140 likes | 348 Views
DIFFERENSIASI. GARIS SINGGUNG TURUNAN NOTASI TURUNAN DIFFERENSIABILITAS DAN KONTINUITAS. 5.1 Garis singgung Garis singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatu kurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 5.1. l. A. Gambar 5.1.
E N D
DIFFERENSIASI • GARIS SINGGUNG • TURUNAN • NOTASI TURUNAN • DIFFERENSIABILITAS • DAN KONTINUITAS
5.1 Garissinggung Garissinggungadalahgaris yang menyinggungsuatutitik tertentupadasuatukurva. PengertiangarissinggungtersebutdapatdilihatpadaGambar 5.1 l A Gambar 5.1
Akantetapijikaterdapatduabuahtitikpadasuatukurva • makaberkemungkinangarissinggung yang menyinggung • salahsatutitikakanmemotongkurvapadatitiklainnya. • PerhatikanGambar 5.2 A B l Gambar 5.2
Untukmendapatkanpengertian yang lebihjelasmengenaigaris • singgungkitaperlumendefinisikankemiringangarissinggungl padatitik A(x1,f(x1)) yang terletakpadagrafikfungsi. • Selanjutnyapadagrafikfungsitersebutkitapilihsuatutitik • B(x,f(x)). Jikakitahubungkantitik A dan B makaakanterbentukgarisl1 yang mempunyaikemiringan ,
y l1 l A B • Kemiringangarisl1 = m1 • Kemiringangarisl = m x x1 x 0 h Gambar 5.3
Jika f(x) kontinupadaselang [A,B] makakitadapatmendekatkan • titik B ketitik A denganjalanmemperkeciljarakantara x danx1. • Dalambentuk limit haltersebutdapatditulisdalammenjadi, (5.2) • Persaman (5.2) adalahkemiringangarisl1 jika x mendekatix1. • JikakitaperhatikanGambar 5.3 makakitadapatmelihatbahwa • kemiringangarisl1jika x mendekati x1adalahmendekati • kemiringangarisl . Dalambentuk limit dapatditulismenjadi (5.3)
Persamaan 5.3 s.d. 5.5 adalahkemiringangarisl padatitik (x, f(x)) Contoh 5.1 Diketahui f(x) = 3x2 + 5 Tentukankemiringandanpersamaangarissinggung yang melaluititik (a,a2) Penyelesaian
Jadi m = 6x (*) Persamaangarissinggung : y = mx + n (**) Karenagarissinggungmelaluititik (a,a2 ) , makapersamaan (*) menjadi m = 6a persamaan (**) menjadi a2 = 6a2 + n. • Sehingga n = – 5a2 Persamaangarissinggungmenjadi : y = 6ax – 5a2
5.2 Turunan Turunanadalahhasildariprosesdifferensiasisuatufungsi. Untukmendapatkanpengertian yang jelasdariturunandan differensiasiperhatikanGambar 5.4 berikut. Differensiasi dapatdimisalkansebagaisuatumesin yang memproses masukan f(x) menjaditurunan f(x) atau f’(x). f(x) f’(x) Differensiasi Gambar 5.4 Selanjutnyaturunandidefinisikansebagaikemiringangaris yang menyinggungkurva f(x) dititik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan 5.3 danGambar 5.3 makadefinisiturunandapat ditulisdalambentuk,
(5.6) Jikapersamaan 5.6 dapatdipenuhiberarti f(x) dapat didifferensiasikan (differensiable) pada x. Makadikatakan f(x) mempunyaiturunanpada x. Contoh 4.2 Jika f(x) = 2x2 + 5x – 7, tentukan f’(x), f’(c) dan f’(3) Penyelesaian f(x) = 2x2 + 5x – 7 f(x+x) = 2(x+x)2 + 5(x+x) – 7 = 2x2 + 4xx +2(x)2 + 5x + 5x – 7 f(x+x) – f(x) = 4xx + 2(x)2 + 5x
5.3 Notasiturunan Padapasalterdahulukitatelahmenggunakannotasiturunan denganlambang f’ yaitulambangturunandarisuatufungsi f yang diperkenalkanpertama kali olehmatematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 – 1716). Selainnotasitersebutmasihterdapatnotasi lain yang sering digunakanyaitunotasi double “d”. Jadikitajugadapat menulislambangturunansebagaidy/dx, dy/dz, … dimana x dan z adalahpeubah-peubahbebasdan y sebagaipeubah takbebas. Hubunganantaranotasi-notasiturunan yang disebutdiatas adalahsebagaiberikut, Jikaterdapatsuatupersamaan y = f(x), makady/dx = f’(x).
5.4 Differensiabilitasdankontinuitas Jika f adalahfungsi yang differensiabelpada x maka f dikatakan kontinupada x. Bukti Padauraianterdahulutelahdijelaskanbahwasuatufungsi f dikatakandifferensiablejikamemenuhipersamaan 5.6 yaitu,
Sebaliknyajika f adalahfungsi yang kontinupada x, makatidaksecaraotomatis f differensiablepada x.