Contexte historique et religieux des mathématiques en Inde

1. Contexte historique et religieux des mathématiques en Inde 3grands mathématiciens de cette époque • Les mathématiques indiennes (particulièrement étudiée par les religieux) se manifestent brillamment dès le 5è siècle avec : • ARYABHATA - Il a affirmé la rotation de la terre alors considérée immobile au centre de l'univers (Ptolémée/Aristote), - extraction des racines carrées et cubiques - résolution d’équations diophantiennes, - utilisation d’un système décimal positionnel où zéro apparaît implicitement.(?) • BRAHMAGUPTA - l'invention du zéro liée à l'usage d'un système décimal positionnel - règles des signes relatives à la multiplication. • BHASKARA - a utilisé correctement le zéro, - a effectué des calculs avec l'infini et - a manié avec facilité les opérations sur les racines carrées.

2. Les mathématiques indiennes et BRAHMAGUPTA • Classification des mathématiques indiennes • Les Mathématiques « pratiques » - Construction régulière (carré, disque, trapèze, triangle, etc.); - quadrature du cercle, approximations de nombres irrationnels; - triangles rectangles à côtés entierspropriété (Pythagore). • Les mathématiques « théoriques »  - Calcul élémentaire; - Études et résolution d’équations; - Calculs trigonométriques.

3. Les mathématiques indienneset BRAHMAGUPTA • Qui est BRAHMUGPTA? • lL est né dans le nord-ouest de l'Inde en 598 à Multan (Pakistan) (?) • Il dirigeait un observatoire astronomique à Ujjain. • Il a écrit deux livres: • Son 1er livre « Brahma-sphuta-siddhanta», écrit en 628, à l’âge de30 ans, contient 25 chapitres de mathématiques. • Définition du zéro = résultat de la soustraction d'un nombre par lui-même. • Il explique la notion décimale de la position en utilisant les neuf chiffres et le zéro • On trouve la règle des signes sur les biens (positifs), les dettes (négatifs) et le néant (zéro). • Il donne une méthode de calcul «la gomutrika» • Il généralise la formule de Héron d’Alexandrie • Il nous lègue une identité qui porte son nom. • Il a utilisé la barre de fraction et effectué des réductions au même dénominateur pour des sommes de fractions. • Il a commencé à utiliser la notion d'inconnue qu'il appelle « ya » (?) • Il étudie équations diophantiennes. • Il a aussi utilisé une technique qui s'apparente à un logarithme de base 2 • Il a établit une règle d'interpolation que développera Newton plus tard. • Son 2 ième livre Khandakhadyaka » a été écrit à l’âge de 67 ans . • Il avait poursuit ainsi les travaux d’ARYABHATA (476-550) sur des cas particuliers d’équations d’inconnues entières du type ax + by = c • Il explique que la terre fait le tour du soleil en 365 j, 6 et 36 sec.  »

4. Apports de BRAHMAGUPTA • Arithmétique des nombres négatifs et de zéro BRAHMAGUPTA est le premier à présenter, par des calculs de pertes et de profits, des règles sur les nombres négatifs. Ayant définit le zéro,comme le résultat de la soustraction d’un nombre par lui même, il lui associe ces règles de calculs : - Zéro soustrait de zéro est zéro; - Zéro soustrait d’une dette est une dette; - Zéro soustrait d’un bien est un bien; - Une dette soustraite de zéro est un bien; - Un bien soustrait de zéro est une dette. - Le produit de zéro multiplié par une dette ou un bien est zéro; - Le produit ou le quotient de deux biens est un bien; - Le produit de zéro multiplié par zéro est zéro; - Le produit ou le quotient de deux dettes est un bien; - Le produit ou le quotient d'une dette et d’un bien est une dette; - Le produit ou le quotient d’un bien et d'une dette est une dette. (?)Grâce à Al-Fazari qui avait traduit vers 771 l’ouvrage de Brahmagupta en arabe, ces nouveaux concepts mathématiques auront une grande répercussion sur la science dans le monde musulman des VIIIe et IXe siècle et par la suite dans le monde occidental

5. Évolution des nombres négatifs • (780 – 850)(?)Al Khawarizmi accepte les termes négatifs dans les équations mais s’attache à s’en débarrasser au plus vite. • (1445 -1500) Le français Nicolas Chuquet est un des premiers à isoler une valeur négative dans un membre d’une équation avant le mathématicien italien Gerolamo Cardano (1501 ; 1576). • 1591, François Viète (1540 - 1603) avait aussi écarté les solutions négatives des équations sont écartées. • 1629 Albert Girard avait admis l’existence de racines négatives ou imaginaires dans une équation. • 1637 René Descartes (1596 ; 1650) qualifie de "moindres que rien" de telles solutions (2). • (1698 - 1746) Il a fallu attendre l’écossais Colin Maclaurin puis le suisse Leonhard Euler • (1707 - 1783) pour voir apparaître des axes aux coordonnées positives et négatives. • (1701- 1744) Anders Celsius n’avait pris compte des négatifs en mettant au point son thermomètre à mercure gradué entre 0 et 100 degrés. • (1686 -1736)Daniel Gabriel Fahrenheit avait conçu en 1715 un thermomètre pourvu d’une graduation évitant les températures négatives. • En 1746 le français Alexis Clairaut (1713 ; 1765) donne quelques-unes de ces règles et exprime la nuance entre le signe d’un nombre et celui de l’opération. • En 1821, Augustin Louis Cauchy (1789 ; 1857) dans son "Cours d’analyse de l’Ecoleroyale polytechnique" définit les nombres relatifs comme une partie numérique précédée d’un signe + ou -. • (1839-1873) enfin, l’allemand Hermann Hankel donna aux nombres et en particulier aux nombres relatifs le statut d’objet formel obéissant à des règles préétablies.

6. Apports de BRAHMAGUPTA Sa méthode de calcul: Gomutrika Aire d’un quadrilatère inscrit dans un cercle Identité de Brahmagupta Méthode de calcul : la Gomutrika Dans son premier ouvrage, Brahmagupta avait présenté une méthode de calcul, qu’il avait nommée «Gomutrika » dont la traduction est la « trajectoire de l’urine d’une vache ». Cette dernière est semblable à celle encore que nous utilisons de nos jours. Dans le tableau ci-dessus nous comparons la méthode de BRAHMAGUPTA et celle qu’on utilise actuellement. Effectuons donc la multiplication de ces deux nombres par les deux méthodes : 248 x 725.

7. Aire d’un quadrilatère inscriptible

8. Apports de BRAHMAGUPTA L’identité de Brahmagupta En mathématiques, l'identité de Brahmagupta dit que le produit de deux nombres, égaux chacun à une somme de deux carrés, est lui-même une somme de deux carrés. Précisément : • Cette identité peut facilement être vérifiée en développant les termes à gauche et à droite : • Elle est très utilisée pour les entiers.

9. L’identité de Brahmagupta Par la suite Euler a élargi cette identité à l’identité des quatre carrés l'identité, énonçant que le produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui-même une somme de quatre carrés .

10. Apports de BRAHMAGUPTA • Le parcours du zéro • Avant le zéro, quand un marchand d'esclaves achetait cinq esclaves qu'il revendait par la suite, il disait : il me reste cinq moins cinq esclaves. On était incapable d'exprimer le nul, le rien, par un signe symbolique. C’est le chiffre qui est apparu en dernier. Celui-ci était nommé «sifr» en arabe qui signifiait «vide».On imagine difficilement la somme d'efforts qu'il a fallu déployer pour circonscrire le concept de zéro. Essayez donc de figurer « quelque chose » là où il n'y a « rien » ! • Selon les grecs, le nombre zéro est en quelque sorte un nombre associé au vide, au néant. C'est seulement au cinquième siècle après JC., que l'on voit apparaître, chez les indiens, le zéro à la fois comme chiffre et comme nombre.

11. Le parcours du zéro 5.1. Repère chronologique

12. Repère chronologique Il a fallu attendre le huitième siècle pour voir le zéro apparaître dans le monde arabe. Il fut introduit par un astronome indien à la cour du calif Al-Mansur, à Bagdad en même temps que tout le système de numération indien. Ce n'est qu’à partir du douzième siècle que le zéro commença à se répandre en occident, grâce notamment à la traduction du livre d'arithmétique publié en 820 par le grand mathématicien El-Khawarizmi. Mais, durant tout le Moyen-Âge on discuta encore en occident pour savoir si le zéro était seulement un chiffre ou pouvait être considéré comme un nombre. Puis finalement, son statut de nombre fut admis par tous. Et l'on ajouta le zéro à ce que l'on appelle les entiers naturels. Avant d'être considéré comme un chiffre, il avait en effet pour but de remplir les vides.

13. Apports de BRAHMAGUPTA • ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES Un des premiers mathématiciens à avoir considéré ce genre de question est Diophante d’Alexandrie (325–409). La traduction, par Bachet de Méziriac (1581–1638) de la partie de ses œuvres qui était parvenue dans le monde occidental grâce aux mathématiciens arabes a été la source d’inspiration de Fermat (1601–1665). L’équation diophantienne y2-dx2=1; dont les inconnues x et y sont dans Z, où d est un entier positif qui n’est pas un carré, porte le nom de Pell–Fermat, mais c'est une erreur due à Euler qui lui attribua faussement son étude. Pourtant elles ont été étudiées par le mathématicien indien Brahmagupta (598–670) bien avant Pell (1611–1685) et Fermat. Ce mathématicien indien s’est attaqué d’abord aux équations du type N x2 + k = y2 et a donné une manière d’obtenir des solutions à partir d’un couple de solutions connu. Il a trouvé la plus petite solution en entiers positifs de l’équation x2−92 y2 = 1, qui est (x, y) = (1151, 120)

14. ÉQUATIONS DIOPHANTIENNES • Au XIIème siècle Bhaskara ( indien) a trouvé pour l’équation x2−61 y2 = 1 (qui sera plus tard considérée par Fermat) la solution (x, y) = (1 766 319 049, 226 153 980). • Plus tard Narayana (~1340– ~1400), qui est aussi d’origine indienne, a obtenu pour x2−103 y2 = 1 la solution (x, y) = (227 528, 22 419). • Ses résultats étaient totalement inconnus des mathématiciens européens du XVIIè siècle, et c'est Fermat qui remit cette équation au goût du jour, conjecturant qu'elle avait toujours une infinité de solutions. • Il fallut attendre Lagrange, un siècle plus tard, qui utilisera pour résoudre cette équation, la théorie des fractions continues pour obtenir une nouvelle preuve totalement rigoureuse de ce fait!