Apprentissage des mathématiques Résolution de problèmes

1. Apprentissage des mathématiquesRésolution de problèmes Roland Charnay - 2007

2. Roland Charnay - 2007 Des enjeux complémentaires Acquérir des outils mathématiques… Etre capable de les utiliser dans différents domaines, en autonomie Préparer la suite des apprentissages (collège…) Développer des compétences générales

3. Roland Charnay - 2007 Plan Etat des lieux : quelques données sur les acquis des élèves Analyse des difficultés Pistes pour l’action pédagogique

4. Quelques données Etat des lieux Roland Charnay - 2007

5. Roland Charnay - 2007 Evaluation sixième 2004 • Plus d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les "compétences nécessaires pour profiter pleinement des situations pédagogiques de sixième" (pour plus de 2/3 des items considérés). • Deux domaines particuliers de difficultés • le calcul mental • la résolution de problèmes

6. Roland Charnay - 2007 Calcul mental – Evaluations CE2 et 6e 2004 : 28 % d'échec aux "questions de base"

7. Roland Charnay - 2007 Priorité au calcul mentalparmi tous les moyens de calcul sous ses 2 aspects • Mémoriser des résultats et des procédures • Construire des résultats

8. La résolution de problèmes Roland Charnay - 2007

9. Roland Charnay - 2007 Evaluation 6e - 2003 Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur. Chaque page contient 6 photos. a) Combien y a-t-il de pages complètes ? b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ? Il y a ……… pages complètes. 54 % Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %

10. Roland Charnay - 2007 Procédures possiblesProblème des photos • Division par 6 • Division (CM1) • Essais de produits par 6 • Table de multiplication (CE2) • Addition de 6 en 6 • Addition (CE1) • Schématisation des pages et des photos • Dénombrement (CP)

11. Roland Charnay - 2007 Une question Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème… ne pensent-ils pas… n’osent-ils pas… ne se croient-ils pas autorisés… … (à) les utiliser pour répondre à la question?

12. Roland Charnay - 2007 Comparaison internationale (PISA 2003)Deux points faibles caractéristiques "Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peudisponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les éléments de connaissance correspondants". Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie des modes d'approche possibles". Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006

13. Roland Charnay - 2007 Un menuisier dispose de 32 m de planches et souhaite s'en servir pour faire la bordure d'une plate-bande dans un jardin. Il envisage d'utiliser un des tracés suivants pour cette bordure : Indiquez pour chacun des tracés s'il peut être réalisé avec les 32 m de planches. Un exemple

14. Quelques pistes Analyse des difficultés Roland Charnay - 2007

15. Roland Charnay - 2007 Julie (éva 6e) Julie a acheté pour un goûter : deux tablettes de chocolat à 8 F. chacune quatre bouteilles de limonade à 6 F. chacune un sac de brioches. Elle a payé 56 F. Quel est le prix du sac de brioches ? 8 F x 6 F = 54 F Le prix du sac de brioches est 2 F.

16. Roland Charnay - 2007 Schéma d’analyse sommaire • Connaissances • en lecture • sur le contexte • mathématiques • sens des notions • raisonnement • calcul • Connaissances • sur ce qui est attendu • sur ce qui est permis • sur ce qui marche souvent • sur "l'accueil" des erreurs

17. Roland Charnay - 2007 A la bonne place (éva CE2) 300 400 500 600 300 309 400 367 500 582 600 Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient. 367 582 309

18. … pour le travail avec les élèves Quelques pistes… Roland Charnay - 2007

19. Roland Charnay - 2007 Apprendre ce qu’est chercher Un mot à double sens Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvées Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur

20. Roland Charnay - 2007 Exemples en GS Exemple 1 : Résolution à l'aide du matériel • 24 objets, 6 pochettes • mettre 3 ou 4 ou 5 objets par pochette • Contrainte supplémentaire : il doit y avoir tous les types de pochettes • Autre contrainte : même nombre d'objets dans chaque pochette Exemple 2 : Résolution à l'aide du matériel • Trouver toutes les répartitions de 12 objets dans 3 pochettes

21. Roland Charnay - 2007 Aide à la prise de conscience du comportement de chercheur et de stratégies efficaces • Narration de recherche • Rédiger un compte-rendu de sa recherche, en décrivant toutes les idées, toutes les pistes, y compris celles qui n'ont pas abouti (IREM de Montpellier) • Faire des mathématiques, chest accepter de tâtonner, de faire des hypothèses, d'essayer, de se tromper, de corriger, de recommencer… • Mise en commun • Comprendre et discuter d'autres démarches • Synthèse sur des stratégies efficaces • Faire une hypothèse, la tester (pour voir) • Faire un schéma (pour comprendre, pour chercher) • Déduire de l'information d'un essai • Systématiser des essais…

22. Roland Charnay - 2007 Aider à l’appropriation du problème Plusieurs supports de présentation Vécu Dessin, schéma, document Oral Ecrit Aux cycles 1 et 2, le travail sur fiche est peu favorable, dans la phase d’apprentissage

23. Roland Charnay - 2007 Dix dans la boîte (Cap maths CP) - deux joueurs - 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup.

24. Roland Charnay - 2007 Dix dans la boîte : 3 problèmes • Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à chaque coup • Plusieurs solutions… dont les nombres • Connaître le contenu de la boîte • Vers l’addition • Savoir s’il est possible de gagner au coup suivant • Vers le complément

25. Roland Charnay - 2007 ANTICIPER / VALIDER : un aspect essentiel de ce type de situation Situation réelle Favorise l’appropriation de la situation et du problème Anticiper Incite à l'expérience mentale Permet la validation de la réponse ou d'une procédure Oblige à élaborer des procédures

26. Roland Charnay - 2007 Limiter les références possibles à des indices « extérieurs » au problème. Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en cours Se méfier des aides « de surface »

27. Roland Charnay - 2007 Exploiter la diversité des procédures Favoriser la diversité Exploiter la diversité Aider au progrès des élèves

28. Roland Charnay - 2007 Correction ou mise en commun ? Correction Aboutir au corrigé, à LA solution Conséquence : « résolution » unique dont il faut s’approcher le plus possible Mise en commun Inventorier les « résolutions » Débattre de leur validité Les comparer Conséquence : la diversité est possible

29. Roland Charnay - 2007 Trace écrite ? Pas de trace écrite cette fois-ci Une « résolution » correcte, au choix de chaque élève Un montage de différentes « résolutions » correctes

30. Roland Charnay - 2007 Aider à progresser… Prise de conscience au cours de la mise en commun Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence différentes Choix des variables Exemple : 250 passagers, 240 adultes Expérience mettant en évidence l’équivalence de 2 « résolutions »(ici validation expérimentale)

31. Roland Charnay - 2007 Accorder un autre statut àl'erreur Se tromper est « normal », dans la phase d'apprentissage Dans cette phase, l'erreur ne doit donc pas être sanctionnée On apprend aussi en travaillant sur les erreurs

32. Roland Charnay - 2007 Un exemple en calcul mental Question : calculer "6 fois 15" Réponse sur l'ardoise : 36 Analyse (hypothèse confirmée par l'explication de l'élève) L'élève a calculé 6 x 5 = 30 et 6 x 1 = 6, puis 30 + 6 = 36

33. Roland Charnay - 2007 Travail possible Faire expliciter la procédure utilisée Pourquoi est-on sûr que cette réponse est fausse (sans refaire le calcul) ? Parce que chest plus grand que 6 x 10 Faire expliciter (éventuellement de plusieurs manières) une procédure correcte qui s'appuie sur une décomposition de 15

34. Roland Charnay - 2007 Exemples d'explicitations… Oralement 15 chest 10 + 5, pour avoir 6 fois 15, il faut prendre 6 fois 10 et 6 fois 5 Oralement, avec appui sur un dessin 6 fois ça et 6 fois ça Essentiellement par le dessin (ou matériel, doigts)

35. Roland Charnay - 2007 Et retour sur la procédure erronée Quel calcul réalise-t-on en faisant 6 fois 5 plus 6 fois 1 ? Explications du même type que précédemment (oral, dessin…)

36. Roland Charnay - 2007 La culture mathématique, chest … Des connaissances Des connaissances utilisables (donc qui ont du sens) Des connaissances cohérentes (reliées entre elles) La capacité à les utiliser pour justifier L'initiation à une pratique "mathématisante"