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Funciones. Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower Presentado a: Patricia Cáceres Décimo Grado. Funciones. Tipos. Definición. Formas de expresar. Características. Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas. Funciones Pares e Impares. Función. Definición
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Funciones Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower Presentado a: Patricia Cáceres Décimo Grado
Funciones Tipos Definición Formas deexpresar Características Funciones Inyectivas, Sobreyectivas y Biyectivas Funciones Pares e Impares
Función • Definición • Una función es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el rango) de manera que a cada elemento x del dominio le corresponda uno y solo un elemento del rango f(x). • A cada Pre Imagen le corresponde una sola y solo una Imagen.
Formas de expresar una función Una función se puede expresar de 4 distintas formas: Enunciado Tabla Gráfica Algebraicamente
Una función se expresa a través de una tabla, cuando se dan algunos valores de X con los valores correspondientes de Y. Ejemplo:
Una función se expresa a través de un enunciado cuando se describe verbalmente. Ejemplo: Una función, es la relación entre los elementos del dominio y los del rango.
Una función se expresa a través de una formula o expresión algebraica cuando se da una ecuación en la que se relacionan las variables X y Y. Ejemplo: f(x)= 4X2 – 3X + 8 f(x)= 2X + 4 f(x)= X3 + 2X2 – 4X + 3
Una función se expresa a través de una gráfica, cuando se representan los pares (x,y) en el plano cartesiano. Ejemplo:
Son los posibles valores del conjunto de llegada. La variable dependiente se llama Y. Son los posibles valores del conjunto de salida. La variable independiente se llama X. Características
f a 1 b 2 c 3 4 • Los elementos principales de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables. Estos valores son llamados Imágenes y Pre Imágenes. Y X Imagen: Los valores del conjunto de llegada que se relacionan con los valores del conjunto de salida. Pre Imagen: Losvalores del conjunto de salida que se relacionan con los valores del conjunto de llegada. Características
Rango: Conjunto de elementos del conjunto de llegada que están relacionadas con un valor del conjunto de salida. Dominio: Conjunto de elementos del conjunto de salida que están relacionadas con algún elemento del conjunto de llegada. Características
Conjunto de Salida:Conjunto de Pre Imágenes. Conjunto de Llegada:Conjunto de Imágenes. Características
Punto de corte con X:Se halla cuando Y=0. Se iguala la función a 0, o se factorisa. Punto de corte con Y:Se halla cuando X=0. Se reemplaza X por 0. Características
Periodicidad: Una función es periódica, si su gráfica se repite en intervalos de amplitud constante. Periodo: Longitud del intervalo que se repite. Máximos y mínimos: Máximo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es mayor que en los puntos que están próximos. Mínimo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es menor que en los puntos que están próximos. Crecimiento: Función creciente: Es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y. Función decreciente: Es decreciente, cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y. Características
Funciones Inyectivas: • Una función es Inyectiva si a cada valor del dominio le corresponde un valor del rango. No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen. • Funciones Sobreyectivas: • Una función es Sobreyectiva si cada elemento del rango es como mínimo la imagen de un elemento del domino. X Y X Y 1 2 3 4 D B C 1 2 3 D B C A
Función Biyectiva: • Una función es Biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada (inyectiva), sumándole que a cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada (sobreyectiva). X Y 1 2 3 4 D B C A
Función Impar: Se llama función impar a la que para todo x perteneciente al Dominio de la función, se cumple que: Se produce una simetría con respecto al origen de coordenadas. Ejemplo: f(x)= X3 f(2)=8 f(-2)=-8 Todas las funciones impares cumplen la ecuación: Función Par: Se llama función par a la que para todo x perteneciente al Domino de la función, se cumple que: Se produce una simetría con respecto al eje y. Ejemplo: f(x)= X2 f(-2)= 4 f(2)= 4 Todas las funciones pares cumplen la ecuación:
Tipos de funciones Por Partes o A Trozos Polinómicas Racional Exponencial Trigonométricas Logarítmica Valor Absoluto
Funciones polinómicas GradoPar Constante GradoImpar Cuadrática Lineal Cúbica Afín Idéntica
Generalidades de una función polinómica • Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de polinomios. • Según el grado del polinomio, las funciones polinómicas se pueden clasificar en: • En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de operaciones: • Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x). • Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x). • Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x). Grado Nombre Expresión 0 Constante y= a 1 Lineal y= ax + b 2 Cuadrática y= ax2 + bx + c 3 Cúbica y= ax3 + bx2 + cx + d
Función Constante • Es una función polinómica de grado cero que no depende de ninguna variable. • Se define por la ecuación: y= a Elementos Dominio= IR Rango= a Conjunto de Salida= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con x= no existe Punto de corte con y= a EJEMPLO
Constante Análisis: y= 6 Dominio-Conjunto de salida= IR Conjunto de llegada= IR Rango= {6} Punto de corte con y= 6
Función Afín • La función afín viene dada por la ecuación: y= mx+n • Donde X y Y son las variables • m es la pendiente • n es la ordenada en el origen • Dominio= IR • Conjunto de Salida= IR • Rango= IR • Conjunto de Llegada= IR • Punto de corte con y= n La m de una recta determina la inclinación de la misma, entonces: Si m<0 decreciente Si m>0 creciente Si m=0 constante m se calcula: Elementos EJEMPLO
Afín Análisis: y= 6x +2 Dominio-Conjunto de salida= IR Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 2 Punto de corte con x= -1/3 Pendiente= 6
Funciones de grado par • Las funciones de grado par son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es par. • Se definen por la ecuación: y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e EJEMPLO
grado par y= 2X4 + 4x3 + 6x2 – x + 8
Función Cuadrática • Es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como: • Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según sea el signo de a. • El vértice de una parábola se halla mediante la ecuación: • Dominio= IR • Rango= (máximo o mínimo relativo, • Conjunto de salida= IR • Conjunto de llegada= IR • Punto/s de corte con x: y= 0, se halla/n mediante la formula cuadrática: • Punto de corte con y= c Elementos EJEMPLO
Cuadrática Análisis: y= x2 + 3x – 4 Dominio-Conjunto de salida= IR Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= -4 Punto de corte con x= {-4, 1} Mínimo relativo= -3/2
Funciones de grado impar • Las funciones de grado impar son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es impar. • Se definen por la ecuación: y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e EJEMPLO
grado impar y= 3x3 + 2x2 – x + 4
Función Lineal Es la función que se define por la ecuación: y= mx Elementos Dominio= IR Rango= IR Conjunto de Salida= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con Y= 0 Punto de corte con X= 0 EJEMPLO
Lineal Análisis: y= 4x Dominio-Conjunto de salida= IR Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x= 0 Pendiente= 4
Función Idéntica • Es la función que asigna como imagen a cada elemento del dominio el mismo elemento. • Se define por la ecuación: y= x • Su pendiente es m=1 • Su gráfica es la recta bisectriz de los cuadrantes primero y tercero. Elementos • Dominio= IR • Conjunto de Salida= IR • Rango= IR • Conjunto de Llegada= IR • Punto de corte con X y Y= 0 EJEMPLO
Idéntica Análisis: y= x Dominio-Conjunto de salida= IR Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 0 Punto de corte con x= 0
Función Cúbica • Función que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: con a ≠ 0 , a,b,c,d ∈ IR Elementos Dominio= IR Conjunto de Salida= IR Rango= IR Conjunto de Llegada= IR Punto de corte con y= d EJEMPLO
Cúbica Análisis: y= x3 + 3x2 + 4x + 6 Domino-Conjunto de salida= IR Rango-Conjunto de llegada= IR Punto de corte con y= 6 Punto de corte con x= -2.5
Referencias de consulta • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar • http://www.x.edu.uy/lineal.htm • http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm • http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par • http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar • http://www.amschool.edu.sv/Paes/f8.htm • http://matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_Funciones.pdf • http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/1_2.pdf • http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html • http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funracional.html • http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Funciones_formas_de_expresar/elementos.htm • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva • http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva