DEFINIZIONE DI STRATO LIMITE

1. DEFINIZIONE DI STRATO LIMITE Lo strato limite è lo strato di fluido in prossimità di una parete solida dove l’azione della viscosità mantiene la velocità prossima a quella della parete. Se la parete è ferma, allora la velocità normale e tangenziale alla parete sono nulle, mentre vicino alla parete sono piccole rispetto a quelle del moto non viscoso ( a potenziale) che si instaura lontano dalla parete. Si consideri il moto a potenziale attorno al corpo riportato sotto. Le linee di corrente sono rettilinee molto lontano dall’oggetto. Il moto a potenziale è soggetto ad una accelerazione attorno al corpo. Inoltre esso soddisfa la condizione di velocità normale nulla alla parete ma non la condizione di non-slittamento alla parete.

2. Moto a potenziale attorno un oggetto Il moto a potenziale subisce un accelerazione attorno al corpo. Così u(u/s) > 0 lungo le linee di corrente vicino l’oggetto dal punto di stagnazione fino alla sezione A – A’.

3. Strato limite Moto effettivo attorno un oggetto Se il corpo è fermo, vi è una regione (per quanto piccola) dove la velocità decade a zero. Tale regione è lo strato limite. Esso è descritto dal numero di Reynolds: lo spessore dello strato limite diminuisce all’aumentare del numero di Reynolds. Consideriamo il caso di numeri di Reynolds alti (ma non tanto da avere moto turbolento)

4. Coordinate locali e spessore dello strato limite Si definisca x la coordinata locale longitidinale ed y quella locale normale alla parete. Sia inoltre (x) una misura dello spessore dello strato limite.

5. Equazioni di Navier-Stokes e di Continuità per il caso 2D Poichè x-y è un sistema di coordinate locali, esse definiscono un sistema di riferimento curvilineo. Se la curvatura non è troppo alta, le equazioni del moto bidimensionale stazionario (permanente) possono essere approssimate a quelle valide per il sistema cartesiano: N.B: è usata qui solo la pressione dinamica pd. Infatti la pressione totale può essere decomposta come p = ph + pd,, dove la pressione statica ph si elide con il termine gravitazionale.

6. U L SCALING La scala caratteristica della velocità nella direzione x è la velocità del moto libero U lontano da parete. La scala spaziale caratteristica nella direzione x è la lunghezza del corpo L.

7. U L Analisi dimensionale dell’equazione di continuità dentro lo strato limite L’equazione di continuità è Il termine u/x è di ordine Consideriamo ora l’equazione dentro lo strato limite. Se la scala spaziale nella direzione normale (y) è assunta pari a  (cioè lo spessore dello strato limite) e la velocità normale è di ordine V, segue dalla stima v/y ~ V/ e dalla relazione che Ne consegue che se /L << 1 allora V/U << 1.

8. Analisi dimensionale dell’equazione della quantità di moto longitudinale all’interno dello lo strato limite L’equazione della quantità di moto longitudinale è Ricordando dal teorema di Bernoulli che pd è di ordine U2 e dalla slide precedente che V ~ (/L) U, i termini dell’equazione sono di ordine: Ricordate: 2u/x2 è di ordine U/L2, e nonU2/L2. Moltiplichiamo ora le sopradette stime per L/U2 in modo da ottenere le scale adimensionate per ogni temine relativamente alla scala U2/L:

9. Dalla slide precedente, la nostra stima dei termini nel bilancio della quantità di moto nello strato limite risulta dove è il numero diReynolds. Il caso che vogliamo studiare è per alti numeri diReynolds, così che 1/Re << 1.

10. I termini viscosi nelle equazioni di Navier-Stokes sono generalmente più piccoli degli altri termini quando il numero di Reynolds è alto. Tuttavia questo non è vero ovunque. Deve infatti esistere una piccola regione dove l’effetto della viscosità diventa importante, tanto da portare la velocità tangenziale a zero in prossimità sulla parete. Tale regione è lo strato limite. Così questo termine può essere trascurato (Re <<, 1), Ma questo termine deve essere mantenuto, indipendentemente dal valore di Re. Così nello strato limite vale la stima

11. U L Cosa implica tale stima ? La relazione di scala implica che lo strato limite  diminuisce se il numero di Reynolds Re = (UL)/ aumenta, ma non si annulla mai fintanto che Re rimane finito! Fuori dallo strato limite l’effetto della viscosità può essere completamente trascurato nel bilancio di quantità di moto longitudinale, e dentro lo strato limite l’equazione diventa: Questo termine è fondamentale per portare a zero la velocità alla parete

12. Analisi dimensionale dell’equazione della quantità di moto normale all’interno dello lo strato limite L’equazione per la quantità di moto in direzione normale è Ricordando da Bernoulli che pd scala secondo U2, i termini scalano come: Inoltre ricordando che V ~ (/L)U e moltiplicando ogni termine per (/U2), si ottengono le seguenti scale adimensionate:

13. SCALING OF THE NORMAL EQUATION OF MOMENTUM BALANCE contd. Dalla slide precedente Ma dalla Slide 14, (/L) ~ (Re)-1/2, quindi la stima diventa Implicando che per alti valori di Re si ottiene,

14. U L WHAT DOES THIS ESTIMATE OF PRESSURE SAY? Per valori alti di Reynolds l’equazione di bilancio per la quantità di moto nella direzione normale si riduce: Significa che la pressione dinamica pd(x,y) può essere considerata una costante all’interno dello strato limite. Chiamiamo ppd(x,y) la pressione dinamica ottenuta dalla soluzione del moto a potenziale. Segue allora che pd(x) all’interno dello strato limite può essere ricavato da ppd(x,0): Quindi la soluzione di ogni problema di strato limite richiede anche la soluzione per il moto non viscoso (moto a potenziale).

15. U L L’approssimazione per lo strato limite delle equazioni di Navier Stokes Le equazioni per lo strato limite sono: dove ppdp(x) denota la pressione dinamica ottenuta dalla soluzione di moto a potenziale estrapolata sulla superficie del corpo. Le condizioni al contorno sono Così che le componenti tangenziali e normali sono nulle alla parete. Inoltre u deve tendere alla soluzione di moto a potenziale per alti valori di y.