Zeros Reais de Funções Reais

Zeros Reais de Funções Reais

Métodos iterativos - Zeros • Método da Bissecção • Método da Posição Falsa • Método do Ponto Fixo • Método de Newton-Raphson • Método da Secante

Introdução • Zero real da função real : • Comentário: Nesta aula estamos interessados somente em zeros reais de funções reais.

Introdução • Graficamente, os zeros reais de são as abscissas dos pontos da intersecção da curva com eixo

Introdução • A obtenção dos zeros da função é dividida bem duas fases. • Parte 1: Isolamento das raízes (obter um intervalo que contém uma raiz) • Parte 2: Refinamento (refinar a aproximação iniciai até obter uma aproximação para a raiz dentro de uma certa precisão prefixada)

Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ • Teorema 1. Seja contínua em Se , então existe pelo menos um em que é zero de

Parte 1 – ISOLAMENTO DA RAIZ • Teorema 2. Seja contínua em . Se e se existir, que preserva o sinal em , então este intervalo contem um único zero de

Parte 1 Formas de se localizar as raízes de : • Tabelar e analisar as mudanças de sinal de e o sinal da derivada nos intervalos em que mudou de sinal. • Análise gráfica da função .

Parte 1- Exemplo 1 / Método1 Seja . Sinais de As raízes estão nos intervalos de mudança de sinal de . Veja .....

Parte 1- Exemplo 1 / Método 2 Façamos o gráfico de Novamente temos os intervalos dos zeros.

Parte 1- Exemplo 1 / Método 3 Façamos o gráfico da função equivalente Novamente temos os intervalos dos zeros

Parte 1- Exemplo 2 Seja para . Sinais de Logo temos uma única raiz!!!!! Sinais de Temos uma raiz no intervalo

Parte 2 - Refinamento Refinamento por métodos iterativos • Métodos iterativos=Seqüência de ciclos • Iteração=um ciclo (loop) • Iteração k depende da iteração anterior k-1 • Testes (critérios) verificam se resultado da iteração k atingiu resultado esperado.

Parte 2 - Refinamento • Critérios de parada: está suficientemente próximo da raiz exata? • Métodos iterativos podem ser representados por um diagrama de fluxo

Parte 2 - Refinamento Dados iniciais k=1 Cálculo da nova aproximação Sim A aproximação está suficientemente próxima da solução exata? Cálculos finais Não k=k+1

Critérios de parada • Teste para verificar se está suficientemente próximo da raiz exata . Então, é a raiz aproximada com precisão , se: i) ou ii) Não conhecemos Nem sempre é possível satisfazer (i) e (ii) simultaneamente.

Critérios de parada • Caso 1 Caso 2

Critérios de parada • Note que satisfazer não implica que . • Note que satisfazer não implica que . • Métodos numéricos satisfazem os dois critérios, preferencialmente. • Programas estipulam um número máximo de iterações (evitar looping)

Critérios de parada – Método Geral • Reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração. Se um intervalo é tal que Então pode ser

Métodos iterativos - Zeros I. Método da Bissecção Seja contínua em , tal que . Se preserva o sinal em , então o intervalo contem uma única raiz de . Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que , dividindo ao meio sucessivamente.

Métodos iterativos - Zeros I. Método da Bissecção Seja com zero em As iterações são realizadas da forma 1) 2) 3) Continue o processo até que e

Método da Bissecção a3 || a2 || x1 x2 a=a0 x0 b=b0 || || || a1 b1 b3 || b2

Método da Bissecção I. Método da Bissecção-Exemplo Seja com e . Temos Obtemos em dez iterações.

Método da Bissecção Note que (bk-ak)<

Método da Bissecção I. Estudo da Convergência Teorema: O método da bissecção gera uma seqüência convergente se for contínua em com e se preserva o sinal em .

Método da Bissecção I. Estimativa do numero de iterações Dada a precisão e um intervalo inicial , qual será o número de iterações para que . Tomando o logarítmo da equação,

Método da Bissecção I. Estimativa do numero de iterações - Exemplo Queremos o zero da função no intervalo com precisão . O número de iterações a realizar pelo método da bissecção é:

Métodos iterativos - Zeros II. Método da Posição Falsa Seja contínua em , tal que . Se preserva o sinal em então o intervalo contem uma única raiz de . Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até que , dividindo por meio de uma média aritmética ponderada em .

Método da Posição Falsa II. Média Ponderada Para e . Como , podemos supor que o zero está mais próximo de . Assim, fazemos uma média ponderada, de modo que fique mais próximo de .

Método da Posição Falsa II. Método da Posição Falsa Seja com um zero em . As iterações são realizadas da forma 1) 2) Continue o processo até que e .

Método da Posição Falsa II. Método da Posição Falsa - Exemplo Seja com e . Temos . Obtemos em três iterações. O Método da bissecção necessitava de 10 iterações para tal precisão. Um dos critérios de parada foi atingido

Método da Posição Falsa I. Estudo da Convergência Teorema: O método da posição falsa gera uma seqüência convergente se for contínua em com e se preserva o sinal em . Comentário: A convergência é mais rápida que no método da bisecção.

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