1 / 58

OPTIMIZACIJA MAX /MIN

OPTIMIZACIJA MAX /MIN. LINEARNO PROGRAMIRANJE. Standardni problem maksimuma. Linearna funkcija cilja z(x) Varijable odlučivanja (strukturne varijable) x j Linearna ograničenja (nejednačine oblika « ≤ » U slov nenegativnosti. MAKSIMIZACIJA. Standardni problem minimuma.

selene
Download Presentation

OPTIMIZACIJA MAX /MIN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. OPTIMIZACIJAMAX/MIN LINEARNO PROGRAMIRANJE

  2. Standardni problem maksimuma Linearna funkcija cilja z(x) Varijable odlučivanja (strukturne varijable) xj Linearna ograničenja (nejednačine oblika «≤» Uslov nenegativnosti

  3. MAKSIMIZACIJA

  4. Standardni problem minimuma • na neke varijable odlučivanja nema uslova nenegativnosti, tj. neke su neograničene Kako takav problem prevodimo na standardni problem maksimuma?

  5. Kanonski oblik problema LP • ograničenja u obliku jednačna • Da bismo ograničenja problema (P) preveli u jednačine, uvodimo dopunske (dodatne, slack) varijable, j=1,…,m, tako da vrijedi

  6. Problem linearnogprogramiranja • Grafičkorješenje Problem:Zadana je nekafunkcija(tzv.funkcijacilja)kojojtrebaodreditimaksimum, odnosnominimumnazadanomskupu. Skup je zadannejednakostima (tzv.ograničenjima). Naša metoda je grafička

  7. Grafičkoprikazivanje Uslovzagrafičkoprikazivanjeproblemalinearnogprogramiranja je postojanjesamodvijestrukturnevarijable. Grafičkorješenjeprikazujemo u koordinatnomsistemu. Da bismonacrtaligrafprvomoramorestrikcijesvestinakanonskioblik. - akosurestrikcijejednačineone supredstavljenepravcima, - akosunejednačinetada one dijelepodručjena - područjedopuštenogrješenja i područjenedopuštenogrješenja. Nedopuštenopodručje je šrafirano. Osimrestrikcijašrafiramo i ovisno o uslovimanenegativnostizastrukturnevarijable.

  8. Šrafiranje ovisno o strukturnim varijablama - Šrafiranjem definišemo područje dopuštenog rješenja koje može biti zatvoreno,otvoreno (neograničeno rješenje) ili ga ne mora biti (nema rješenja). - U slučaju da nam se pojavi artificijelna varijabla dopušteno rješenje može biti samo dužina ili samo jedna tačka.

  9. Ako u restrikcijama imamo jednačine ili jednačine tada nam grafički prikaz rješenja može biti: 1.Dužina (od A do B)

  10. 2. Tačka(imamodvijejednačine; samopresjekje jedinodopušteno i optimalnorješenje!)

  11. 3. Nema rješenja (imamo dvije jednačinečiji je presjek izvan područja dopuštenog rješenja, tj. u području nedopuštenog rješenja određenog nejednačinama!)

  12. Optimalno rješenje • Svetačkedopuštenogrješenjadolaze u obzirkaorješenje. Naravnotraži se optimalnorješenjekoje je zamaksimummaksimalni z, a za minimum minimalni z. Optimalnorješenjetražimo u rubnimtačkamadopuštenogrješenja. Optimalnorješenjepronalazimopomoćudvajednakovrijednanačina: • A. Pristupfunkcijecilja– za z uvrstimonekukonstantnuvrijednostnpr. z=0, tj. izjednačimofunkcijucilja s nulom. Tajpravacpredstavljapragdobitka(profita). Obimproizvodnjeprikojemćemopostićimaksimalandobitakpronalazimotako da vučemoparaleluovogpravca do najudaljenijetačke. • B. Pristupekstremnihtroškova– vrijednostitačakauvrštavamo u funkcijuciljatetražimonajveći (za max!), tj. najmanji (za min!) rezultat.

  13. Šta znači NENEGATIVNOST rješenja?

  14. gdje je tačka ( 30, 40) presjek pravaca i , tj. rješenje sistema Označeno je područje skup mogućih rješenja promatranog problema.

  15. je pravac i sadrži sve tačke x1 , x2 ) , tj. kombinacije količina proizvodnje za koje je profit jednak nuli.

  16. Optimalno je rješenje problema tačka (vektor) (30,40) u kojoj profit poprima svoju maksimalnu vrijednost

  17. ZAKLJUČAK Kako je tačka (30,40) presjek pravaca ograničenja rezanja i spajanja su u optimalnom rješenju zadovoljena s jednakošću. To znači da proizvodeći 30 jedinica proizvoda A i 40 jedinica proizvoda B, u potpunosti iskorištavamo kapacitete oba odjela, i odjela rezanja i odjela spajanja. Kažemo da su ta dva ograničenja aktivna. Ograničenja nenegativnosti x1 0 , x2 0, su zadovoljena sa strogom nejednakošću jer je pa su ta ograničenja neaktivna.

  18. (30,40), ona je optimalno rješenje.

  19. Linearno programiranje Za rješavanje problema se koriste 2 metode : 1. Grafička metoda: ograničena na 2 - dimenzionalne probleme) 2. Simplex metoda - za probleme koji su više od 2- dimenzionalnog problema (3,4,5...n varijabli)

  20. Linearno programiranje • Funkcija cilja • Ograničenja • Linearne funkcije • Ograničenja znaka , i=1,2,...m Xj≥ 0, j=1,2,3..,n

  21. Maksimum i minimum se nalaze na granicama oblasti koju određuju data ograničenja tj. u oblasti dopustivih rješenja. U prostijim slučajevima kada je broj promjenljivih n = 2 ili n = 3 kao i kad je: n – m = 2 gdje je: m - broj ograničenja, n - broj promjenljivih može se primjeniti geometrijska metoda TEOREMA: „Ako je oblast dopustivih rješenja zadatka linearnog programiranja ograničen, tada se maksimum ili minimum funkcije cilja dobija u jednoj ekstremnoj tačci na granici oblasti D. Skup dopustivih rješenja geometrijski predstavlja poliedar u prostoru, a funkcija cilja dostiže minimum odnosno maksimum u jednom tjemenu poliedra.

  22. Geometrijskom metodom maksimizirati funkciju pod ograničenjima:

  23. 5x1+4.5x2=350x1=0 ; x2=77.78 (0, 77.78) x2=0 ; x2=70 (70, 0) • 3x1+8x2=48 • x1=0 x2=60 (0, 60)x2=0 x2=160 (160, 0) (3) 2x1+x2=115 x1=0 x2=115 (0, 115) x2=0 x1=57.5 (57.5, 0) (4) x1=50 (50, 0) (5) x2=55 (0, 55)

  24. Z=24x1+19x2 ZA=24*0+19*55=1045 ZB=24*20+19*55=1525 ZC=24*41.875+19*31.25= 1598.75 ZD=24*50+19*15=1485 ZE=24*50+19*0=1200 Optimalno rješenje je x1=41.875 i x2=31.25 pri čemu je: Kada smo nacrtali svih 5pravacatražimo njihove međusobne presjeka kojima dobijamo vrhove poligona: 5x1+4.5x2=350 /*2 2x1+x2=115 /*(-5)10x1+9x2=700–10x1-5x2=-575 4x2=125 x2=31.25  x1=41.875 Zmax=Z(41.875,31.25)=1598.75

  25. D 60 50 B 40 30 E 20 10 A C F 60 10 20 30 40 50 Linearno programiranje - primjer - Moguća rješenja samo za xi 0 X2 max z = 4x1 + 3x2 Ograničenja x1 + x2 40 2x1 + x2  60 x1  0,x2  0 X1

  26. Linearnoprogramirje – primjer - max z = 4x1 + 3x2 Ograničenja x1 + x2 + s1 = 40 2x1 + x2 + s2 = 60 x1  0,x2  0, s1  0,s2  0 6 osnovnih rješenja dokaz

  27. D 60 50 B 40 30 E 20 10 A C F 60 10 20 30 40 50 Linearno programiranje– nerješiv problem • Preograničen problem max z = 4x1 + 3x2 Ograničenja x1 + x2 40 2x1 + x2  60 x1 20,x2 30

  28. GRAFIČKOM METODOM riješiti postavljeni problem: max (40X1 + 50X2) 10X1 + 10X2 ≤ 8000 10X1 + 30X2 ≤ 18000 20X1 + 10X2 ≤ 14000 X1, X2 ≥ 0 Prvi par tačaka:Drugi par tačaka: 10X1 + 10X2 = 8000 10X1+ 30X2 = 18000 X1 = 0 => X2 = 800 X1= 0 => X2 = 600 X2 = 0 => X1 = 800 X2= 0 => X1 = 1800 Treći par tačaka: 20X1 + 10X2 = 14000 X1 = 0 => X2 = 1400 X2 = 0 => X1 = 700

  29. rješenje je u tački B(300, 500) za F (X1, X2) = 40X1 + 50X2 jer se za nju traži maksimum:

  30. Primjer 1. (Proizvodnja) Neko preduzeće proizvodi dvije vrste proizvoda A i B, na dvije grupe strojeva, S1i S2 . Dnevni kapaciteti i karakteristike strojeva dati suu tablici: Dobit je po jedinici proizvoda A 200 KM, a po jedinici proizvoda B, 150 KM. Sastavite linearni model dnevne proizvodnje koja će osigurati maksimalnu dobit.

  31. Dobit je po jedinici proizvoda A 200 KM, a po jedinici proizvoda B, 150 KM. Varijable odlučivanja: x1količina proizvoda A x2količina proizvoda B

  32. Primjer 2. (Proizvodnja) U jednom se pogonu proizvode dva proizvoda na tri grupe strojeva. Za promatrani vremenski period je potrebno donijeti odluku koja će se količina prvog i drugog proizvoda proizvesti u tom pogonu. Ograničenja su realizacije programa proizvodnje kapaciteti raspoloživih strojeva i mogućnost plasmana proizvoda na tržište. Tehnološki su uslovi proizvodnje dati tablicom:

  33. Analizom tržišta procijenjeno je da se u promatranom vremenskom periodu ne može prodati više od 3500 jedinica prvog proizvoda i 4000 jedinica drugog proizvoda. Cilj je donijeti odluku kojom će se ostvariti maksimalna dobit, ako je ona za prvi proizvod 15 KM, a za drugi 10 KM po jedinici proizvoda. . Sastavite linearni model proizvodnje za promatrani period.

  34. Primjer 3. (Proizvodnja) Neko preduzeće proizvodi dva artikla, A i B, na tri grupe strojevaS1, S2 i S3 . Podaci o iskorištenju kapaciteta dati su u tablici: Radno je vrijeme 8 sati dnevno. Dobit je po jedinici proizvoda A 15 KM, a po jedinici proizvoda B 20 KM. Sastavite linearni model dnevne proizvodnje koja će osigurati maksimalnu dobit. Varijable odlučivanja: x1 količina proizvoda A x2 količina proizvoda B

  35. 1/2 x1 + 1/3 x2 8 / * 61/3 x1 + 1/2 x2  8 / * 61/2 x1 + 1/2 x2  8 / * 2

  36. Primjer 4 • Preduzeće treba da proizvodi dva proizvoda, A i B, na tri grupe mašina, M1 , M2 i M3. Normativ vremena izrade ovih proizvoda na grupama mašina, raspoloživi fond vremena mašina, kao i dobit po jedinici proizvoda daju se u slijedećoj tabeli :

  37. Potrebno je utvrditi optimalan plan proizvodnje pod uslovom da se postigne maksimalna dobit. • Funkcija kriterija F(x)=30x1+50x2 koju treba maksimizirati pod ograničenjima: 5x1 + 6 x2  1.500 9x1 + 2,8x2 1.800 2x1 + 9,5x2 1.800

  38. U koordinatnom pravouglom sistemu OX1X2predstavljamo nejednačine ograničenja kao jednačine. To će biti prave linije : • prava p1 5x1 + 6 x2 = 1.500 • prava p2 9x1 + 2,8x2 = 1.800 • prava p3 2x1 + 9,5x2 = 1.800

  39. Funkcija kriterija F(x) predstavlja snop beskonačno mnogo paralelnih pravih. Ako povlačimo prave paralelne sa pravom F(x) (funkcije kriterija) sve dalje od koordinatnog početka, povećavaće se i vrijednost funkcije kriterija, da bi u tački M, koja je najviše udaljena od koordinatnog početka, a leži na pravoj F(x), postigla svoju maksimalnu vrijednost. • Koordinate tačke M su x1 = 108 i x2 = 160 a vrijednost funkcije kriterija F(x) = 11.240 KM • Prema tome . plan proizvodnje sadrži : • Proizvod A 108 jedinica • Proizvod B 160 jedinica

  40. A maksimalna dobit iznosi • F(x) = 11.240 KM • Pošto su koordinate tačke M na presjeku pravih p1 i p2 ,tj. na presjeku (ne)jednačina ograničenja raspoloživog fonda vremena mašina M1i M3, znači da je zadovoljen uslov jednakosti ova dva ograničenja te je raspoloživi fond vremena ovih mašina 100 % iskorišten.

  41. PRIMJERI ZA VJEŽBE

  42. POPIS SEMINARSKIH RADOVA Zadatak 1 • Nekopreduzeće proizvodi 2 artikla A i B na strojevima S1 i S2. Na izradi jedinice artikla A stroj S1 utroši 5 sati a stroj S2 6 sati. Stroj S1 može raditi najviše 21 sat dnevno, a stroj S2 najviše 18 sati dnevno. Profit (dobitak) po jedinici prpozvoda A je 70KM, a po jedinici proizvoda B je 90 KM • Treba ispitati koliku količinu artikla A, a koju količinu artilča B treba preduzeće dnevno da proizvede da bi imalo maksimalni profit (maksimalnu dobit)

More Related