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ECUACIONES CONTINUA, GENERAL Y NORMAL

ECUACIONES CONTINUA, GENERAL Y NORMAL. Bloque II * Tema 065. ECUACIÓN CONTINUA. La ecuación paramétrica de una recta hemos visto que es: x = x o + t.a y = y o + t.b Si en ambas expresiones despejamos el parámetro t , resulta:

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Presentation Transcript

  1. ECUACIONES CONTINUA, GENERAL Y NORMAL Bloque II * Tema 065 Matemáticas Acceso a CFGS

  2. ECUACIÓN CONTINUA • La ecuación paramétrica de una recta hemos visto que es: • x = xo + t.a • y = yo + t.b • Si en ambas expresiones despejamos el parámetro t , resulta: • x – xo = t.a  (x – xo ) / a = t • y – yo = t.b  (y – yo ) / b= t • Como el valor del parámetro t debe ser el mismo para cada punto de la recta, podemos igualarlo: • x - xo y - yo • t = t --------- = --------- , siempre que a<>0 y b<>0 • a b • Que es la ecuación continua de la recta. Matemáticas Acceso a CFGS

  3. Ejemplo_1 • Una recta r viene dada por su ecuación vectorial: (x, y) = (0, 2) + t.(- 3, 5) • Hallar su ecuación continua. • Tenemos: (x, y) = (0, 2) + t.(- 3, 5) • Desglosando las coordenadas del vector: • x = 0 – 3.t ,, y = 2 + 5.t • Despejando el parámetro t en ambas expresiones, resulta: • x – 0 y – 2 • t = -------- , t = -------- • - 3 5 • Igualando el valor de t, queda: x / (– 3) = (y – 2) / 5 • Ejemplo_2 • Una recta r viene dada de la forma r(A, u), donde A(3, 4) y u=(6, 8). • Hallar su ecuación continua. • Su ecuación vectorial será: (x, y) = (3, 4) + t.(6, 8) • Desglosando las coordenadas del vector: x=3 + 6.t ,, y=4 + 8.t • Despejando el parámetro t en ambas expresiones, resulta: • t= (x – 3) / 6 y t=(y – 4) / 8 • Igualando el valor de t, tenemos: (x – 3) / 6 = (y – 4) / 8 Matemáticas Acceso a CFGS

  4. ECUACIÓN GENERAL • ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DE LA RECTA • Partimos de la ecuación continua de la recta: • x - xo y - yo • -------- = -------- • a b • Como en toda proporción, podemos multiplicar en cruz, quedando: • b.(x – xo) = a.(y - yo) • b.x – b.xo = a.y – a.yo • b.x – a.y – b.xo + a.yo = 0 • Renombrando coeficientes queda: r: A.x + B.y + C = 0 • Que es la ecuación general o ecuación implícita de la recta. • Donde A=b, B= - a y C= – b.xo + a.yo • Como un vector director era v=(a,b), ahora será v=(-B, A) Matemáticas Acceso a CFGS

  5. Ejemplo 1 • Hallar la ecuación general de una recta si su ecuación continua es: • x - 3 y + 2 • -------- = -------- • 2 - 5 • Operando en la proporción: - 5.(x – 3) = 2.(y + 2) • - 5.x + 15 = 2.y + 4  - 5.x – 2.y + 15 – 4 = 0  5.x + 2.y – 11 = 0 • Ejemplo 2 • Hallar la ecuación general de una recta si pasa por el punto A(- 2, - 4) y un vector director es v=(3, 2) • Tomando la ecuación continua y sustituyendo: • x - xo y – yo x – (- 2) y – (- 4) • -------- = -------- ; ----------- = ----------- • a b 3 2 • Operando en la proporción: 2.(x +2) = 3.(y + 4) • 2.x + 4 = 3.y + 12  2.x – 3.y + 4 – 12 = 0  2.x – 3.y – 8 = 0 Matemáticas Acceso a CFGS

  6. ECUACIÓN NORMAL • VECTOR PERPENDICULAR A UNA RECTA • Sea la recta de ecuación Ax + By + C = 0 • El vector director de dicha recta es u = (-B, A) • Un vector v perpendicular a dicha recta será aquel cuyo producto escalar con u de cero. • Operando: u.v = -B.A+A.B = 0 • Luego un vector perpendicular a la recta es v(A, B) • Ejemplo: • Sea r: 4x – 5y + 7 = 0 • El vector director es: u(5, 4) • Un vector perpendicular será: v(-4, 5) • Pues u.v = (5,4).(-4,5) = -20+20 = 0 y r v u P(x,y) 0 x Matemáticas Acceso a CFGS

  7. ECUACIÓN NORMAL • Sea la recta de ecuación Ax + By + C = 0 • Sea un vector perpendicular v(A, B) • Sea un punto cualquiera de r, Q(a,b) • Sea un punto general de r, P(x,y) • Tenemos: v.PQ = 0 • Por ser v y PQ vectores perpendiculares. • (A, B).(x – a, y – b) =0 • A(x – a)+B(y – b) = 0 • Que es la ecuación normal de la recta. • Si se desarrolla queda: • Ax + By – Aa – Bb = 0 • Dividido entre el módulo de v queda: • A B C • r: ------------ x + ------------ y + ------------ = 0 • √(A2+B2) √(A2+B2) √(A2+B2) y r P(x,y) v u P(a,b) 0 x Matemáticas Acceso a CFGS

  8. Ejemplo 1 • Hallar la ecuación normal y la normal canónica de r: 3x – 4y + 8 = 0 • Un punto de la recta es el Q(0, 2) y un vector perpendicular v(3, -4) • 3(x – 0)+(-4)(y – 2) = 0 3x – 4(y – 2) = 0 • Que es la ecuación normal de la recta. • El módulo del vector v es: √(A2+B2) = √(9+16) = 5 • 3 4 8 • r: ----- x – ----- y + ----- = 0 , r: 0’6x – 0’8y + 1’3 = 0 • 5 5 5 • Ejemplo 2 • Hallar la ecuación normal y la normal canónica de r: 8x + 6y – 10 = 0 • Un punto de la recta es el Q(-1, 3) y un vector perpendicular v(8, 6) • 8(x + 1) + 6(y – 3) = 0 • Que es la ecuación normal de la recta. • El módulo del vector v es: √(A2+B2) = √(64+36) = 10 • 8 6 10 • r: ----- x + ----- y – ----- = 0 , r: 0’8x + 0’6y – 1 = 0 que es la canónica. • 10 10 10 Matemáticas Acceso a CFGS

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