Rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso

1. Rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso • Facciamo riferimento all’anta di una porta Asse di rotazione Vista dall’alto q • E’ possibile determinare la posizione del CR con la sola conoscenza dell’angolo q • Un CR in rotazione attorno a d un asse fisso ha un solo grado di libertà • È sufficiente una sola equazione scalare per determinare il suo moto.

2. Rotazione di un corpo rigido attornono ad un asse fisso q • Cerchiamo quindi una relazione tra le forze applicate e l’accelerazione (angolare) prodotta. Vista dall’alto • Nel caso della rotazione la forza non è direttamente responsabile dell’effetto prodotto. • Supponiamo di applicare forze perpendicolari al piano della porta: • Se applichiamo una forza a distanza nulla d’asse di rotazione: • l’effetto è nullo: non c’è nessun moto • Man mano che ci allontaniamo dall’asse di rotazione, a parità di forza, l’effetto (l’accelerazione angolare della porta ) è sempre più vistoso • Ecco perché la maniglia si mette il più lontano possibile dall’asse di rotazione

3. Rotazione di un corpo rigido attornono ad un asse fisso q • Sembra quindi che l’effetto, l’accelerazione (angolare) prodotta, dipende dal prodotto della forza per il braccio • Braccio=distanza della retta di azione della forza d’asse di rotazione b O r Vista dall’alto F • L’effetto, l’accelerazione (angolare) prodotta, sembra dipendere dal momento della forza rispetto al polo O • Il modulo del momento vale infatti: r O F • Si osservi che in questo caso il momento della forza è parallelo all’asse di rotazione

4. Rotazione di un corpo rigido attornono ad un asse fisso j j b b q F • Possiamo ulteriormente investigare questa conclusione facendo variare l’angolo j della forza rispetto al vettore posizione mantenendo la forza nel piano perpendicolare all’asse di rotazione O r Vista dall’alto • L’effetto è maggiore quando l’angolo j è 90° • È nullo quando j è 0° o 180° • Questa osservazione ci conferma che la causa delle rotazioni è il momento della forza. • Infatti: r O F • Che è massimo quando j è 90°, è nullo quando j è 0° o 180° • Si osservi che anche in questo caso il momento della forza è parallelo all’asse di rotazione

5. Rotazione di un corpo rigido attornono ad un asse fisso • Concludiamo questo discorso considerando forze nel piano della porta. • Se consideriamo una forza perpendicolare al vettore posizione r • Il modulo del momento è • Lo stesso modulo del momento quando la forza F è perpendicolare al piano della porta • Ma in questo caso l’effetto prodotto è nullo!! • Non si verifica alcun moto della porta. F • Cosa c’è di diverso nei due casi?? • Osserviamo che in questo caso il momento Mo è perpendicolare all’asse di rotazione • In precedenza esso era parallelo all’asse di rotazione • Possiamo concludere: • Il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dalla componente del momento della forza lungo l’asse di rotazione (Momento assiale) r O

6. Equazione del moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso • Abbiamo dedotto: • il moto di rotazione di un corpo rigido attorno ad un asse fisso dipende dal momento assiale (la componente del momento delle forze esterne lungo l’asse di rotazione) • Si trova infatti che: • Equazione del moto di rotazione di un CR attorno ad un asse fisso • I = momento di inerzia del CR rispetto all’asse di rotazione • a accelerazione angolare • Mz componente assiale del momento delle forze esterne

7. Verifica dell’equazione del moto di rotazione di un CR rispetto ad un asse fisso • Consideriamo un caso semplice in cui un corpo rigido è costituito da un singolo punto materiale in rotazione attorno ad un asse fisso (l’asse z). • Il momento della forza F rispetto al punto O è: • Il cui modulo è: • Il momento è diretto parallelamente all’asse z • La componente radiale della forza non produce alcun effetto perché l’asta provvede ad annullare il suo effetto (la distanza dall’asse di rotazione deve rimanere costante). • Invece la componente tangente: • Moltiplicando per r:

8. Consideriamo un sistema di punti materiali, rigido, in rotazione attorno all’asse z con velocità angolare w. Consideriamo la particella i-esima. Legame tra l’equazione del moto di rotazione del CR e la II equazione cardinale della dinamica dei sistemi j • Se il corpo è simmetrico rispetto all’asse di rotazione: Lx=0, Ly=0

9. Il primo metodo consiste nello scegliere un qualsiasi polo O sull’asse di rotazione (punto fisso) Calcolare il momento di ciascuna forza esterna rispetto al polo O (modulo direzione e verso) Calcolare il momento risultante Determinare la componente del momento risultante secondo l’asse di rotazione Calcolo del momento assiale delle forzemetodo 1 O’ r’ F O r • Il momento assiale di una forza non dipende dal polo O scelto per calcolarlo. Perpendicolare a OO’ • I due momenti differiscono per un vettore perpendicolare all’asse: questo vuol dire che le componenti assiali sono uguali.

10. si prende il modulo del vettore componente della forza nel piano perpendicolare all’asse di rotazione. Si moltiplica tale modulo per il braccio della forza (la distanza tra la retta di azione del vettore componente della forza perpendicolare all’asse di rotazione e l’asse di rotazione) Si assegna a questo prodotto il segno positivo se la forza produce una rotazione antioraria, negativo se la rotazione prodotta è oraria. Calcolo del momento assiale delle forzemetodo 2 • Il momento assiale complessivo si ottiene sommando i singoli contributi di ciascuna delle forze esterne agenti:

11. La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa M=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovare l’accelerazione di caduta del blocco, l’accelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il mozzo gira senza attrito. Il moto del disco è un moto di rotazione attorno ad un asse fisso Introduciamo un sistema di riferimento Applicazione y Rv x • L’asse di rotazione coincide con l’asse z • L’equazione del moto di rotazione P • Il momento di inerzia I (disco omogeneo rispetto al suo asse) • Dobbiamo ora calcolare Mz: • Le forze esterne agenti sul disco sono • L’equazione del moto:

12. La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa M=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovare l’accelerazione di caduta del blocco, l’accelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il mozzo gira senza attrito. Per il corpo di massa m invece: Applicazione y Rv x • Abbiamo ottenuto due equazioni con le incognite T, ay, a. P • Le equazioni non sono sufficienti. • Ma sappiamo che la corda è inestensibile quindi c’è una relazione tra ay, a. • Ruotiamo il disco di un angolo Dq in senso antiorario (Dq negativo), osserveremo il corpo di massa m abbassarsi di un tratto Dy anch’esso negativo: • E con una seconda derivazione si ottiene • Dividendo per Dt, e passando al limite

13. La figura rappresenta un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa m=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovare l’accelerazione di caduta del blocco, l’accelerazione angolare del disco e la tensione del filo. Il filo non slitta e il mozzo gira senza attrito. Il sistema diventa Applicazione y Rv x • O meglio: P • Sostituendo:

14. Facendo riferimento all’applicazione precedente calcoliamo il lavoro infinitesimo fatto dalla tensione T relativamente ad uno spostamento angolare infinitesimo dq: Il lavoro nei moti di rotazione dr dq dr1 dr2 • Nel caso della figura ds, il modulo dello spostamento infinitesimo, è uguale a -Rdq (il segno meno si giustifica per il fatto che dq è negativo, mentre ds deve essere positivo) • Il lavoro per una rotazione finita sarà: Si osservi che poiché la corda è inestensibile il lavoro complessivo fatto dalle due tensioni ai due capi della corda è nullo. • La potenza:

15. Con riferimento all’applicazione precedente in cui un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso e un blocco di massa m=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco, calcolare la velocità del corpo di massa m dopo che ha percorso 1m supponendo che inizialmente fosse fermo. Calcolare la corrispondente velocità angolare del disco. Calcolare l’angolo di cui ha ruotato il disco. Verificare che il lavoro fatto dalla tensione sul disco è uguale alla variazione della sua energia cinetica. Applicazione y Rv x P • Noi abbiamo già calcolato l’accelerazione uniforme del corpo di massa m. • Potremmo risolvere il problema per via cinematica: • Possiamo anche risolvere il problema con la conservazione dell’energia: • La forza peso della carrucola non fa lavoro

16. Con riferimento all’applicazione precedente in cui un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso e un blocco di massa m=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco, calcolare la velocità del corpo di massa m dopo che ha percorso 1m supponendo che inizialmente fosse fermo. Calcolare la corrispondente velocità angolare del disco. Calcolare l’angolo di cui ha ruotato il disco. Verificare che il lavoro fatto dalla tensione sul disco è uguale alla variazione della sua energia cinetica. Applicazione y Rv x P

17. Con riferimento all’applicazione precedente in cui un disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20 cm montato su un mozzo orizzontale fisso e un blocco di massa m=1.2 kg è appeso ad un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco, calcolare la velocità del corpo di massa m dopo che ha percorso 1m supponendo che inizialmente fosse fermo. Calcolare la corrispondente velocità angolare del disco. Calcolare l’angolo di cui ha ruotato il disco. Verificare che il lavoro fatto dalla tensione sul disco è uguale alla variazione della sua energia cinetica. Applicazione y Rv x P • Ricordiamo il valore della tensione T determinato precedentemente (T=5.96N) • Per il teorema delle forze vive: