MATEMÁTICAS A. CS II

1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema V Programación Lineal Apuntes 2º Bachillerato C.S.

2. PROGRAMACIÓN LINEAL TEMA 5.3 * 2º BCS Apuntes 2º Bachillerato C.S.

3. PROGRAMACIÓN LINEAL • Aunque se utilizaba ya en el siglo XVII, se considera a George Bernard (1947) como el precursor de esta rama de las Matemáticas, al formular y desarrollar los algoritmos necesarios para resolver problemas de programación lineal. • Se utiliza en problemas como el de la dieta o el transporte, así como en problemas de planificación económica y gestión social. • Se trata de hallar la ganancia máxima o el coste mínimo cuando se dispone de recursos limitados o hay que cubrir unas necesidades mínimas. • Un PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL es aquel en que pretendemos hallar el máximo o el mínimo de una función, llamada FUNCIÓN OBJETIVO, sujeta a una serie de restricciones que vienen expresadas en forma de inecuaciones. • Para resolver un problema de programación lineal tendremos que: • 1.- Encontrar la función objetivo y el conjunto de restricciones. • 2,. Determinar la región factible, que será la solución al sistema de inecuaciones lineales formado por las restricciones. • 3.- Calcular el punto o puntos donde la función objetivo alcanza el máximo o el mínimo. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

4. Ejemplo explicado paso a paso • ENUNCIADO • (Suele ser bastante largo, pues debe ser muy preciso y meticuloso). • Los alumnos de 2º Bachillerato del IES “Jorge Manrique” pretenden vender dos tipos de lotes, A y B, para sufragar parte de los gastos del viaje fin de estudios. Cada lote de tipo A consta de una caja de chocolatinas y cinco participaciones para la rifa de un coche; y cada lote de tipo B de dos cajas de chocolatinas y dos participaciones. Por cada lote de tipo A vendido, los alumnos obtienen un beneficio de 8 € y por cada lote de tipo B, de 10 €. • Por razones de almacenamiento y conservación pueden disponer, a lo sumo, de 400 cajas de chocolatinas. Asimismo los alumnos sólo disponen de 1200 participaciones para la rifa del coche y deben maximizar sus beneficios. • Se desea saber cuántas unidades de cada tipo, A y B, deben vender para que el beneficio obtenido sea el máximo, así como la cantidad a que asciende dicho beneficio Apuntes 2º Bachillerato C.S.

5. Resolución: • (1.- Encontrar la función objetivo y el conjunto de restricciones) • Siendo x e y las unidades vendidas de cada tipo. • x = unidades vendidas, lotes, del tipo A • y = unidades vendidas, lotes, del tipo B • La función objetivo será la expresión que nos de el beneficio en función de las unidades vendidas de cada tipo: • f (x, y) = 8.x + 10.y • Las restricciones del problema serán: • x + 2.y ≤ 400 , en lo tocante a cajas de chocolatinas disponibles. • 5.x + 2.y ≤ 1200 , en lo tocante a participaciones con que cuentan. • x ≥ 0 , pues x debe ser un número entero y positivo • y ≥ 0 , pues y debe ser, al igual que x, entero y positivo. • Obsérvese que tenemos un sistema de cuatro inecuaciones con dos incógnitas, x e y. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

6. Y • Resolución: • (2.- Calcular la región factible) • Región Factible, aquella donde se va a encontrar la solución o soluciones del problema, si es que existe/n. • Representamos gráficamente las inecuaciones (restricciones). • 5.x + 2.y ≤ 1200 • x + 2.y ≤ 400 • y ≥ 0 • x ≥ 0 • Para ello despejamos y hallamos una pequeña tabla de valores para cada una: • y ≤ 600 – 2,5.x • y ≤ 200 – 0,5.x • y ≥ 0 • x ≥ 0 X Apuntes 2º Bachillerato C.S.

7. Y 600 • … Resolución: • (2.- Calcular la región factible) • La región factible será la intersección de los rayados parciales, que vemos es un cuadrilátero de vértices ABCD • Los lados de dicho cuadrilátero son todos continuos, en razón de las inecuaciones. • Todos los puntos encerrados en el cuadrilátero son solución del sistema, pero el punto o puntos que nos va a dar el máximo beneficio es uno de los vértices. • (Excepcionalmente el máximo beneficio se puede encontrar en todos los puntos de una recta que une dos vértices). • A(0,0) • B(0, 200) • C(200, 100) • D(240, 0) B 200 C A X D 0 200 240 400 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

8. Corte de máxima altura • Resolución: • (3.- Calcular el punto (normalmente es un vértice) donde la función objetivo alcanza el máximo valor) • A.- FORMA GRÁFICA • Tomamos la función objetivo • f (x,y) = 8.x + 10.y • Dibujamos: • 8.x + 10 y = 0 • y = – 8.x / 10 = – 0,8.x • Dibujamos las paralelas que pasan por los todos los vértices. • El vértice solución será aquel cuya paralela correspondiente corte al eje de ordenadas en la mayor altura posible. • En este caso: C  x = 200, y = 100 B(0,200) C(200,100) A(0,0) D(240,0) Apuntes 2º Bachillerato C.S.

9. Resolución: • (3.- Calcular el punto (normalmente es un vértice) donde la función objetivo alcanza el máximo valor) • B.- FORMA ANALÍTICA • Tomamos la función objetivo: • f(x,y) = 8.x + 10.y • Tomamos las coordenadas de los • vértices, ya halladas o calculadas. • Hallamos los valores de la función: • f(A) = 8.0+10.0 = 0  NO • f(B) = 8.0+10.200 = 2.000 • f(C) = 8.200+10.100 = 2.600 • f(D) = 8.240 + 10.0 = 1.900 • Vemos que debemos vender • 200 del tipo A y 100 del B para • obtener el máximo beneficio que • corresponde a 2.600 € B(0,200) C(200,100) A(0,0) D(240,0) Apuntes 2º Bachillerato C.S.