1 / 16

Linjer

y 2. Δ y. φ. y 1. Δ x. Linjer. Hvis en partikkel beveger seg fra (x 1 ,y 1 ) til (x 2 ,y 2 ) er endringen Δ x = x 2 -x 1 og Δ y = y 2 -y 1. Stigningstallet m =. x 1. x 2. Linjer. Stigningstallet til ei linje Er hvor mye linja stiger pr enhet i lengderetningen eller

shino
Download Presentation

Linjer

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. y2 Δy φ y1 Δx Linjer Hvis en partikkel beveger seg fra (x1,y1) til (x2,y2) er endringen Δx = x2-x1 og Δy = y2-y1 Stigningstallet m = x1 x2

  2. Linjer Stigningstallet til ei linje Er hvor mye linja stiger pr enhet i lengderetningen eller Hvor mye y-verdien endrer seg pr enhet i x-retningen

  3. Linjer - Stigningstall Stigningstallet er positivt når linja peker oppover mot høyre m>0 Stigningstallet er negativt når linja peker oppover mot venstre m<0 m=0 Stigningstallet er null når linja er vannrett Stigningstallet er uendelig når linja er loddrett

  4. Linjer - 4 Parallelle linjer har samme stigningstall Når to linjer med stigningstall m1 og m2 står normalt eller vinkelrett på hverandre er m1*m2=-1 eller m1=-1/m2

  5. Linjer – likning for ei rett linje y (a,b) x=a 1. Vertikal linje x y 2. Horisontal linje (a,b) y=b x

  6. Linjer – likning for ei rett linje 2 Andre linjer x y=mx+b eller (x2,y2) (x1,y1) y-y1 =m(x-x1) hvor b y Generell likning Ax + By = C

  7. Linjer - eksempel Eksempel 6 Skriv likningen for linjen gjennom punktet (-1,2) som er parallell til linjen y = 3x-4 Likningen er på formen: y-y1 = m(x-x1) For den oppgitte likningen er m = 3. Når vår linje er parallell, betyr det at m = 3. y-y1 = m(x-x1)  y-2 = 3(x-(-1))  y-2 = 3(x+1)  y-2 = 3x+3 Y = 3x +5 Likningen for linjen normalt på den oppgitte linje blir: m1*m2=-1  3m2= -1  m2=-1/3 Likningen: y-2 = -1/3(x-(-1))  y-2 = -1/3(x+1) Y-2 = -1/3x-1/3  y = -1/3x +2-1/3=-1/3x+6/3-1/3 Y=-1/3x+5/3

  8. Linjer - likning Ex 8. Finn en formel for overgangen mellom Fahrenheit og Celsius grader som er lineær. Hva er 90oF og -5oC Formelen er på formen: F = m*C + b Vi vet: Frysepunkt for vann: F = 32 og C = 0 Kokepunkt for vann er F = 212 og C = 100 I: 32 = m*0 + b  b = 32 II: 212 = m*100 + b  212 = m*100 + 32 100m = 212-32 = 180  m=180/100 = 9/5 F = (9/5) C + 32 eller (9/5) C = F- 32  C = 5/9(F-32) 90oF er i Celsius: C = 5/9(90-32) = 32,2o -5oC er i Fahrenheit: F = 9/5(-5)+32 = 23o

  9. Funksjoner og grafer En funksjon er en boks som omgjør en verdi fra definisjonsområdet til en ny verdi i verdiområdet f VerdiområdetAvhengig variabel DefinisjonsområdetUavhengig variabel x er uavhengig variabel for y = f(x)y er avhengig variabel Definisjonsområdet til en funksjon er mengden av alle x-verdier hvor funksjonen har mening. Arealet av en sirkel er en funksjon av radien. A = f(r)Definisjonsområde: r > 0. Verdiområde: A > 0A(2) = πr2 = π22 = 4π

  10. Funksjoner og grafer Symmetrieven functions, partall funksjoner f(-x) = f(x) symmetri om y-aksenodd functions, odde funksjoner f(-x) = -f(x) symmetri om origo

  11. Sammensatte funksjoner Absoluttverdi: |x| = x når x > 0 og |x| = -x når x < 0|-2| = -(-2) = 2 Sammensatte funsjoner:y = f(x) når y er en funksjon av x Til hver x-verdi fås en y-verdif(g(x)) betyr at g(x) er en funksjon av x og at f er en funksjon av denne funksjonen.Til hver x-verdi fås en verdi g(x). Denne verdien settes inn i funksjonsuttrykket til f x g f g(x) f(g(x)) = f•g Finn f(g(x)) når g(x) = x2 og f(x) = x-7 Den ytre funksjonen er f(x). f(x) = x-7 f(g(x)) betyr at x i f(x) skal erstattes med funksjonen g(x) f(g(x)) = g(x)-7 = x2-7 -------- f(g(2)) = g(2)-7 = 22-7 = -3

  12. Sammensatte funksjoner Oppgave 38 f(x) = x-1 og g(x) = 1/(x+1) f(g(1/2)) = g(f(1/2)) = f(g(x)) = g(f(x)) = f(f(x)) =

  13. Inverse funksjoner En en til en funksjon er en funksjon som for en verdi i definisjons- området angir en og bare en verdi i verdiområdet eller omvendt det vil si f(a) er forskjellig fra f(b) når a og b er forskjellige tall. y=x2 y=√x En til en funksjon En en til en funksjon vil skjære en horisontal linje bare en gang. Dersom den skjærer en horisontal linje mer enn en gang er den ikke en en til en funksjon.

  14. Inverse funksjoner 2 En en til en funksjon har en verdi for hver verdi i definisjonsområdet. Dette vil si at for hver verdi i verdiområdet finnes kun et punkt i definisjonsområdet. For en en til en funksjon kan det lages en funksjon hvor verdiområdet til f blir definisjonsområdet til funksjonen g – og atdefinisjonsområdet til f blir verdiområdet til g.g kalles da den inverse funksjonen til f og benevnes g=f-1 Ved å lage en sammensatt funksjon av de to f og g fås x det vil si f•g = f(g(x)) = g(f(x)) = x Test: f(x) = 3x og g(x) = x/3  f(g(x)) = 3*x/3 = x og g(f(x))=3x/3=xMen: f(x) = x og g(x) = 1/x  f(g(x)) = 1/x forskjellig fra x

  15. Inverse funksjoner 3 Grafen til to inverse funksjoner er symmetrisk om linja y = x eller har vi en graf vil grafen til den inverse funksjonen bli speilet om linja y = x. Regel for å finne den inverse funksjonen 1. Løs likningen y = f(x) med hensyn på x 2. Bytt om y og x Eksempel: y = ½x + 1 2y = x + 2  x = 2y - 2 Løs med hensyn på x y = 2x – 2  f-1(x) = 2x - 2 Bytt om y og x Sjekk: f-1(f(x)) = 2(½ x +1) – 2 = x + 2 – 2 = X

  16. Inverse funksjoner 4 y = x2er ikke en en til en funksjon fordi det til samme y-verdi passer 2 x-verdier. Den har ikke en invers funksjon. y=x √x x2 Begrenses definisjonsområdet til x >= 0 blir bare høyre del av kurven med. y = x2 har da en invers funksjon. y=x2 √y = √x2 = |x| = x for x >= 0√y = xBytter om y = √x f(x) = x2 og f-1(x) = √x for x >= 0

More Related