UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: FISICA II

1. UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: FISICA II ELASTICIDAD: DEFORMACIONES AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ - PERÚ 2010 OptacianoVasquez

2. I. OBJETIVOS • Comprender el concepto de deformación angular y cortante. • Comprender el uso de figura deformadas para calcular deformaciones a partir de desplazamientos • Resolver ejercicios y problemas sobre la unidad

3. II.INTRODUCCIÓN • La explosión del transbordador Challenger el 28 de enero de 1966, se le atribuyo a la fuga de combustible en el arosello más próximo a la base del cohete sólido auxiliar. Ello se debió al cambio dimensional, la separación en la unión excedió el valor del diseño permisible, lo que causo el escape del gas combustible.

4. II. INTRODUCCIÓN • La presencia de esfuerzos excesivos en materiales frágiles como el estribo de concreto generan deformaciones que terminan fracturando la estructura. • Por medio de mediciones de la deformación unitaria, los ingenieros pueden predecir el esfuerzo en el material. • En esta sección analizaremos la naturaleza general de la deformación y como se determina en elementos cargados.

5. III. DEFORMACIÓN • Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, ésta tiende a cambiar de forma y tamaño al cuerpo. • A estos cambios se le llama deformación. • Esta puede ser visible o prácticamente inadvertible si no se usa los equipos adecuados para detectarlos. • En una banda de hule las deformaciones son visibles mientras que en una estructura las deformaciones son pequeñas.

6. III. DEFORMACIÓN: Desplazamiento • El desplazamiento es una magnitud vectorial que permite medir el movimiento de una partícula. Por tanto, las partículas adyacentes de un cuerpo deformable pueden desplazarse entre sí cuando se aplican fuerzas sobre él. En la figura se muestra la forma como ocurre la deformación.

7. III. DEFORMACIÓN: Desplazamiento • Las tres partículas A, B y C antes de la aplicación de fuerzas están localizadas en el cuerpo como se ve en la figura. Después de la aplicación de las fuerzas externas el cuerpo se deforma cambiando de posición y por tanto las nuevas posiciones de las partículas son A’, B’ y C’. El desplazamiento de la partícula A viene descrito por el vector u(A). La diferencia entre las longitudes y las orientaciones relativas de las dos líneas en el cuerpo son consecuencia de los desplazamientos causados por la deformación.

8. III. DEFORMACIÓN: Desplazamiento • La deformación de un cuerpo puede ocurrir por dilatación (cambio de volumen) o por distorsión (cambio de forma) • Consideremos un cuerpo sólido en un sistema de referencia fijo x,y,z con un desplazamiento de uno de sus puntos Q hacia Q’. • Las componentes del desplazamiento son u, v y w. • El desplazamiento es función de la distancia u = f(x, y, z) y para sólidos elásticos y pequeñas deformaciones, ui es función lineal de la posición de xi

9. IV. DEFORMACIÓN UNITARIA • Llamase deformación unitaria al alargamiento o contracción de un segmento de línea por unidad de longitud. • Considere la línea AB contenido dentro del cuerpo no deformado en la figura dirigida en la dirección n y de longitud s. • Después de la deformación los puntos A y B se desplazan a A’ y B’ y la línea se convierte en curva de longitud s’. • La deformación unitaria promedio será DEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL

10. IV. DEFORMACIÓN UNITARIA • A medida que el punto B se escoge cada vez más cercano al puno A, la longitud de la línea se vuelve cada vez más corta, de tal modo que s 0 . De igual forma B’ se aproxima aA’ de modo que s’0. • Por lo tanto, la deformación unitaria normal en el punto A es la dirección n está dada por DEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL

11. IV. DEFORMACIÓN UNITARIA • En algunos casos se conoce la deformación unitaria normal, por lo que se desea determinar la longitud final del segmento corto en la dirección n para ello se usa la relación • Por tanto cuando ε es positiva, la línea inicial se alargará, mientras que si ε es negativa la línea se acortará. • Debido a que la deformación unitaria es el cambio de longitud por unidad de longitud, entonces ella será una cantidad adimensional. Por la pequeñez de esta cantidad, la deformación unitaria normal en el SI se expresa como (μm/m). DEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL

12. IV. DEFORMACIÓN UNITARIA • Al dilatarse el globo de la figura, la longitud de la línea sobre la superficie aumenta de Lo a Lf. • La deformación unitaria normal media se define como la razón entre el cambio de longitud y la longitud original. Es decir. • Cuando Lf > Lo la deformación unitaria es positiviva y si Lf < Lo la deformacion unitaria es negativa. DEFORMACIÓN UNITARIA NORMAL PROMEDIO

13. IV. DEFORMACIÓN UNITARIA DEFORMACIÓN UNITARIA EN UNA DIMENSIÓN • Consideremos ahora el caso en el cual los desplazamientos están en una sola recta. • En la figura los puntos A y B se encuentran sobre el eje x y se mueven a A1 y B1, respectivamente. Las coordenadas de los puntos A y B cambian de xA y xB a xA + uA y xB + uB. Entonces la deformación unitaria será

14. Fig. 2.1 Fig. 2.3 Fig. 2.4 DEFROMACIÓN NORMAL BAJO CARGA AXIAL

15. DEFORMACION UNITARIA EN UN PUNTO DE UN CUERPO SOMETIDO A CARGA AXIAL • Consideremos una deformación simple, en la que la distancia AB cambia de AB a A’B’. • El desplazamiento u en una dimensión es función de x • La deformación normal será

16. DEFORMACION UNITARIA EN UN CUERPO DE SECCION VARIABLE SOMETIDO A CARGA AXIAL • Por otro lado, cuando la sección del elemento sometido a cargas externas es de sección variable como se muestra en la figura, el esfuerzo normal varía a lo largo del elemento por ello es necesario definir la deformación en cierto punto Q considerando un pequeño elemento de longitud no deformado como se ve en la figura • Si  es el alargamiento del pequeño elemento bajo la carga exterior dada, la deformación unitaria en estas condiciones será

17. DEFORMACION UNITARIA ANGULAR O CORTANTE • La deformación unitaria angular se define como el cambio en el ángulo que ocurre entre dos segmentos de línea inicialmente perpendiculares. Este ángulo se denota por  y su valor se mide en radianes. Para mostrar esto consideremos dos segmentos de línea AB y AC a lo largo de los ejes perpendiculares n y t como se muestra en la figura. Después de la deformación las líneas rectas AB y AC se vuelven curvas y el ángulo entre ellas es θ’

18. DEFORMACION UNITARIA ANGULAR O CORTANTE • Debe observarse que si θ’ es menor que 90º, la deformación angular es positiva por el contrario si θ’ es mayor de 90º la deformación angular es negativa.

19. DEFORMACION UNITARIA ANGULAR O CORTANTE • Cuando un cuerpo es sometido a una fuerza cortante Fs tal como se muestra en la figura, el cuerpo cambia su forma de rectangular a romboidal. Si uno de los lados se mantiene fijo el lado superior experimenta un desplazamiento δs • La deformación angular promedio es

20. ANALISIS DE DEFORMACIONES UNITARIAS PEQUEÑAS • En muchos problemas ingenieriles, un cuerpo solo experimenta pequeños cambios en sus dimensiones. La aproximación de pequeñas deformaciones simplifica en alto grado la solución de tales problemas. El la figura se muestra un ejemplo de cómo evaluar la deformación. • La fuerza que actúa sobre la barra provoca que el punto P se mueva en una cantidad D en un ángulo θ referido a la dirección de la barra.

21. ANALISIS DE DEFORMACIONES UNITARIAS PEQUEÑAS • La ley de los cosenos aplicada al triángulo nos permite determinar Lf, esto es • Usando la definición de deformación unitaria se tiene

22. ANALISIS DE DEFORMACIONES UNITARIAS PEQUEÑAS • Si se considera de que D << L0, en este caso se desprecia el término cuyo exponente es 2 y si se usa el binomio de Newton se obtiene • Simplificando la ecuación anterior se obtiene

23. EJEMPLO 01 • La viga rígida es soportada por un pasador en A y los alambres BD y CE. (a) Si la aplicación de la carga P produce un desplazamiento de 10 mm hacia abajo, determine la deformación normal e los alambres CD y DE. (b) si la máxima deformación normal en cada alambre es 0,02. Determine el máximo desplazamiento vertical de la carga P.

24. Solución 01 • Por semejanza de triángulos • Definición de deformación unitaria

25. Solución 01 • Usando ambos elementos alcanzan la deformación máxima se tiene • Como 1 > 2; el elemento BD falla primero, entonces es el elemento CE el que controla la deformación

26. EJEMPLO 02 • Los desplazamientos en la dirección x de las placas rígidas debido a set de fuerzas aplicadas esta dado por: Determine las deformaciones axiales en las barras AB, BC y CD

27. SOLUCIÓN 02 • Las deformaciones en cada uno de los elementos se determina en la forma

28. EJEMPLO 03 • Una barra de ebonita se fija a una barra rígida, la cual se mueve hacia la derecha cuando se le aplica la carga mostrada en la figura. Determine la deformación angular promedio en el punto A

29. SOLUCIÓN 03 • El punto B se mueve al punto B1, como se muestra en la figura: Entonces se tiene

30. EJEMPLO 04 • Dos barras están unidas a un rodillo que se desliza en una ranura, como se muestra en la figura. Determine la deformación en la barra AP: (a) mediante el cálculo de la longitud deformada de AP sin aproximaciones a pequeñas deformaciones, (b) usando deformaciones pequeñas y (c) usando el método vectorial.

31. SOLUCIÓN 04: Método I • Consider que P se mueve a P1, como se muestra en la figura. El ángulo APP1 es de 145°. Al aplicar la ley del coseno se tiene. • La deformación unitaria será

32. SOLUCIÓN 04: Método II • Se necesita la componente de PP1 en la dirección de AP. Luego de trazar una perpendicular de P1 a la línea en la dirección de AP se calcula en la forma siguiente • La eformación unitaria normal será. • O también se expresa como

33. SOLUCIÓN 04: Método III • Considere que los vectores unitarios en las direcciones x e y so i y j. Determinamos el vector unitario en la dirección de AP y el vector de cambio dimensional D. Es decir • La deformación en la dirección de AP será • La deformación unitaria será

34. EJEMPLO 05 • Antes de aplicar la carga P en el sistema de la figura, el espacio entre la placa rígida y la barra B es de 0,18 mm. Una vez aplicada la carga P, la deformación axial en la barra B es de -2500 m/m. Determine la deformación axial en la barra A

35. Solución 05 • Antes de aplicar la carga P en el sistema de la figura, el espacio entre la placa rígida y la barra B es de 0,18 mm. Una vez aplicada la carga P, la deformación axial en la barra B es de -2500 m/m. Determine la deformación axial en la barra A

36. Solución 05 • Teniendo en cuenta la deformación de la barra B, su cambio dimensional será • Los puntos D y E de la placa después de la carga se desplazan a D1 y E1 como se muestra en la figura

37. Solución 05 • Debido a que la aplicación de la carga produce un desplazamiento vertical de la placa. El desplazamiento de E será. • Como la placa rígida se mueve sin rotación se tiene • El desplazamiento de A es • La deformación unitaria será

38. EJEMPLO 06 • La placa es deformada y adquiere la forma mostrada con líneas punteadas en la figura. Si en esta configuración horizontal, las líneas horizontales sobre la placa permanecen horizontales. Determine: (a) la deformación unitaria normal promedio a lo largo del lado AC y BD y (b) la deformación unitaria cortante promedio de la placa relativa a los ejes x e y en A, B, C y D

39. Solución 06 • Las longitudes iniciales y finales de AC y BD

40. Solución 06 • Las deformaciones unitarias de AC y BD serán y las correspondientes deformaciones angulares serán

41. Ejemplo 07 • Parte del varillaje de mando de un avión consiste en un miembro rígido CBD y en un cable flexible AB. Si se aplica una fuerza al extremo D del miembro y ocasiona una rotación del elemento de  = 0,3 °deformación unitaria normal en el cable 0,0035 mm/mm. Determine el esfuerzo normal medio en el cable. Originalmente el cable no se encuentra estirado

42. SOLUCIÓN 07

43. Ejemplo 08 • La barra rígida CD de la figura es horizontal cuando no está sometida a carga, mientras que las barras A y B no están sujetas a deformación. Cuando se aplica la carga P, se encuentra que la deformación unitaria axial en la barra B es de 0,0015 pulg/pulg. Determine: (a) La deformación unitaria axial en la barra A y (b) La deformación unitaria axial en la barra A si hay un espacio libre de 0,005 pulg en la conexión entre las barras A y B.

44. Ejemplo 09 • Una barra rígida AD está sostenida por dos varillas, como se muestra en la Fig. No hay deformación unitaria en las barras verticales antes de aplicar la carga P. Después de aplicar la carga P, la deformación unitaria axial en la varilla BF es de 400 μm/m. Determine: (a) la deformación unitaria axial en la varilla CE; (b) la deformación unitaria axial en la varilla CE si hay un espacio libre de 0,25 mm en la conexión del seguro C antes de aplicar la carga.

45. Ejemplo 10 • La carga P produce una deformación unitaria axial en el poste de latón B de la figura de 0,0014 pulg/pulg. Determine: (a) La deformación unitaria axial en la varilla A de aleación de aluminio. (b) La deformación unitaria axial en la varilla A de aleación de aluminio si hay un espacio libre de 0,005 pulg en la conexión entre A y C, además del espacio libre de 0,009 pulg entre B y C.

46. Ejemplo 08 • La carga P produce una deformación unitaria axial en el poste de acero D de la figura de 0,0075 m/m. Determine: (a) La deformación unitaria axial en la varilla de aluminio C. (b) La deformación unitaria axial en la varilla C de aleación de aluminio si existe un espacio libre de 0,10 mm en la conexión en E, además del espacio libre de 0,09 mm en la conexión en E, además del espacio libre de 0,09 mm entre B y D antes de aplicar la carga P

47. UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO” FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL CURSO: FISICA II ELASTICIDAD: PROPIEDADES MECANICAS DE MATERIALES AUTOR: Mag. Optaciano L. Vásquez García HUARAZ - PERÚ 2010 OptacianoVasquez

48. I. OBJETIVOS • Comprender la descripción cualitativa y cuantitativa de las propiedades mecánicas de los materiales. • Aprender la lógica para relacionar el cambio dimensional con las fuerzas externas

49. II. INTRODUCCIÓN • Las propiedades mecánicas de los materiales deben conocerse para que los ingenieros puedan relacionar las deformaciones con los esfuerzos. • Para esto es necesario desarrollar ensayos como por ejemplo de tracción, de compresión, de torsión, de impacto, de flexión. • En esta sección se describirán los ensayos de tracción mostrando los diagramas esfuerzo deformación.

50. II. ENSAYOS DE TENSIÓN • La resistencia de un material depende de su capacidad para soportar carga sin deformación excesiva. • Esta propiedad inherente al material se determina experimentalmente. • Para evaluar la resistencia se han diseñado varios tipos de ensayos en la cual el material se somete a cargas estáticas, cargas cíclicas, de duración prolongada o producida por impulsos. • Cada una de las pruebas se encuentra estandarizada. • En Estados Unidos la ASTM ha publicado normas para llevar a cabo estos ensayos. • Una de las más importantes es el ENSAYO DE TENSIÓN