1 / 34

5. FUNGSI

5. FUNGSI. 5.1 Fungsi Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi . Telah dijelaskan sebelumnya , jika terdapat himpunan A dan himpunan B maka relasi dari A ke B adalah himpunan pasangan terurut ( a,b ) sedemikian sehingga a  A dan b  B.

shayla
Download Presentation

5. FUNGSI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 5. FUNGSI

  2. 5.1 Fungsi Fungsiadalahbentukkhususdarirelasi. Telahdijelaskansebelumnya, jikaterdapat himpunan A danhimpunan B makarelasidari A ke B adalahhimpunanpasanganterurut (a,b) sedemikiansehingga a  A dan b  B. Jikapadarelasidikenakanaturantertentu, makarelasitersebutdisebutfungsi. Fungsididefinisikansebagaiaturan yang menetapkanbahwasetiapsatuelemendi A dihubungkandengantepatsatuelemendi B

  3. A B A B B A ▸ ▸                 ▸         ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ (a) (b) (c) B A ▸         Gambar 5.1 a, dan c adalahfungsi, Sedangkanb, dan d bukanfungsi ▸ ▸ ▸ ▸ (d)

  4. Contoh 5.1 Apakahpersamaanberikutmerupakanfungsidari R ke R? Penyelesaian: f(0) = 1/0 = ∞ (bukan R)

  5. 5.2 Sifat-sifatFungsi Berdasarkansifatnya fungi dapatdibagimenjadi beberapasifat, yaitu: • 1) satukesatu (one to one) atauinjektif (injective), • 2)“pada” (onto) atausurjektif (surjective), • 3) berkorespondensatukesatu (one to one • correspondence) ataubijektif (bijective) • 4)fungsi yang mempunyaibalikan (inverse).

  6. 5.2.1 Fungsisatukesatu (One to One) Fungsi f dari A ke B dikatakansatukesatu (one-to- one) atauinjectivejikadanhanyajika • untuksetiapa1dan a2anggotahimpunan A, • berlakuf(a1)  f(a2) jika a1  a2. Artinyasetiapelemen yang berbedapada A mempunyaipasangan yang berbeda pula pada B. Gambarberikutadalahcontohfungsisatukesatu. B A A B ▸ ▸                  ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸

  7. Contoh 5.2 • Tentukanapakah f(x) = x – 1 fungsisatukesatu? • Penyelesaian: • Karena f(a1)  f(a2) untuksetiapa1 a2,maka • f(x) = x – 1 adalahfungsisatukesatu. • 5.2.2 Fungsi “pada” (onto) atausurjektif (surjective). • Suatufungsi f darihimpunan A kehimpunan B bersifat “pada” (onto) atausurjectivejikadanhanyajikauntuksetiapelemen b padahimpunan B mempunyaipasanganelemen a padahimpunan A sedemikian, sehingga f(a) = b. • Artinyasetiapelemenpadahimpunan B pastimempunyaipasanganpadahimpunan A.

  8. Gambarberikutadalahcontohfungsibersifat“pada”. A B ▸          ▸ ▸ ▸ ▸

  9. Contoh5.3 f(x) = 2x darihimpunanbilanganaslikehimpunanbilangangenappositifadalahfungsi yang bersifat “pada”. A B 1 2 3 4 5 ⋮ 2 4 6 8 10 ⋮ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸

  10. Sedangkanf(x) = 2x darihimpunanbilanganaslikehimpunanbilanganbulatbukanfungsi yang bersifat “pada”, karenaadasebagianbilanganasli yang tidakdapatdipetakankebilanganbulatnegatifataukebilanganganjil. A B 1 2 3 4 5 ⋮ 1 2 3 4 5 6 -1 ⋮ ▸ ▸ ▸

  11. 5.2.3 BersifatBijeksi (Bijective) Suatufungsidikatakanbijeksiatau berkorespondensisatukesatujikafungsi tersebutmerupakanfungsi “satukesatu” danfungsi “pada”. A B ▸         ▸ ▸ ▸

  12. Contoh 5.4 Fungsi f(x) = 2x darihimpunanbilanganasli N kehimpunanbilangangenappositif P adalah fungsisatukesatudanfungsi“pada”. Berartif(x) = 2x adalahfungsibijeksidari N ke P. 5.2.3 BalikanFungsi (Inverse Function) Suatufungsimempunyaibalikan (inverse) jika fungsitersebutberkorespondensatukesatu ataubijeksi

  13. Contoh 5.5 Tentukan fungi invers f(x) = 2x darihimpunanbilanganaslikehimpunanbilangangenappositif. Penyelesaian: Karena f(x) berkorespondensisatukesatudari himpunanbilanganaslikehimpunanbilangangenappositif, maka f(x) mempunyaibalikan.

  14. 5.3 KomposisiFungsi Misalg adalahfungsidarihimpunan A kehimpunanB, dan f adalahfungsidarihimpunan B kehimpunan C. Selanjutnyakomposisifungsi f dan g, dilambangkandenganf ∘ g, adalahsebuahfungsidarihimpunan A kehimpunan C yang memenuhif∘g(x) = f(g(x)), x A

  15. f ∘ g g f    a g(a) f(g(a)) C A B

  16. Contoh 5.6 • Jika f(x) = x2 , dan g(x) = x + 1, makakomposisi • f dan g adalah: • f(x) = x2 • f(g(x) ) = (g(x))2 = ( x + 1 )2

  17. Contoh 5.7 • Diberikanfungsi g = {(1,u), (2,u), (3,w)} yang • MemetakanA = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} dan • fungsi f = {(u,y), (v,x), (w,z)} yang memetakan • B = {u, v, w} ke C = {x, y, z}. • Fungsikomposisidari A ke C adalah • f ∘ g={(1,y), (2,y),(3,z)} C A B u v w x y z 1 2 3 ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸

  18. 5.4 Fungsipentinglainnya 5.4.1 FungsiFloordanCeiling Definisi Fungsi floor x,dilambangkandengan , menyatakanbilanganbulatterbesar yang lebihkecilatausamadengan x • Fungsi ceiling x, dilambangkandengan , • menyatakanbilanganbulatterkecil yang lebihbesaratausamadengan x.

  19. Sifat-sifatFungsiCeilingdanFloor:

  20. Contoh 5.8 Penyelesaian

  21. 5.4.2 Fungsi Modulo Fungsi Modulo adalahsuatujenisfungsi yang mempunyaihubungandengansisahasil bagiantaraduabuahbilanganbulat. Misalterdapatduabuahbilanganbulat m dan n. Untuksetiapnilai n > 0, sisahasilbagi, sebut r, dari m dibagi n atau m/n ditunjukkandengan, m mod n = r • Misal q adalahhasilbagi m dibagi n, sedangkan • r adalahsisadarihasilbagi. Selanjutnyakita • dapatmembuathubungan,

  22. m = qn + r r = m – qn , 0  r  n

  23. 5.4.3 FungsiFaktorial • Fungsieksponensialberbentuk Contoh 5.9 0! = 1 1! = 1 = 1 x 0! = 1 2! = 1  2 = 2 x 1! = 2 • 3! = 1  2  3 = 3 x 2! = 6 • ⋮ • n!=1  2  3  ...  (n-1)  n = n  (n-1)!

  24. Selanjutnya n! dapatdidefinisikansebagai, Jikadimisalkan f(n) = n! , maka,

  25. 5.4.4 FungsiEksponensialdanLogaritmik • Fungsieksponensialberbentuk , n = 0 Fungsilogaritmikberbentuk

  26. 5.4.5 FungsiRekursif Fungsirekursifataufungsiberulangadalah fungsi yang didefinisikanolehdirinyasendiri. Fungsirekursiftersusunatasduabagian, yaitu • Basis • Bagian yang berisinilaiawal yang tidak • mengacupadadirinyasendiri • Bagian yang mendefinisikanargumenfungsi • dalamterminologidirinyasendiri. • Sebagaicontoh, • Misal f(n) = n! • Tentukan f(6) • Penyelesaian

  27. Definisifungsifaktorialadalah atau

  28. Dari persamaandiatasdidapat: • Basis • f(0) = 0! = 1 , n = 0 • Rekurens • f(n) = n! = n x(n–1)!   , n > 0 • f(6) = 6! dihitungdengancara: • f(1) = 1! = 1  0! = 1  1 = 1 • f(2) = 2! = 2  1! = 2  1 = 2 • f(3) = 3! = 3  2! = 3  2  1 = 6 • f(4) = 4! = 4  3! = 4  3 2 1 = 24 • f(5) = 5! = 5  4! = 5  4  3 2 1 = 120 • f(6) = 6! = 6  5! = 6  5  4  3 2 1 = 720

  29. Contohlainnyaadalahbilangan Fibonacci, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . yaitusuatubarisantakhinggabilangan-bilangan yang diawaliolehduasukupertamamasing-masing 0 dan 1. Sedangkansukuketigadanselanjutnyamerupakan jumlahduasukusebelumnya. Misalsukuke n daribilangan Fibonacci adalah Fn. Jikasukupertamaadalah F0dansukukedua adalah F1, maka F0 = 0 dan F1 = 1

  30. Jadi : F2 = F1 + F0 = 1 + 0 = 1 F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2 F4 = F3 + F2 = 2 + 1 = 3 F5 = F4 + F3 = 3 + 2 = 5 ⋮ Fn = Fn-1 + Fn-2

  31. Dari keduacontohdiatas, kitadapatmenyimpulkanbahwauntukmenentukannilaifungsirekursifharusmelaluiduatahapan, yaitu basis danlangkahrekursif. Basis adalahnilaifungsi yang sudahditentukanolehsukupertamaataukelompoksukupertama. Padafungsifaktorial basis adalah 0! = 0. Sedangkanpadabilangan Fibonacci, basis adalahsukupertamadankedua, yaitu 0 dan 1. Langkahrekursifadalahlangkah yang menyatakanbagaimanacaramenghitungnilaifungsidarisuku-sukuataunilai-nilaiterdahulu.

  32. Latihan Misal g = {(1,b), (2, c), (3, a), (4,b)} adalahfungsidari A = {1, 2, 3, 4} ke B = {a, b, c, d} dan f = {(a, x), (b, y), (c, w), (d, z)} adalahfungsidarihimpunan B ke C = {w, x, y, z}. Pertanyaan: Tentukan f o g sebagaihimpunanpasanganterurut Apakah f o g merupakanfungsiinjektif, surjektif ataubijektif Penyelesaian:

  33. B C A a b c d w x y z 1 2 3 4 ▸ ▸ f o g = {(1,y), (2, w), (3, x), (4, y)} Bukanfungsiinjektif (satukesatu), karenaada nilaiy yang berulang Bukanfungsi “pada” atau “onto” atausurjektif, Karenaadaanggota C yang tidaktermasukdalam f o g Karenasyaratbijektiftidakterpenuhi, maka f o g bukanfungsibijektif ▸ ▸ ▸ ▸ ▸ ▸

  34. Latihan Tentukan, apakah f merupakanfungsidari Z ke R? a. f (n) =  n

More Related