Estatística

1. Estatística Prof. Edson Nemer Site: www.professornemer.com

2. Ementa • Introdução a Estatística • Medidas de Tendência Central • Medidas de Dispersão • Revisão de Análise Combinatória • Probabilidade • Distribuição Normal • Intervalo de Confiança

3. Contagem Princípio Fundamental de Contagem Se um determinado procedimento pode ser realizado de n1 maneiras diferentes... Se após este, um segundo procedimento pode ser realizado de n2 maneiras diferentes... Se após este, um terceiro procedimento pode ser realizado de n3 maneiras diferentes... E assim por diante... Então o número total de maneiras que os procedimentos podem ser executados, na ordem dada, é calculado da seguinte forma: N1 x N2 x N3 x N4 x ...

4. Contagem Exemplo 1: Queremos fabricar placas de carro formadas por 3 letras seguidas de 4 números. Sabendo que o alfabeto contém 26 letras, quantas placas poderiam ser fabricadas? Solução: N6 N7 N1 N2 N3 N4 N5 26 10 x 10 x 10 x 10 x = 175760000 26 26 x x A 3ª posição também pode ser preenchida de 26 maneiras diferentes pois temos que escolher mais uma letra entre as 26 letras do alfabeto. A5ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). A 2ª posição também pode ser preenchida de 26 maneiras diferentes pois temos que escolher mais uma letra entre as 26 letras do alfabeto. A 6ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). A 7ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). Já a 4ª posição pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). A 1ª posição pode ser preenchida de 26 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 26 letras do alfabeto. Logo, podem ser fabricadas 175760000 placas.

5. Contagem Exemplo 2: Queremos fabricar placas de carro formadas por 3 letras seguidas de 4 números. Sabendo que o alfabeto contém 26 letras, quantas placas poderiam ser fabricadas, se as letras forem distintas e tivermos somente placas pares? Solução: N6 N7 N1 N2 N3 N4 N5 A 7ª posição pode ser preenchida de 5 maneiras diferentes pois só temos placas pares, logo, temos que escolher um número entre 5 possíveis (0, 2, 4, 6 e 8). 24 10 x 10 x 10 x 5 x = 78000000 26 25 x x A5ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). A 3ª posição pode ser preenchida de 24 maneiras diferentes pois duas letras já foram utilizadas e temos que escolher mais uma letra entre as 24 letras restantes. A 6ª posição também pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher mais um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). A 2ª posição pode ser preenchida de 25 maneiras diferentes pois uma letra já foi utilizada e temos que escolher mais uma letra entre as 25 letras restantes. Já a 4ª posição pode ser preenchida de 10 maneiras diferentes pois temos que escolher um número entre 10 possíveis (0, 1, 2, 3...9). A 1ª posição pode ser preenchida de 26 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 26 letras do alfabeto. Logo, podem ser fabricadas 78000000 placas.

6. Contagem Notação Fatorial O produto dos inteiros positivos de 1 até n, inclusive, aparece frequentemente em Matemática e, por isso, é representado pelo símbolo especial n! n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * ... * 3 * 2 * 1 É conveniente definir, também, 0! = 1. Exemplo: • 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 • 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = • 5 x 4! = 120 • 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = • 7 x 6 x 5! = 5040

7. Contagem Notação Fatorial Podem ser executadas operações de simplificação como mostrado a seguir: Exemplos: i) A próxima providência é simplificar a fração. A próxima providência é simplificar a fração. A próxima providência é simplificar as frações. A próxima providência é simplificar as frações. A primeira providência é expandir o numerador até o fatorial do denominador. A primeira providência é expandir o numerador até o fatorial do denominador. ii) iii) iv) Expandir os numeradores. Expandir os numeradores.

8. Contagem Permutação Um arranjo de um conjunto de n objetos, em dada ordem, é chamado permutação dos objetos (tomados todos ao mesmo tempo). Exemplo: Suponha as letras A, B, C e D Uma permutação seria a seguinte: A B B C D B A A C A D D B C C D Uma outra permutação seria: Uma terceira permutação seria: Uma quarta permutação seria: Observe que em uma permutação desse tipo os elementos são os mesmos, a posição deles é que muda.

9. Contagem Permutação Um arranjo de quaisquer r desses n objetos, em dada ordem, é chamado de r-permutação ou permutação dos n objetos, tomados r a r. Exemplo: Suponha as letras A, B, C e D Uma permutação dos 4 elementos, tomados todos ao mesmo tempo: A B C D Uma permutação dos 4 elementos, tomados 3 a 3, seria: B A D Uma outra permutação dos 4 elementos, tomados 3 a 3, seria: B D A Uma permutação dos 4 elementos, tomados 2 a 2, seria: Uma outra permutação dos 4 elementos, tomados 2 a 2, seria: C D A A

10. Contagem Permutação Exemplo: Quantas permutações dos objetos A, B, C, D, E e F, tomados 3 a 3, podem ser formadas? Em outras palavras, quantos anagramas de 3 letras podem ser formados com as letras fornecidas? Solução: 6 5 x 4 120 x = = N1 N2 N3 A 2ª posição pode ser preenchida de 5 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 5 letras restantes. A 3ª posição pode ser preenchida de 4 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 4 letras restantes. A 1ª posição pode ser preenchida de 6 maneiras diferentes pois temos que escolher uma letra entre as 6 letras fornecidas. Logo, utilizando o Princípio Fundamental de Contagem, o número total de permutações de 6 objetos, tomados 3 a 3, é dado por 6 x 5 x 4 = 120

11. Contagem Permutação O exercício anterior também poderia ser resolvido usando-se a seguinte fórmula: Obs: No caso particular, quando r = n, temos que: n! Exemplo: Quantas permutações dos objetos A, B, C, D, E e F, tomados 3 a 3, podem ser formadas? Em outras palavras, quantos anagramas de 3 letras podem ser formados com as letras fornecidas? Solução: Temos no total, 6 elementos, logo: n = 6 Queremos criar anagramas de 3 letras, ou seja, vamos tomar 3 elementos. Logo: r = 3

12. Contagem Permutação Exemplo: Quantas permutações podem ser obtidas com os elementos A, B e C? Solução: usando a fórmula n!, tem-se 3! = 3 * 2 * 1 = 6 permutações. Verificação: ABC BAC CAB CBA ACB BCA Exemplo: Quantas permutações podem ser obtidas com os elementos A, B, C e D? Solução: usando a fórmula n!, tem-se 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 permutações. Verificação: ABCD BACD DABC CABD ABDC BADC DACB CADB ACBD BCAD DBAC CBAD ACDB BCDA DBCA CBDA ADBC BDAC DCAB CDAB ADCB BDCA DCBA CDBA

13. Contagem Permutações com repetições Frequentemente queremos saber o número de permutações de objetos, alguns dos quais aparecem repetidos. A fórmula para saber o número de permutações de elementos, quando alguns deles aparecem repetidos, é a seguinte: n3 = número de vezes que o elemento C aparece repetido. n2 = número de vezes que o elemento B aparece repetido. n1 = número de vezes que o elemento A aparece repetido. Exemplo: Quantos anagramas podem ser construídos com as letras da palavra DADDY? Solução: observando que a letra D aparece 3 (três) vezes, tem-se que:

14. Contagem Permutações com repetições Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados com as letras de PROFESSORADO? Solução: observando que são 12 (doze) letras no total, e que as letras R e S aparecem 2 (duas) vezes cada, e a letra O aparece 3 (três) vezes, tem-se que: Exemplo: Quantos anagramas podem ser formados com as letras de APARENTAVA? Solução: observando que são 10 (dez) letras no total, e que a letra A aparece 4 (quatro) vezes, tem-se que:

15. Contagem Combinação Suponha um conjunto com n elementos. Uma combinação destes n elementos, tomados r a r, ou uma r-combinação, é qualquer subconjunto de r elementos. Em outras palavras, uma r-combinação, é qualquer seleção r dos n elementos, independente da ordem em que apareçam. Exemplo: Suponha as letras A, B, C e D. Combinação dessas letras, tomadas 3 a 3, são as seguintes: A C B B A B D A D A C D D C B C A A A B C B B C D C D D Observação: Suponha as letras A, B, C e D. Em um exemplo anterior foi visto que os conjuntos abaixo representam 4 (quatro) permutações. Entretanto, eles representam uma única combinação pois temos os mesmos elementos nos quatro conjuntos. 4 permutações: os elementos são os mesmos mas a ordem importa. 1 combinação: os elementos são os mesmos mas a ordem não importa.

16. Contagem Combinação O número de combinações de n objetos, tomados r a r, é obtido a partir da seguinte fórmula: Exemplo: Suponha um grupo com 8 pessoas. Quantas comissões podem ser formadas com 3 delas? Solução: observando que são 3 (três) vagas na comissão, e que não importa a ordem em que essas vagas serão preenchidas, temos um problema de combinação de 8 elementos, tomados 3 a 3. 8 pessoas (n=8) para 3 vagas (r=3)

17. Contagem Combinação Exemplo: Suponha um grupo com 6 homens e 7 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas com : a) 6 pessoas? Solução: Temos 6 vagas para formar a comissão. Como não há nenhuma restrição quanto a sexo, significa que qualquer pessoa pode ocupar qualquer vaga. Logo, temos 13 pessoas (6 homens + 7 mulheres) para distribuir pelas 6 vagas. Como a ordem não importa, temos um problema de combinação de 13 pessoas, tomadas 6 a 6. Portanto:

18. Contagem Combinação Exemplo: Suponha um grupo com 6 homens e 7 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas com : b) 6 pessoas, onde 3 são homens e 3 são mulheres? Solução: H H H M M M Existem 6 homens para 3 vagas. Existem 7 mulheres para 3 vagas. x x x

19. A Contagem Combinação Exemplo: Suponha um grupo com 6 homens e 7 mulheres. Quantas comissões podem ser formadas com : b) 6 pessoas, onde 3 são homens, e onde o homem A participa mas o B e o C não, e 3 são mulheres, onde a mulher X participa mas a Y não? Solução: H H M M H M X 3 homens para 2 vagas. 6 homens para 3 vagas. 5 homens para 2 vagas. 6 mulheres para 2 vagas. 5 mulheres para 2 vagas. Existem 7 mulheres para 3 vagas. Como a mulher Y não participa, sobrarão 5 mulheres para 2 vagas. Como a mulher X tem que participar, significa que ela ocupará uma das vagas. Logo, sobrarão 6 mulheres para 2 vagas. Como os homens B e C não participam, sobrarão 3 homens para 2 vagas. Como o homem A tem que participar, significa que ele ocupará uma das vagas. Logo, sobrarão 5 homens para 2 vagas. x x x