Sudut yang dibentukolehgarisg dangarish ditetapkansebagaiukuranbesarsudutantaragarisgdangarish yang bersilangan. g g P O ° h ° h
SudutantaraGarisdanBidang SudutQPQditetapkansebagaiukuranbesarsudutantaragarisgdanbidang yang berpotongan. Definisi: Sudutantaragarisdanbidang yang berpotongan Sudutantaragarisgdanbidang adalahsudutlancip yang berbentukolehgarisgdenganproyeksinyapadabidang .
SudutantaraBidangdanBidang SudutQPR ditetapkansebagaiukuransudutantarabidang danbidang yang berpotongan. Definisi: Sudutantaraantaraduabidangberpotongan Sudutantaraduabidang yang berpotonganadalahsudut yang berbentukolehduagaris yang berpotongan (sebuahgarispadabidangpertamadansebuahgarislagipadabidang yang kedua), garis-garisitutegaklurusterhadapgarispotongantarakeduabidangtersebut.