Potencial Eléctrico Continuación

1. Potencial Eléctrico Continuación Temas de Hoy • Potenciales eléctricos y principio de superposición. • ObtenerE a partir deV y superficies equipotenciales. • Potencial eléctrico debido a distribuciones continuas de carga. • Potencial eléctrico de un conductor cargado.

2. Principio de superposición Para una colección de cargas puntualesel potencial eléctrico es encontrado usando el principio de superposición V es unescalar mucho mas fácil de evaluar que el vector de campo eléctricoE.

3. y P 3.00 m x q2 4.00 m q1 Ejemplo1 Una carga puntual de 1.00 mC esta ubicada en el origen yuna segunda carga puntual -4.00 mC esta ubicada en el eje de las x´s en la posición (4.00,0) m. Encuentre el potencial electrostático enP debido a las cargas. Lascoordenadas deP son (0,3.00) m.

4. Q2 Q1 r12 Ahora consideremos laenergía potencial de interacciónde un sistema de partículas cargadas. • siV1es el potencialeléctrico enun puntoP debido a la cargaq1entonceseltrabajo requeridopara traer una segunda cargaq2desde el infinito hasta el puntoP sin aceleración esq2V1. • Por definición, esigualque la energía potencial, U,de losdos sistemas de partículas. P Cargas iguales: U > 0 Cargas opuestas: U < 0

5. r12 q1 q2 r13 r23 q3 Con másde dos cargas puntuales: La energía potencial total se obtiene calculandoU para cada par de cargasy sumando algebraicamente. • Decimos queq1conq2yq3 están en. • El primer término es el trabajo necesario para traerq2 desde el, estando presente la carga q1. • Los siguientes dos términos son el trabajo necesario para • traerq3de. • El resultado esindependientedel ordenen el cual las cargas • son transportadas.

6. q3 P y x q2 q1 Continuación del ejemplo 1 Cuanto trabajo es necesario para traer una carga puntual de 3.00 mC desde el infinito al puntoP? 3.00 m 4.00 m El signo negativo implica que el trabajo es realizado por el campo mientras la carga se mueve desde el infinito aP. Así que el trabajo positivo debe de ser realizado por un agente externo que mueve las cargas de regreso a infinito.

7. q3 P y x q2 q1 Continuación del ejemplo 1 Encuentre la energía potencial total del sistema de tres cargas como se muestra en la figura. 3.00 m 4.00 m tenemos q1 = 1.00 mC, q2 = -4.00 mC, q3 = 3.00 mC, y r12 = 4.00 m, r13 = 3.00 m, r23 = 5.00 m. U = -2.16 x 10-2 J En la anterior

8. Obtención deE a partir deV Para determinarV a partir de unE conocido usamos Podemos escribirlo de manera diferencial para encontrarE a partir de unV conocido. La componente del campo eléctrico en una dirección particulares el negativo de la razón de cambio del potencial en esa dirección.

9. Para distribuciones de carga esféricamente simétricasel campo eléctrico es radial: Si el potencial es una función general de mas de una coordenada espacial V (x, y, z)podemos encontrar las componentes de campo eléctrico a través Vector: Componentes:

10. Si V = 3xy2 - 2yzencuentre las componentes deE.

11. Superficies equipotenciales Una superficie equipotencial es cualquier superficie que conste de un distribución continua de puntos con el mismo potencial eléctrico. • Las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de flujo eléctrico • Todo el volumen de un conductor es un equipotencial (caso estático) • Como los mapas topográficoslas cargas positivas van hacia “arriba” y las cargas negativas van hacia “abajo”

12. q E Ejemplos de superficies equipotenciales (a) (b) (c)

13. V para distribuciones de carga continuas Caso 1: subdividimos la distribución de carga en pequeños elementosdqusamos la carga puntual resultante: Ahora sumemos todas: Caso 2:Si conocemos el campo eléctrico, decimos por ley de Gauss, podemos usar esto en: Esto nos da el potencial entre los puntos A y B, todavía necesitamos escoger V=0 en un punto conveniente.

14. y P r d dq x dx x Ejemplo 2 Una barra de long.lubicada a lo largo del eje x tiene una carga Uniforme por unidad de longitud ly una carga totalQ. Encuentre el potencial eléctricoenP a lo largo del eje y a una distanciad del origen. Divida la línea en elementos de cargadq = ldx dondeλ= Q/l. Para estos elementos de carga el potencialdV se escribe como: Ahora integrando sobre la longitud del cable: De las tablas: Por lo tanto:

15. dq r a θ x x P Ejemplo 3 Encuentre el potencial eléctrico enP ubicado en el eje de un aro cargado uniformementede radioa y una carga totalQ. El plano del aro es perpendicular al eje de las x´s. Cada elemento de carga en el aro tiene la misma distancia hacia P:

16. E ds r a Q Ejemplo 4 Unaesfera aisladade radioa tiene una densidad de carga positiva uniformecon carga total Q. Encuentre el potencial eléctrico en un punto fuera de la esfera. Anteriormente encontramos (mediante ley de Gauss) que el campo es radial dirigiéndose hacia fuera y con magnitud: Para obtener el potencial en un punto exterior tomaremos con cero el potencial en infinito y evaluaremos:

17. E ds r a Q Continuación del ejemplo 4 En la superficie de la esfera de r = a,

18. r a A Q B Continuación del ejemplo 4 Potencial eléctrico en un punto dentro de la esfera : r < a. Usando la ley de Gauss podemos ver que el campo dentro de la esfera tiene magnitud Podemos evaluar la diferencia de pot.VB – VAdondeA esta dentro de la esfera yB esta en la superficie. El campo es radial así que:

19. r a A Q B Continuación del ejemplo 4 Como el potencial en la superficie de la esfera, VBes : Substituyendo el resultado en la expresión de arriba encontramos:

20. + + + + + + + + B + + + + + + + + A + + + + + + E Potencial eléctrico de un conductor cargado • Ya mostramos E=0 dentro del conductor en equilibrio. • Toda red de carga reside en la superficie del conductor. • El campo eléctrico justo fuera del conductor es perpendicular a la superficie del conductor. • Considere los puntosA yB en la superficie del conductor cargado a lo largo de una trayectoria en la superficie conectando los puntos,E es siempreperpendicular a ds.

21. + + + + + + + + B + + + + + + + + A + + + + + + E ComoEes siempreperpendicular a ds a lo largo de la trayectoria de superficie deAaB • • AsíVB= VA. EntoncesVes constante entodo puntoen lasuperficie de un conductor cargadoen equilibrio. • Como el campo eléctricodentrodelconductor cargadoen equilibrio escero, el potenciales constanteen todo puntodentrodel conductor esiguala su valoren lasuperficie.

22. Energía potencial electrostática Para una carga puntual q1el pot. A una distancia r12es: Para traer una segunda carga q2del infinito a una distancia r12debemos realizar trabajo: Para traer una tercera carga puntual q3del infinito a una distancia r13de y una dist. r23de q2el trabajo que debemos realizar en contra del campo eléctrico producido por q1 y q2es:

23. El trabajo total requerido para reunir las tres cargases la energía potencial electrostática Udel sistema de 3 cargas puntuales: El trabajo requerido– es independiente del orden en que se reúnen las cargas ahora: donde V1es el potencial debido a las cargas q2y q3.

24. El trabajo total requerido para reunir las tres cargas es la energía potencial electrostática Udel sistema de 3 cargas puntuales puede escribirse: La energía potencial electrostática U de n cargas puntuales se escribe: Donde Vi es es el potencial en la ubicación de la i-ésimacarga debido a todas las otras cargas

25. Se mantiene paradistribuciones continuas de carga Conductor esféricode radioR, carga q, potencial relativoa V=0 en el infinito: El trabajonecesario para traer otradqdel infinito al conductor esVdq. Este trabajo se incrementa igual enEPdel conductor: Energía potencial total U: Donde Es el potencial en la superficie de la esfera cargada. Para n conductoresel conductor con pot.Vi y con cargaQi, el EP electroestáticoes: