LA RELATIVITÀ RISTRETTA

1. LA RELATIVITÀ RISTRETTA La Relatività Ristretta

2. La fisica fondamentale a fine ‘800 • Lord Kelvin dichiara prossima la fine della fisica (1900) • Fisica classica • Meccanica • Termodinamica • Gravitazione universale • Elettromagnetismo La Relatività ristretta

3. Elettromagnetismo • Alla fine ‘800 l’elettromagnetismo era la frontiera più avanzata della fisica teorica • L’elettromagnetismo descrive le interazioni fra le cariche elettriche • In quiete (elettrostatica) • In movimento • Maxwell introdusse il concetto di campo • Un corpo in virtù della sua presenza in un certo punto dell’Universo altera lo spazio che lo circonda in base alla caratteristica che possiede ( massa, carica elettrica...) • l’alterazione introdotta dalla sorgente è descritta da una diversa grandezza fisica a seconda del campo (accelerazione di gravità g, l’intensità del campo elettrico E, l’induzione del campo magnetico B) • Un qualsiasi altro corpo posto ad una distanza r dal primo risente di una forza in base alla caratteristica di cui è dotato. • La Teoria di Maxwell prevede le onde elettromagnetiche ( vibrazioni di campi elettrici e magnetici ) che si propagano nel vuoto con una velocità c ∼ 3 x 10 8m/s, ma non specifica il sistema di riferimento in cui la velocità della luce assumequesto valore. • Nella meccanica di Galileo e di Newton non esistono velocità assolute ma solo velocità relative ad un certo sistema di riferimento. • C’È UN’APPARENTE CONTRADDIZIONE FRA LE DUE TEORIE. • Se la Teoria di Maxwell è corretta si aprono due possibilità: • Le equazioni di Maxwell sono valide in un sistema di riferimento particolare :“l’etere” • La velocità della luce nel vuoto è la stessa in tutti i sistemi di riferimento • Per molti anni si perseguì la prima ipotesi, ma quella vera è la seconda e fu Einstein ad intuirlo per primo La Relatività ristretta

4. Esperienza di MICHELSON E MORLEY (1881-1887) • I due ricercatori effettuarono una serie di misure per evidenziare l’effetto del moto della Terra rispetto all’etere utilizzando un interferometro, ossia un dispositivo in cui la luce percorre due cammini mutuamente perpendicolari prima di ricombinarsi su uno schermo formando una figura di interferenza. • Il tratto Specchio H - Schermo è in comune, il tempo impiegato dai due raggi si differenzia per i due tratti fra lo specchio H e lo specchio A o lo specchio B in quanto, tenendo conto della legge di composizione delle velocità. • Il tempo impiegato tra H ed A saràIl tempo impiegato tra H ed B risulterà essere: • La differenza dei tempi impiegati dai due raggi per arrivare a sovrapporsi sullo schermo fa sì che su di esso si ottenga una figura di interferenza. • Se si ruota l’interferometro di 90° i ruoli dei due raggi sono invertiti e cambierà anche la differenza dei tempi impiegati dai due raggi per raggiungere lo schermo. • Ci si aspetta quindi di osservare sullo schermo una nuova figura di interferenza differente da quella di partenza • L’ESPERIENZA NON RIVELÒ ALCUNA VARIAZIONE NELLA FIGURA DI INTERFERENZA. La Relatività ristretta

5. Interferometro di MICHELSON E MORLEY La Relatività ristretta

6. Gli assiomi della Teoria della Relatività Ristretta Per risolvere la contraddizione fra meccanica ed elettromagnetismo riguardo la velocità della luce Einstein propose di rifondare la fisica a partire da due assiomi: • PRINCIPIO DI RELATIVITÀ RISTRETTA: I FENOMENI FISICI SI SVOLGONO IN MODO IDENTICO in due sistemi di riferimento in moto relativo uniforme ossia IN TUTTI I SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI. (il moto rettilineo uniforme del sistema non può essere rilevato con esperimenti di fisica all’interno di esso). • PRINCIPIO DI INVARIANZA DI C LA VELOCITÀ DELLA LUCE NEL VUOTO È LA STESSA IN OGNI SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE. Questo principio è proprio della relativitàeinsteiniana e richiede una modifica della meccanica classica. La Relatività ristretta

7. Gli assiomi della Teoria della Relatività Ristretta • Il primo principio era già noto nella fisica classica essendo stato chiaramente formulato da Galileo e da Newton per quanto riguarda la fisica nota a quel tempo. L’operazione di Einstein fu quella di estenderlo a tutta la fisica nella convinzione che la natura sia regolata da leggi semplici ed eleganti. • Il secondo principio spiega il risultato negativo dell’esperienza di Michelson Morley anche se, in realtà , Einstein quando formulò i suoi principi non era a conoscenza di questa problematica. • Per Einstein il secondo assioma era motivato dalle stesse ragioni di semplicità ed eleganza che sono alla base del primo. Se le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali, in ognuno di essi valgono le equazioni di Maxwell che prevedono per c il valore La Relatività ristretta

8. Conseguenze degli assiomi della Teoria della Relatività Ristretta • Revisione del concetto di simultaneità per eventi che avvengono nello stesso luogo o in luoghi diversi. • Dilatazione dei tempi • Contrazione delle lunghezze La Relatività ristretta

9. REVISIONE DEL CONCETTO DI SIMULTANEITÀ • Newtonriteneva che: • “Il tempo assoluto per sua stessa natura scorre uniformemente senza alcuna relazione ad alcunché di esterno” • Ciò implica che due avvenimenti che accadono nello stesso istante per un certo osservatore avverranno nello stesso istante per ogni altro essere umano a prescindere da dove si trovi ed indipendentemente dal suo moto. • Dal punto di vista classico LA SIMULTANEITÀ È ASSOLUTA. La Relatività ristretta

10. REVISIONE DEL CONCETTO DI SIMULTANEITÀ • Einstein analizzò in modo critico il concetto di simultaneità alla luce del secondo assioma della teoria della relatività ristretta per stabilire in modo operativo e non ambiguo se due fenomeni avvengono contemporaneamente: • Definizione operativa di simultaneità per un singolo osservatore: • DOMANDA: “ Due eventi simultanei per un osservatore O sono simultanei anche per un altro osservatore O’ in moto rettilineo uniforme in moto rispetto ad O?” • Il giudizio di simultaneità dipende dal punto di vista: due eventi che risultano simultanei in un dato sistema di riferimento non lo sono in un altro che si muova rispetto al primo • Si conclude che LA SIMULTANEITÀ È RELATIVA. La Relatività ristretta

11. REVISIONE DEL CONCETTO DI SIMULTANEITÀ Definizione operativa di simultaneità: I fenomeni F1 e F2 che avvengono nei punti A e B sono simultanei se la luce che essi emettono giunge nello stesso istante in un punto M equidistante da A e B Per l’osservatore O a terra gli eventi sono sicuramente simultanei, ma non per quello sul treno che vedrà il fulmine caduto nel punto B, verso il quale il treno si avvicina, prima del fulmine caduto in A. La Relatività ristretta

12. Simultaneità fra eventi che accadono in luoghi distinti osservati dallo stesso sistema di riferimento • Il valore finito della velocità delle luce porta a chiedersi come stabilire la successione fra due eventi che avvengono in luoghi diversi. • Un evento può essere registrato solo all’istante in cui è visto quindi, se la velocità della luce fosse infinita, l’avvenimento e la sua registrazione si verificherebbero sempre nello stesso istante indipendentemente dalla distanza, ma, visto che la velocità della luce ha un valore finito, ogni evento che avviene ad una certa distanza è registrato sempre con un certo ritardo temporale (esempio) • Per EINSTEIN per confrontare correttamente i tempi in cui si verificano due fenomeni che avvengono in due distinte regioni dello spazio bisogna utilizzare due orologi, tecnicamente identici, posti nelle due regioni e sincronizzati mediante un raggio di luce. • Un osservatore O che si trovi nel punto medio fra due orologi sincronizzati che sono in quiete rispetto ad O riceve simultaneamente i due lampi di luce. La Relatività ristretta

13. Simultaneità fra eventi che accadono in luoghi distinti osservati dallo stesso sistema di riferimento • Esempio: in una osservazione astronomica si vede una grande eruzione solare e allo stesso istante una esplosione stellare di una nova. I due eventi non sono contemporanei, anzi sono enormemente distanti nel tempo: l’eruzione solare si è verificata da circa 8 minuti il secondo può essere accaduto anche milioni di anni prima: dipende dalla distanza. • Orologi sincronizzati: Supponiamo di essere dotati di due orologi, distanti r, il primo in grado di emettere un segnale luminoso che può essere ricevuto dal secondo. Essi si dicono sincronizzati se il secondo di essi, nell’istante in cui riceve il lampo di luce emesso dal primo orologio all’istante t0, segna t=t0+r/c. Ad esempio, se si immagina il primo orologio nel Sole e il secondo sulla Terra, essi sono sincronizzati se, quando il primo orologio segna le ore 12:00, il secondo segna le 12:08. La Relatività ristretta

14. Dilatazione dei Tempi Supposto che il tempo non è assoluto, la durata di un fenomeno come cambia in relazione al moto dell’osservatore? Questa relazione descrive ladilatazione dei tempi. “La durata di qualunque fenomeno risulta minima se è misurata nel sistema di rifermento solidale con il sistema di corpi nel quale inizia il fenomeno”. Pertanto Δt0è l’intervallo di tempo proprio,ossia misurato da un osservatore O in quiete rispetto ai due eventi che costituiscono il fenomeno. Δt è l’intervallo di tempo dilatato, ossia misurato da un osservatore O’ che si muove di moto rettilineo uniforme rispetto ad O. La Relatività ristretta

15. Dilatazione dei Tempi • Consideriamo un orologio costituito da una sorgente che emette un breve impulso di luce e da un rivelatore, accanto ad essa, che raccoglie l’impulso dopo che è stato riflesso da uno specchio posto ad una distanza D. In questo istante il rivelatore emette un tic e viene emesso un altro segnale e il ciclo si ripete. L’intervallo di tempo fra “tic” successivi è legato ad un evento iniziale (emissione del segnale) ed uno finale(rivelazione del segnale). • Supponiamo di costruire due orologi identici: uno viene lasciato sulla Terra e l’altro è portato a bordo di un veicolo spaziale che si muove con velocità costante v rispetto alla Terra. • L’astronauta (O) è in quiete rispetto all’orologio e quindi vede l’impulso luminoso muoversi lungo la verticale. Per lui l’intervallo di tempo fra due tic sarà: Δt0 = 2D/c, dove c è la velocità della luce nel vuoto. • L’osservatore a Terra (O’) vede l’astronave che si muove con velocità v ; per lui l’impulso luminoso segue una traiettoria diagonale e quindi più lunga. In questo caso: • ma la distanza 2s = cΔt e Δt0 = 2D/c, sostituendo e ricavando Δt si ottiene: La Relatività ristretta

16. Conferme sperimentali della dilatazione temporale • J. C. Hafele e R.E. Keating nel 1971 portarono degli orologi atomici al cesio su aeroplani in viaggio intorno alla Terra. Dal momento che la velocità dell’aereo in relazione a c è molto ridotta l’effetto della dilatazione temporale è molto piccolo. Ciononostante la precisione degli orologi era sufficientemente elevata da consentire la misura dell’effetto che è risultata in accordo nell’ambito degli errori di misura con quanto previsto teoricamente alla fine delle 45 ore di volo. • Comportamento dei muoni, particelle elementari create nell’alta atmosfera a circa 10000 m di altitudine. Osservate a riposo queste particelle vivono mediamente 2,2 x10-6 s prima di decadere, ossia prima di trasformarsi in altre particelle più leggere. Con una vita media così breve queste particelle non avrebbero alcuna possibilità di raggiungere la superficie terrestre. Tuttavia un gran numero di muoni raggiunge effettivamente la superficie terrestre. Ciò è spiegabile in termini di dilatazione temporale. • Supponiamo ad esempio che la velocità v del muone sia 0,998c. La durata della sua vita media rispetto ad un osservatore posto a Terra tenendo conto della dilatazione è • Questo tempo è sufficientemente lungo per far sì che i muoni riescano a raggiungere la Terra, percorrendo anziché i 660m percorsi nel tempo proprio. La Relatività ristretta

17. Contrazione delle lunghezze Tenendo conto della dilatazione dei tempi come variano le lunghezze e le distanze? Questa relazione descrive la contrazione delle lunghezze. “Se Δx è la distanza fra due punti misurata da un osservatore in quiete rispetto ad essi, la distanza Δx’ fra gli stessi punti valutata da un secondo osservatore in moto rettilineo uniforme rispetto al primo è sempre minore di Δx.” Indichiamo con: Δx la lunghezza propria, ossia misurata da un osservatore in quiete rispetto ad essa. Δx ‘la lunghezza contratta, ossia misurata da un osservatore in moto rettilineo uniforme rispetto ad essa. . La Relatività ristretta

18. Contrazione delle lunghezze • Esperimento mentale: immaginiamo un treno che si muove ad alta velocità. • L’osservatore O1 , solidale con il terreno, ha piantato due paletti nel terreno in modo da individuare un segmento parallelo ai binari e quindi al treno; per O1 la distanza fra i paletti è Δx = x2 - x1, con x1 e x2 costanti nel tempo. Supponiamo che O1, nel suo sistema di riferimento, veda trascorrere un intervallo di tempo Δt dall’istante in cui un punto fissato del treno, che si sta muovendo a velocità v, traguarda x1 e l’istante in cui traguarda x2 . Pertanto Δx = v⋅Δt • Supponiamo di avere un osservatore O2 solidale con il treno e che O2 voglia ricavare la lunghezza del segmento preso in considerazione da O1. Per O2 il segmento si muove con una velocità v, egli dedurrà la lunghezza del segmento dalla misura Δt’ del tempo necessario affinché passino per uno stesso punto fissato del treno gli estremi del segmento: Δx’ = v Δt’ (Δt’ tempo proprio) • Ricaviamo Δt0 dalla dilatazione dei tempi: • Per l’osservatore O2 che vede il segmento muoversi si ha quindi : La Relatività ristretta

19. Osservazioni • Non esistono sistemi di riferimento privilegiati • Si parla di tempo proprio tra due eventi come l’intervallo di tempo misurato da un osservatore che è fermo rispetto agli eventi ossia che li vede accadere nello stesso punto • Si parla di lunghezza propria di un oggetto come la lunghezza misurata da un osservatore fermo rispetto all’oggetto. • Sia chiaro che il termine proprio non significa che quelle quantità siano quelle corrette o da preferirsi. Se così fosse esisterebbe un sistema di riferimento privilegiato e ciò contraddirebbe i principi della relatività La Relatività ristretta

20. Trasformazioni di Lorentz • Nella meccanica classica le relazioni fra le coordinate in due sistemi in moto relativo sono descritte dalle Trasformazioni di Galileo • Tutto ciò di cui abbiamo parlato sinora può essere descritto in termini delle Trasformazioni di Lorentz La Relatività ristretta

21. Galileo Le coordinate nel sistema di riferimento S’ La velocità nel sistema di riferimento S’,legge classica di composizione delle velocità Einstein Le coordinate nel sistema di riferimento S’ La velocità nel sistema di riferimento S’ y y’ ut u v x=x’ Composizione delle velocità Caso unidimensionale: Sistema S cammina con il treno Sistema S’ è fisso a terra La Relatività ristretta

22. Osserviamo che: • La correzione diventa apprezzabile solo per u prossima a c. • Per corpi che si muovono in S con velocità v = c si può verificare che dalla legge di composizione delle velocità relativistica si ottiene v’ = c ( ad esempio se il passeggero lancia un raggio laser anche il capostazione a terra vede la luce laser propagarsi con la stessa velocità). Quindi LA VELOCITÀ DELLA LUCE È COSTANTE INDIPENDENTEMENTE DAL MOTO DELLA SORGENTE • La velocità della luce è la massima possibile in quanto per velocità u>c il radicando diverrebbe negativo e le coordinate non sarebbero più reali. • Queste leggi di trasformazione prevedono sia la dilatazione degli intervalli di tempo che la contrazione delle lunghezze e la relatività della simultaneità La Relatività ristretta

23. Dilatazione dei Tempi • Supponiamo di avere un orologio fisso nel punto x del sistema S che scandisce dei Δt . Applicando le trasformazioni di Lorentz a degli intervalli spaziali Δx=x2-x1 e temporali Δt=t2-t1 si ha che • Poiché γ>1 si avrà che Δt’ > Δt. • Un qualunque orologio in movimento viene visto scandire il tempo in modo rallentato dal capostazione. La Relatività ristretta

24. Contrazione delle Lunghezze • Supponiamo di avere un campione di lunghezza propria L0 a riposo. Ci si chiede quale sarà la lunghezza rispetto ad un osservatore in moto con una velocità u lungo la direzione di L0. • Se Δx = L0 , applicando le trasformazioni di Lorentz determiniamo l’espressione di Δx’ per Δt’ = 0 • Sostituendo si ha che • Poiché γ > 1 si avrà che Δx’ < Δx La Relatività ristretta

25. Relatività della Simultaneità Se Δt = 0 per Δx diverso da zero, ossia eventi simultanei in posizioni distinte. Applicando le trasformazioni di Lorentz determiniamo l’espressione di Δt’ Si è ottenuto Δt’ diverso da zero Il segno di Δt’ e di Δt può essere opposto in due sistemi differenti. Due osservatori diversi possono vedere una successione diversa di eventi ma solo se gli la distanza fra gli eventi è maggiore di quella percorribile dalla luce in quell’intervallo di tempo La Relatività ristretta

26. Invariante relativistico • Nello spazio euclideo la scelta del sistema di riferimento è arbitraria: quello che ha significato fisico è la distanza fra due punti qualsiasi ( LA DISTANZA è INVARIANTE) • In relatività si ragiona non più in termini di spazio euclideo ma di spazio-tempo e si parla di evento, ossia di una cosa che avviene nel punto x,y,z all’istante t • In relatività dati due eventi separati da Δt, Δx, Δy, Δz, si definisce l’intervallo che risulta essere invariante rispetto ad una trasformazione di Lorentz. La Relatività ristretta

27. Dinamica relativistica • Dal punto di vista classico se ad un corpo di massa m e velocità v si applica una forza costante, in base alla seconda legge della dinamica, il corpo sarebbe soggetto ad una accelerazione costante e la sua velocità, aumentando costantemente, potrebbe raggiungere e superare la velocità della luce. Ciò risulta in contraddizione con i principi della relatività ristretta. • Dal punto di vista relativistico, si può superare questa incoerenza mantenendo la validità della seconda legge di Newton • Scrivendola sotto forma del teorema dell’impulso • Considerando la massa non più costante ma variabile con la velocità u del sistema di riferimento, secondo la relazione • La massa aumenta all’aumentare della velocità • la conservazione della quantità di moto continua a valere anche nella meccanica relativistica a patto di definire la quantità di moto come La Relatività ristretta

28. Energia relativistica • Per una particella di massa a riposo m0 e velocità v confrontabile con la velocità della luce, Einstein dimostrò, sulla base del teorema dell’energia cinetica, che • L’energia cinetica relativistica risulta • Da cui l’energia totale (in assenza di energia potenziale) risulta ciò significa che qualunque tipo di energia ΔE sia trasferita ad un corpo, (cinetica ma anche elettrica, termica, chimica o potenziale) determina un aumento della massa • LA MASSA è ENERGIA e L’ENERGIA POSSIEDE MASSA. Le due leggi di conservazione della massa e dell’energia vengono fuse dalla teoria della relatività in una sola: LA LEGGE DI CONSERVAZIONE DELLA MASSA-ENERGIA La Relatività ristretta

29. CONCLUSIONI • La relatività ristretta fa parte dei principi generali della fisica fondamentale • Essa implica che la velocità della luce è uguale in tutti i sistemi di riferimento e che nessun segnale o interazione si può propagare più velocemente • Come conseguenza il tempo non è assoluto e la massa non si conserva ma può mutarsi in altre forme di energia. • Le applicazioni e le verifiche della relatività sono molto comuni: • reattori nucleari • interazioni fra particelle elementari • ingegneria degli acceleratori La Relatività ristretta

30. La Relatività ristretta

31. Fonti • La fisica di Amaldi – idee ed esperimenti - Vol 2° - U. Amaldi-ed.Zanichelli • Fisica – Elettromagnetismo e Fisica moderna - J. D. Cutnell; K. W. Johnson – ed.Zanichelli. • Fisica 3 - A. Caforio; A. Ferilli - ed.LeMonnier • L’evoluzione della Fisica vol 3°- G.P. Parodi;M. Ostili; G. Mochi Onori - ed.Paravia • Conferenza “Il Principio di Relatività”, tenuta dal Prof. G. Altarelli (Unità di Fisica Teorica CERN, Ginevra) presso i Laboratori Nazionali di Frascati il 28 Novembre 2005 La Relatività ristretta