Istituto Professionale per l'Industria e l'Artigianato " Enrico Fermi"

Istituto Professionale per l'Industria e l'Artigianato " Enrico Fermi" Anno scolastico 2009 - 2010 Progetto Arte - Matematica Prof.ssa Girmenia R. classi I^C od. e I^B od.

Introduzione… Scienza, Arte e Tecnologia • Anticamente, scienza arte e tecnologia, non erano mai state separate. • Galileo Galilei, oltre ad essere un noto scienziato, fu anche un ottimo scrittore; egli, a differenza di altri scrittori dell’epoca che scrivevano in latino, utilizzava la lingua italiana. • Leon Battista Alberti, noto soprattutto come architetto, era anche un famoso poeta. • Ricordiamo inoltre Leonardo da Vinci, grande artista, letterato e scienziato.

La Simmetria Assiale • La simmetria assiale è una isometria ( Trasformazione che conserva le distanze). • Definizioni e proprietà • Disegniamo un quadrilatero su di un foglio di carta e sovrapponiamogli un foglio di carta trasparente ( Fig. 23 ) riportando su quest’ultimo il quadrilatero. Ribaltando la carta trasparente attorno al suo bordo, fino a sovrapporla al foglio di carta, si ottiene una nuova figura che è un quadrilatero, con la stessa forma e le stessa forma e le stesse dimensioni. Le due figure si corrispondono in una isometria a cui diamo il nome di simmetria assiale. Si dice simmetria assiale di asse r la corrispondenza che associa a un punto P il punto P in modo tale che la sia asse del segmento PP1 ( Fig. 24) • Possiamo osservare che ai punti della retta r corrispondono gli stessi punti della retta r, che sono quindi uniti nella simmetria assiale di asse la retta r. • Una simmetria assiale trasforma: • Una retta in una retta • Un segmento in un segmento uguale

Rette parallele in rette parallele Rette che si incontrano sull’asse in rette che si incontrano nello stesso punto dell’asse Rette che si incontrano in un punto P in rette che si incontrano in P1 che risulta il corrispondente di P nella simmetria Angoli in angoli di uguale ampiezza Rette perpendicolari in rette perpendicolari. La dimostrazione di queste proprietà verrà svolta mediante le equazioni della simmetria assiale in B. Una simmetria assiale conserva la distanza fra due punti. Una simmetria assiale trasforma angoli di uguali ampiezza. Una simmetria assiale trasforma rette perpendicolari in retti perpendicolari. P r P1

Se ha pertanto: • Un segmento ammette come asse di simmetria il suo asse ( Fig. 29 ) • Un angolo ammette come asse di simmetria la sua bisettrice ( Fig. 30 ) • Un triangolo scaleno non ha assi di simmetria ( Fig. 31 ) • Un triangolo isoscele ha una asse di simmetria che è la bisettrice dell’angolo al vertice ( Fig. 32 ) • Un triangolo equilatero ha tre assi di simmetria che sono le altezze relativi ai lati ( Fig. 33 ) • Una retta ammette come asse di simmetria qualsiasi retta ad essa perpendicolare ( Fig. 34) • Un parallelogramma non ha assi di simmetria ( Fig. 35 ) • Un trapezio isoscele ammette un asse di simmetria ed è la retta perpendicolare alle basi nei di mezzo ( Fig. 36 ) • Un rettangolo ha due asse di simmetria che sono le perpendicolari nei punti di mezzo dei lati opposti (Fig. 37 ) • Un rombo ammette due assi di simmetria e sono le sue diagonali ( Fig. 38 ) • Un quadrato ammette quattro assi di simmetria che sono le due diagonali e le perpendicolari nei punti di mezzo dei lati opposti ( Fig. 39 ) • Un poligono regolare ha sempre tanti assi di simmetria quanti sono i lati o i vertici; se il numero dei vertici è dispari sono le perpendicolari dai vertici ai lati opposti, se invece, il numero dei vertici è pari sono le congiungenti i vertici opposti ( Fig. 40 ) • Una circonferenza ( o un cerchio ) ha infiniti assi di simmetria che sono i diametri ( Fig. 41 ) • Una corona circolare ha infiniti assi di simmetria che sono i suoi diametri ( Fig. 42 )

r B A Fig. 29 Fig 31 Fig. 30 Z r Fig. 33 Fig. 32 Fig. 34 Fig. 35 Fig. 36 Fig. 37

. Fig39 Fig. 40 Fig. 38 Fig. 40 Fig. 41 Fig. 42 Equazioni della simmetria assiale • Sappiamo dalla geometria analitica: • Due punti simmetrici rispetto all’asse delle ascisse hanno la stessa ascissa e ordinata opposta • Due punti simmetrici rispetto all’asse delle ordinate hanno ascissa opposto e la stessa ordinata • da questo segue che le equazioni della simmetria assiale sono: X1 = -x Y1= y ( 7.5.2 )

Rispetto all’asse delle ordinate: • X1 = -x • Y1= y • ( 7.5.2 ) Verifichiamo, mediante le equazioni ( 7.5.1 ) e ( 7.5.2. ) le proprietà enunciate in A. Una simmetria assiale trasforma rette in rette. In una simmetria assiale a due rette r ed s incidenti in un punto P corrispondono due rette r1 ed s1 incidenti nel punto P1 che risulta il traslato di P. Esempi di simmetria assiale Esempi di simmetria assiale si hanno quando si pone un oggetto di fronte a uno specchio piano. Si può notare come in una simmetria assiale, viene scambiato ( Fig. 25 ) il lato destro con il sinistro. Gli animali, i fiori, le autovetture ( Fig. 26 ) presentano spesso assi di simmetria. Alcune lettere maiuscole dell’alfabeto presentano una simmetria assiale: la E ha come asse di simmetria la retta indicata nella ( Fig. 27 ). È frequente osservare in opere artistiche simmetrie assiali, ne proponiamo alcuni esempi nella fotografia. Assi di simmetria di una figura Si dice che una figura possiede un asse di simmetria r se tutti i suoi punti si corrispondono a due a due nella simmetria che ha per asse la retta t.

Simmetria centrale Dati due punti A e A1 ed un punto O ( Fig. 43 ) la corrispondenza che associa A ad A1 in modo che AO = A1O è detta simmetria centrale. La corrispondente di una figura in una simmetria centrale di centro O è la figura ottenuta determino i corrispondenti di tutti i suoi punti nella simmetria che ha per centro il punto O ( Fig. 44 ). Fig 43

Poiché la figura ottenuta è uguale alla figura data, la corrispondenza è un isometria. Si dice simmetria centrale di centro O la corrispondenza che associa a un punto P il punto P in modo tale che O sia il punto medio del segmento PP1. Nella simmetria centrale: Il centro è l’unico punto unito Le rette per il centro sono unite. Una simmetria centrale trasforma: Una retta in una retta Un segmento in un segmento uguale Rette parallele in rette parallele Rette che si incontrano in un punto P in rette che si incontrano in punto P1, che è il corrispondente nella simmetria centrale del punto P Angoli in angoli di uguali ampiezza Rette perpendicolari in rette perpendicolari. La dimostrazione di queste proprietà verrà svolta mediante le equazioni della simmetria centrale in A.

Centri di simmetria di una figura • Si dice che una figura possiede un centro di simmetria O se tutti i suoi punti si corrispondono a due a due nella simmetria che ha per centro il punto O. • Si ha pertanto: • Un segmento ammette come centro di simmetria il suo punto medio ( Fig. 49 ) • Una retta ammette come centro di simmetria un qualunque suo punto ( Fig. 50 ) • Un angolo non mette nessun centro di simmetria • Un triangolo non ammette nessun centro di simmetria • Un parallelogrammo ammette un centro di simmetria ( Teorema T.3.14 ) • Un trapezio non ammette nessun centro di simmetria • Un rombo ha un centro di simmetria che è il punto di intersezione delle diagonali ( Fig. 51 ) • Un rettangolo ammette come centro di simmetria il punto di intersezione dei due assi di simmetria ( Fig. 52 ) • Un quadrato ammette un centro di simmetria che il punto di intersezione delle diagonali e degli assi delle coppie di lati opposti ( Fig. 53 ) • Un poligono con un numero dispari di vertici non ammette centro di simmetria ( Fig. 54 ) • Un poligono regolare con un numero pari di vertici, ha come centro di simmetria il punto di intersezione dei suoi assi di simmetria ( Fig. 55 ) • Una circonferenza ( o un cerchio ) ha come centro di simmetria il suo centro ( Fig. 56 ) • Una corona circolare ha come centro di simmetria il centro comune alle due circonferenze che la delimitano ( Fig. 57 ). • In una simmetria centrale una retta r non passante per il centro di simmetria è trasformata in una retta r1 parallela alla r. • In una simmetria centrale ad una r passante per il centro di simmetria corrispondente la retta stessa.

fig. 49 fig. 52 fig. 51 fig. 50 fig. 53 fig. 54 fig. 55 fig. 56 fig. 57

Equazioni delle simmetria centrale Sono dati nel piano cartesiano ortogonale 0xy due punti A( x;y ) e A1( x1 y 1) ( Fig. 45 ) che si corrispondono in una simmetria centrale di centro O. Possiamo determinare il punto corrispondente di A nella simmetria assiale di asse l’asse delle ascisse e lo denotiamo con S; applicando alle coordinate di A le equazioni ( 7.5.1) si ottiene S(x; -y). Consideriamo il punto A1 corrispondente, nella simmetria assiale di asse l’asse delle ordinate, di S; applicando alle coordinate di S le equazioni ( 7.5.2 ) si ha A1 ( -x; -y ). Si può allora affermare che le equazioni della simmetria centrale sono: X1 = -x Y1= - y ( 7.6.1 ) Ovvero : • x = - X1 • y = - Y1 ( 7.6.2 ) • Viene lasciata esercizio la dimostrazione dei seguenti Teoremi, in analogia a quanto fatto nel paragrafo 7.5 punto B. • T. 7.12 una simmetria centrale trasforma rette. • T. 7. 13 in una simmetria centrale a rette parallele corrispondono rette parallele. • T. 7.14 in una simmetria centrale a due rette r ed s incidenti in un punto P corrispondono due r1 ed s1 incidenti nel punto P1 che risulta il simmetrico di P nella simmetria centrale. • T. 7.15 una simmetria centrale conserva la distanza fra due punti. • Da questo Teorema deriva che la simmetria centrale è una isometria in quanto conserva le distanze. • T. 7. 16 una simmetria centrale trasforma angoli in angoli di uguale ampiezza. • La dimostrazione di questo Teorema richiede conoscenze di trigonometria, pertanto non verrà svolta in questa sede. Dal Teorema T. 7. 16 segue il Corollario: • C. 7.3 una simmetria centrale trasforma rette perpendicolari in rette perpendicolari.

Due esempi di simmetria 1 Le simmetrie del triangolo equilatero • Il triangolo equilatero è una figura dotata di simmetria. Cosa significa questa affermazione? In cosa consiste la sua simmetria? • Consideriamo un triangolo equilatero in un piano. Nella figura 1 sono disegnate gli assi di simmetria del triangolo, che sono le rette r, s, t, ed il centro di simmetria del triangolo, che è il punto B. La proprietà del triangolo equilatero di avere 3 assi di simmetria ed 1 centro di simmetria non è comune a tutte le figure del piano. • Quanti assi di simmetria e quanti centri di simmetria possiedono un triangolo isoscele, un triangolo scaleno, un quadrato, un rettangolo, un cerchio, una retta del piano? • Cosa significa che la retta r è un asse di simmetria del triangolo equilatero della figura 1? Possiamo rispondere dicendo che per ogni punto P del triangolo, se indichiamo con P1 il punto del piano simmetrico a P rispetto alla retta r, allora P1 appartiene al triangolo. In modo equivalente, possiamo interpretare la legge che ad ogni punto P del piano associa il suo simmetrico P1 rispetto a r come un movimento rigido del piano in sé, ossia un movimento che conserva le distanze. Chiamiamo questa movimento rigido la riflessione rispetto alla retta r, ed r il suo asse. La riflessione rispetto ad una retta determina il suo asse, e viceversa. Concludiamo allora che gli assi di simmetria – del triangolo equilatero, ed in generale di ogni figura del piano – sono gli assi delle riflessioni che mandano in sé la figura data.

______________________________ ( 1 ) ciò significa chese P appartiene a r allora P1= P, mentre se P non appartiene a r allora il segmento PP1 è ortogonale a r ed interseca r nel suo punto medio. • Figura 1: Assi e centro di simmetrie di un triangolo equilatero • In modo analogo ci possiamo chiedere cosa significhi che il punto B è un centro di simmetria del triangolo equilatero. Una risposta può essere che la rotazione del piano di centro B dell’angolo di 2П/3 radiante ( 180° ) in senso ( per esempio ) orario manda in sé il triangolo. Anche una rotazione di un piano rispetto ad un suo punto è un movimento rigido, poiché conserva le distanze tra i punti. Possiamo in conclusione definire simmetriche del triangolo equilatero tutti i movimenti rigidi – riflessioni e rotazioni – che lo mandano in sé ( 2 ). • Realizziamo ora concretamente le simmetrie del triangolo equilatero. Ritagliamo i due triangoli della parte superiore della figura 2, incolliamoli lungo la faccia bianca in modo da formare un unico triangolo equilatero di carta, i cui 3 vertici di entrambe le faccia sono colorati di nero verde giallo. Appoggiamo il triangolo di carta sul triangolo disegnato nella parte inferiore della figura 2. Possiamo farlo in più modi. Se applichiamo una simmetria al triangolo appoggiato, otteniamo un nuovo modo di appoggiare il triangolo. Le simmetrie del triangolo equilatero trasformano il modo di appoggiare il triangolo di carta sul triangolo disegnato.

Quante sono le simmetrie del triangolo equilatero? Tante quanti i modi possibili di appoggiare il triangolo di carta sul triangolo disegnato. Questi modi sono determinati dalla posizione dei tre vertici. Nella parte superiore della figura 3 ritagliamo i tre dischi nero, verde e giallo. • _____________________ • 2 Si può dimostrare che ogni movimento rigido che manda in sé un triangolo equilatero è una rotazione oppure una riflessione. • Ogni posizione del triangolo di carta appoggiato corrisponde ad un modo di sovrapporre i 3 dischi colorati ai 3 dischi disegnati. In tutto vi sono 6 modi, quindi 6 simmetrie. Diciamo che il triangolo equilatero possiede una simmetrie di ordine 6. • Una delle 6 simmetrie del triangolo equilatero lascia inalterato il modo di appoggiare. Essa corrisponde al movimento rigido che lascia fermi tutti i punti. Chiamiamo questa simmetria identità. • Due simmetrie date ne generano una terza. Infatti se applichiamo al triangolo appoggiato nell’ordine la prima e poi la seconda, otteniamo una terza simmetria, che chiamiamo la composizione delle prime due. Questo fatto fa sì che l’insieme delle simmetrie abbia un suo ordine interno, che chiamiamo struttura. • È un fatto caratteristico della struttura delle simmetrie del triangolo equilatero che due di esse, opportunamente scelte, possano generare per mezzo di ripetute composizioni tutte le altre. • Consideriamo, per esempio, le due seguenti: • la riflessione rispetto alla retta r; • la rotazione di 120° in verso orario. • Nella figura 3 esse sono rispettivamente rappresentate da frecce blu e rose. • Disponiamo i 3 dischi colorati sui tre dischi disegnati della parte superiore della figura 3. Muovendole con le due simmetrie scelte, possiamo in modo concreto vedere come tutte le altre simmetrie vengano generate, secondo lo schema illustrato nella parte inferiore. • Completare la parte inferiore della figura 3 colorando di nero, verde, giallo, i 5 gruppi di 3 dischi, seguendo rosse e blu.

Chiamiamo la parte inferiore della figura 3 il grafo della simmetria del triangolo equilatero – relativo alla scelta delle simmetrie (1) e ( 2 ). Esso dà una rappresentazione visibile della struttura delle sue simmetrie. Per esempio, permette di vedere che se al triangolo equilatero di carta appoggiato ( oppure ai tre dischi colorati ) applichiamo nell’ordine • (1)la riflessione rispetto alla retta r • (2)la rotazione di 120° in verso orario • (1) la riflessione rispetto alla retta r • (2) la rotazione di 120° in verso orario • ritorniamo alla posizione che aveva prima dei quattro movimenti. • Vi sono altre sequenze delle due simmetrie (1) e ( 2 ) che facciano ritornare il triangolo appoggiato alla posizione iniziale? • Utilizzare il grafo per rispondere a queste domande: • Determinare una sequenza delle due simmetrie ( 1 ) e ( 2 ) che dia la riflessione rispetto all’asse s. Ve ne è una sola o più d’una? • Determinare una sequenza delle due simmetrie ( 1 ) e ( 2 ) che Allora è possibile ottenere tutte le 6 simmetrie del triangolo equilatero anche dia la riflessione rispetto all’asse t. Ve ne è una sola o più d’una? • Determinare una sequenza delle due simmetrie ( 1 ) e ( 2 ) che dia la rotazione di 120° in verso antiorario. Ve ne è una sola o più d’una? • Il grafo della simmetria dipende dalla scelta delle simmetrie con cui è possibile generare per composizione tutte le altre. Consideriamo la seguente: • ( 3 ) la riflessione rispetto alla retta t. • componendo opportunamente le simmetrie ( 1 ) e ( 3 ).

Per concludere, possiamo definire la simmetria del triangolo equilatero come l’insieme delle sue simmetrie, definite in 1.4 a loro volta a partire dagli assi e dal centro di simmetria. Abbiamo così dato una risposta alla domanda fatta in 1.1, e visto che la simmetria possiede una struttura. • Il disegno in figura 2 ha una simmetria di ordine 6 la cui struttura è diversa da quella della simmetria del triangolo equilatero. Infatti, è possibile • Quante simmetrie possiede in figura 2? e stabilire Figura 2: Determinare il grafo della simmetria del disegno 2. Le simmetrie del tetraedro regolare Analizziamo ora un caso di simmetria tridimensionale. Il tetraedro è il solido regolare delimitato da 4 triangoli equilateri aventi il lato della stessa lunghezza. Esso è uno dei 5 solidi regolari citati da Platone nel Timeo. Possiamo pensarlo come una generalizzazione tridimensionale del triangolo equilatero. Vogliamo studiare le sue simmetrie.

2.2 Analogamente a questo visto in 1.4, le simmetrie del tetraedro sono i movimenti rigidi dello spazio che lo mandano in sé. Questi movimenti rigidi sono rotazioni attorno a rette, dette assi di simmetria, passanti per il baricentro B del tetraedro ( 3 ). 2.3 Ritagliare ed incollare lo sviluppo della figura 4, ottenendo un tetraedro colorato. Utilizzarlo per rispondere alle seguenti domane. _______________________________ 3 Infatti, ciascuno di questi movimenti rigidi dovrà mandare B, che è equidistante dai 4 vertici, in un punto che verifica la stessa proprietà, quindi necessariamente in B stesso. Immaginiamo una palla che abbia B come centro. Ogni movimento rigido dovrà mandarla in sé. Possiamo allora convincerci che ogni movimento rigido deve essere una rotazione attorno ad una retta passante per B. Escludiamo le riflessioni perché vogliamo movimenti che si possano realizzare su oggetti “fisici” dello spazio senza distruggerli.

Figura 3: Ritagliare ed incollare il triangolo superiore ed appoggiarlo in vari modi su quello inferiore. Figura 4: Il grafo della simmetria del triangolo equilatero. Ritagliare i 3 dischi colorati ed appoggiarli sui 3 dischi disegnati nella parte superiore. Muovendoli, colorare, le 5 terne di dischi della parte inferiore.

Figura 5: Il grafo della simmetria del triangolo equilatero. Ritagliare i 3 dischi colorati ed appoggiarli sui 3 dischi disegnati nella parte superiore. Muovendoli, colorare, le 5 terne di dischi e disegnare le frecce rosse e blu mancanti. Quanti assi di simmetria possiede un tetraedro? Classificarli da un punto di vista geometrico in due tipi. Quali sono gli angoli delle rotazioni attorno agli assi che mandano in sé il tetraedro? Quante sono le simmetrie del tetraedro, inclusa l’identità?

2.4 Indichiamo con • r l’asse di simmetrie che passa per B e per il vertice comune alle faccia rossa, verde, gialla; • t l’asse di simmetrie che unisce i punti medi dello spigolo rosso-blu e dello spigolo verde-giallo. • Consideriamo le seguenti simmetrie • la rotazione di 120° attorno a r (4 ) • la rotazioni di 180° attorno a t. • Nella figura 5 le rotazioni ( 1 ) sono indicate da freccia rosse, mentre le rotazioni ( 2 ) sono date da freccia blu. • Utilizzare il tetraedro colorato, appoggiato sul triangolo della parte superiore della figura 5, per completare il grafo delle simmetrie del tetraedro della parte inferiore: • colorare 11 tetraedri; • disegnare le 3 coppie di frecce blu mancanti. • 2.5 Per il tetraedro si possono formulare domande analoghe a quelle di 1.10 e 1.11, che studiano la struttura della sua simmetria. • Determinare alcune sequenze delle simmetrie ( 1 ) e ( 2 ) che facciano ritornare il tetraedro appoggiato alla posizione iniziale. • Indichiamo con: • r1 l’asse di simmetria che passa per B e per il vertice comune alle facce blu, verde, gialla, orientato da B verso il vertice; • t1 l’asse di simmetria che unisce i punti medi dello spigolo rosso- verde e dello spigolo blu - giallo. • _________________________ • 4Se orientiamo r da B verso il vertice comune alle facce rossa, verde, gialla, la rotazione si intende che avvenga nel verso opposto a quello dato dall’avanzamento di una vite. • Determinare una sequenza delle due simmetrie ( 1 ) e ( 2 ) che dia la rotazione rispetto all’asse r1 di 120°. Ve ne è una sola o più d’una? • Determinare una sequenza delle due simmetrie (1) e ( 2 ) che dia la rotazione di 180° rispetto all’asse t1. Ve ne è una sola o più d’una?

Tetraedro Figura 6: Lo sviluppo del tetraedro. Ritagliare ed incollare Appoggiare Qui Il tetraedro

Figura 7: Il grafo delle simmetrie del tetraedro. Colorare, aiutare con il modello della parte superiore. Disegnare le frecce blu mancanti.

Istituto Professionale per l'Industria e l'Artigianato " Enrico Fermi"