1 / 31

FUNGSI (LANJUTAN 5)

FUNGSI (LANJUTAN 5). Hukum sinus Untuk membuktikan hukum sinus perhatikan Gambar 2.29 berikut. C. . a. b. E. k. h. . . B. A. D. c. Gambar 3.29.  BDC  sin = h/a  h = a sin  (*).  ADC  sin = h/b  h = b sin  (**). BDC  sin  = k/b  k = b sin (#).

cyrah
Download Presentation

FUNGSI (LANJUTAN 5)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. FUNGSI • (LANJUTAN 5)

  2. Hukum sinus Untukmembuktikanhukum sinus perhatikanGambar 2.29 berikut. C  a b E k h   B A D c Gambar 3.29

  3.  BDC  sin = h/a  h = a sin  (*)  ADC  sin = h/b  h = b sin  (**) • BDC  sin  = k/b  k = b sin (#) (***) (###) Dari (*) dan (**)  a sin = b sin  Dari (#) dan (##)  b sin = c sin • AEB  sin  = k/c  k = c sin  (##) sin sin sin   = = b b b sin sin sin sin a c a c Dari (***) dan (####) didapat = = (3.49) Persamaan 3.49 disebutHukum Sinus

  4. I. Hukumcosinus UntukmembuktikanhukumcosinusperhatikanGambar 2.30 berikut. C  a b E k h   B A D c Gambar 3.30

  5.  h = b sin  sin = h/b PerhatikanADC PerhatikanBDC b2 + c2 – a2 (CD)2 = (BC)2 – (BD)2 2bc = (BC)2 – (AB – AD)2 h2 = a2 – (c – b cos)2 b2 sin2  = a2 – c2 + 2bc cos – b2 cos2  b2 sin2  + b2 cos2  = a2 – c2 + 2bc cos b2 (sin2  + cos2 ) = a2 – c2 + 2bc cos b2 = a2 – c2 + 2bc cos Sehingga, a2 = b2 + c2 – 2bc cos ataucos  = (3.50)

  6.  h = a sin  sin = h/a PerhatikanBDC PerhatikanADC a2 + c2 – b2 (CD)2 = (AC)2 – (AD)2 2ac = (AC)2 – (AB – BD)2 h2 = b2 – (c – b cos  )2 a2 sin2  = b2 – c2 + 2ac cos  – a2 cos2  a2 sin2  + a2 cos2  = b2 – c2 + 2ac cos  a2 (sin2  + cos2 ) = b2 – c2 + 2ac cos  a2 = b2 – c2 + 2ac cos  Sehingga, b2 = a2 + c2 – 2ac cos  ataucos  = (3.51)

  7.  k = b sin   sin = k/b PerhatikanAEC PerhatikanAEB a2 + b2 – c2 (AE)2 = (AB)2 – (BE)2 2ab = (AB)2 – (BC – CE)2 k2 = c2 – (a – b cos )2 b2 sin2  = c2 – a2 + 2ab cos  – b2 cos2  b2 sin2  + b2 cos2  = c2 – a2 + 2ab cos  b2 (sin2  + cos2 ) = c2 – a2 + 2ab cos  b2 = c2 – a2 + 2ab cos  Sehingga, b2 = c2 – a2 + 2ab cos  ataucos  = (3.52) Persamaan 3.50 s.d. 3.52 disebutHukumCosinus

  8. 3.2.7.4 Fungsitrigonometriinvers Kita telahmengetahuibahwasuatufungsiakan mempunyaiinversjikafungsitersebutadalah fungsisatukesatu, yaitufungsi yang mempunyai nilaitunggaluntuksetiap domain. Sebagaicontoh f(x) = x3 + 1 adalahfungsisatu kesatukarenauntuksetiapharga x yang tunggal akanmenghasilkan f(x) yang tunggal pula. Sehinggadikatakanbahwa, f(x) = x3 + 1 mempunyai invers. Akantetapi f(x) = x2bukanlahfungsisatukesatu karenauntukduaharga x yang berbedaakan menghasilkanharga f(x) yang tunggal. Sehinggadikatakanbahwa f(x) = x2tidakmempunyai invers.

  9. Fungsi-fungsitrigonometriadalahfungsi-fungsi yang tidaktermasukdalamgolonganfungsisatukesatu. Sebagaicontoh f(x) = sin x. Untukharga x = 0, x =  dan x = 2akanmenghasilkanharga yang samayaitu 0. Akantetapijikakitabatasi domain fungsitrigonometri makakitadapatmembuatfungsitrigonometrimenjadi fungsisatukesatu. Jadi f(x) = sinxadalahfungsisatukesatujika - < x < . Begitujugadenganfungsi-fungsitrigonometrilainnya.

  10. Definisi-definisi : i) Fungsi sinus invers (ditulis sin-1atauarcsin) didefinisikan sebagai, y = sin-1 x  x = sin y , untuk -1  x  1 dan -/2  y /2. ii) Fungsi sinus invers (ditulis cos-1atauarccos) didefinisikan sebagai , y = cos-1 x  x = cos y , untuk -1  x  1 dan 0  y . iii) Fungsi tangent invers (ditulis tan-1atauarctan) didefinisikan sebagai, y = tan-1 x  x = tan y , untuksetiapharga x dan -/2  y /2 iv) Fungsi cotangent invers (ditulis cot-1atauarccot) didefinisikan sebagai ,y = cot-1 x  x = cot y , untuksetiapharga x dan 0  y .

  11. Definisi-definisi : v) Fungsi secant invers (ditulis sec-1atauarcsec) didefinisikan sebagai ,y = sec-1 x  x = sec y , untuksetiapharga x 1 dan 0  y , kecuali y = /2 vi) Fungsi cosecant invers (ditulis cosec-1atauarccosec) didefinisikansebagai y = cosec-1 x  x = cosec y , untuksetiaphargax 1 dan 0 y/2

  12. y 1 1  2 2 –1 x O 1 • Grafik sin-1 x – 

  13. y 1 2   x O 1 –1 • Grafik cos-1 x

  14. Sifat-sifatfungsitrigonometriinvers • arcsin(sinx) = x untuk -/2  x /2 sin(arcsinx) = x untuk 1  x  1 • arccos(cosx) = x untuk 0  x  cos(arccosx) = x untuk -1  x  1 • arctan(tanx) = x untuk -/2  x /2 tan(arctanx) = x untuksemuaharga x

  15. Contoh 3.37 • Tentukanharga y jika,   1 1 1 1 1 untuk x  • a) y = sin-1 ( √ 2 2 2 2 2 4 4 1 • Penyelesaian 1 ) • b) y = sin-1 (- √ untuk x  2 2 2 1 1 1 • a) y = sin-1 ( √  siny = √ ) ) 2 2 2. 2 2 2 Jadi y = Jadi y = - –  –   –  • b) y = sin-1 (- √) 2 •  siny = √ 2.

  16. y 1 1 1 1  4 4 2 2 • - √ • √  –1 x 1 1 2 2 O 1 2 2 –  – 

  17. 3.2.7.5 Fungsihiperbolik • A. Definisi Fungsihiperbolikadalahfungsi yang mempunyaisifat yang serupadenganfungsitrigonometri. Keserupaan antarakeduafungsitersebutdapatdilihatdaridefinisi yang diberikanberikutini. sinh x = (3.53a) ex – e-x ex + e-x 2 2 cosh x = (3.53b) ex – e-x ex – e-x coth x = (3.53d) tanh x = (3.53c) ex+e-x ex+e-x

  18. 2 2 sech x = (3.53e) csch x = (3.53f) ex + e-x ex – e-x B. Identitashiperbolik Dari persamaan 2.53a dan b didapat: 2 e2x –2+ e-2x ex – e-x sinh2 x = = 2 4 e2x +2+ e-2x 2 ex + e-x cosh2 x = = 4 2 e2x +2+ e-2x e2x –2+ e-2x cosh2 x – sinh2 x = cosh2 x – sinh2 x = 1 (3.54) 4 4

  19. Bagipersamaan 3.54 dengan cosh2x, didapat 1 – tanh2 x = sech2 x (3.55) Bagipersamaan 3.54 dengan sinh2x, didapat coth2 x – 1= cosech2 x (3.56) 3.2.7.6 Fungsihiperbolikinvers Padadefinisisebelumnyatelahdiketahuibahwafungsi hiperbolikdefinisikandalambentukfungsieksponen. Hal iniberartibahwafungsihiperbolikinversdapat ditulisdalambentuklogaritma natural.

  20. Teorema-teorema • Bukti 2x – ey + e-y = 0  kalikansemuaruasdenganey , didapat x2 +1 ey – e-y x2 +1 x2 +1 x2 +1 2x ey – e2y + 1 = 0 atau e2y – 2x ey– 1 = 0  2    sinh-1 x = ln(x + ) (3.57) Denganmenggunakan pers. kuadrat x + x –  4x2 +4 2x  y = sinh-1 x  x = sinh y = ey = = x  Berartieymempunyaiduanilai, yaitu: 2 atau

  21. Perludiperhatikanbahwa, Dari duafaktadiatas, kitadapatmenyimpulkanbahwa  1+ x x2 +1  Nilaieydanselalupositifuntuksembarangnilai x  Nilai x2 + 1 selalulebihbesardari x untuksembarangnilai x ln tanh-1 x = , |x| < 1 (3.59) 1 – x 1   cosh-1 x =  ln(x + ) , x  1 ; y  0 (3.58) cosh-1 x =  ln(x + ) , x  1 ; y  0 (3.58) x2 + 1 2 ey = x + (terbukti) x2 –1 x2 –1  

  22. 1+ x 1+ x2  cosech-1 x = ln , x > 0 (3.61) 1+ x ln coth-1 x = , |x| > 1 (3.60) 1 – x 1 2  1– x2 1+ x sech-1 x = ln , 0 > x  0 (3.61)

  23. 3.2.7.7 Fungsigenapdanganjil Suatufungsidikatakanfungsigenapjikamemenuhi : f(x) = f(–x) ( 3.63 ) Dikatakanganjiljikamemenuhi: f(–x) = –f(x) (3.64 ) Jikasuatufungsitidakmemenuhipersamaan 3.63 dan 3.64 makapersamaantersebutbukanmerupakanfungsigenap atauganjil.

  24. Contoh 3.38 Diketahui • f(x) = x3 ii) f(x) = x2 + 3 iii) f(x) = x – 2 Tentukanapakahfungsitsb. termasukfungsigenap, ganjil atautidakkeduanya? Penyelesaian i) f(x) = x3 f(-x) =(–x)3 = –x3 = –f(x) Karena f(–x) = –f(x), maka x3adalahfungsiganjil. • ii) f(x) = x2 + 3  f(–x) = (–x)2 + 3 = x2 + 3 = f(x) Karena f(–x) = f(x), maka x2 + 3 adalahfungsigenap. • iii) f(x) = x – 2  f(–x) = –x – 2 = – (x+2) Karena f(x)  f(–x)  –f(x), maka x – 2 bukanfungsigenap atauganjil.

  25. Misalterdapatsebuahfungsi f(x) sedemikianrupasehingga, f(x) = g(x) . h(x) (*) atau f(–x) = g(–x) . h(–x) (**) Jika g(x) dan h(x) adalahfungsiganjil, makaberlaku g(–x)=–g(x) dan h(–x)=–h(x). Denganmelakukansubstitusi ke (**) didapat, • f(–x) = g(x) . h(x) (***) • Substitusi (*) ke (***) didapat ,: f(-x) = f(x) Kesimpulan Perkalianfungsiganjildenganfungsiganjilmenghasilkanfungsigenap

  26. Misalterdapatsebuahfungsi f(x) sedemikianrupasehingga, f(x) = g(x) . h(x) (*) atau f(–x) = g(–x) . h(–x) (**) • Jika g(x) dan h(x) adalahfungsigenap, makaberlaku • g(–x) = g(x) dan h(–x)= h(x). Denganmelakukan • substitusike (**) didapat, f(–x) = g(x) . h(x) (***) • Substitusi (*) ke (***) didapat : f(–x) = f(x) Kesimpulan Perkalianfungsigenapdenganfungsigenapmenghasilkan fungsigenap

  27. Misalterdapatsebuahfungsi f(x) sedemikianrupasehingga : f(x) = g(x) . h(x) ( * ) atau f(–x) = g(–x) . h(–x) ( ** ) • Jika g(x) adalahfungsigenapdan h(x) adalahfungsiganjilatausebaliknyamakaberlaku g(–x) = g(x) dan h(–x) = –h(x). • Denganmelakukansubstitusike (**) didapat, • f(-x) = g(x) .{ –h(x)} = –{g(x) . h(x)}. • Selanjutnyadenganmensubstitusi (*) ke (***) didapat, • f(-x) = - f(x). Kesimpulan Perkalianfungsigenapdenganfungsiganjilatausebaliknyamenghasilkanfungsiganjil

  28. 3.2.9 FungsiPeriodik Suatufungsi f(x) disebutfungsieriodikjikafungsitersebut terdefinisiuntuksemuaharga x danterdapatbilangan positifsedemikianrupasehingga , f( x + p ) = f ( x ) ( 3.64 ) • dimana p adalahperiodepositifterkecildarifungsi f(x). Fungsi-fungsi yang termasukfungsiperiodikdiantaranya fungsi sinus dancosinus. Sedangkanfungsi-fungsi x, x2, x3, exdanln x tidaktermasuk fungsiperiodikkarenatidakmemenuhipersamaan 3.64. • Denganmengacupadapersamaan 3.64 kitadapatkanbahwa : • f(x+2p) = f{(x+p)+p} = f(x+p) = f(x) • f(x+3p) = f{(x+2p)+p} = f(x+2p) = f(x)

  29. y x 0 p Denganmengacupadapersamaan 3.64 kitadapatkanbahwa : f(x+2p) = f{(x+p)+p} = f(x+p) = f(x) f(x+3p) = f{(x+2p)+p} = f(x+2p) = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f(x+np) = f(x) ; n = 1, 2, 3, . . . . . . . ( 3.65 ) Gambar 3.34 Grafikfungsipriodik

  30. Misalterdapatduabuahfungsi g(x) dan h(x). Jikafungsi f(x) adalahfungsi yang didefinisikanoleh : f(x) = ag(x) + bh(x), dimana a dan b adalahkonstanta, makaberlaku : (x+p) = ag(x+p) + bh(x+p) ( 3.66 ) Jadidapatdisimpulkan ; jika g(x) + h(x) mempunyaiperiode p, makaf(x) jugamempunyaiperiode p. • Contoh 3.39 • Tentukanperiodedari f(x) = sin x • Penyelesaian • sin (x+p) = sin x • sin x cos p + cos x sin p = sin x didapat p = 2

More Related