La quantità di moto

1. La quantità di moto • Data una particella di massa m che si muove con velocità v • Si definisce quantità di moto la quantità: • È un vettore • Prodotto di uno scalare positivo, m, per un vettore, v. • Stessa direzione e verso di v, • Il modulo è m volte quello di v. • Le dimensioni: [p]=[m][v]=[M][LT-1] • Nel SI si misurerà in kg m s -1 • Se sul punto materiale agisce una forza, • la sua velocità cambierà, • ma cambierà anche la sua quantità di moto per m costante

2. Il prodotto vettoriale • Dati i vettori a e b , si definisce prodotto vettoriale il vettore c così individuato: • Il modulo del vettore c è dato da: dove l’angolo f è l’angolo minore di 180° compreso tra i due vettori • La direzione è perpendicolare al piano individuato dai vettori a e b. • Il verso è determinato con la regola della mano destra: • I formulazione: • Si dispone il pollice della mano destra lungo il primo vettore • Si dispone l’indice della mano destra secondo il secondo vettore • Il verso del medio individua il verso del prodotto vettoriale • II formulazione • Si chiude a pugno la mano destra mantenendo sollevato il pollice • Si dispone la mano destra in maniera che le dita chiuse a pugno indichino il verso in cui bisogna far ruotare il primo vettore per sovrapporlo al secondo percorrendo l’angolo f minore di 180° • Il verso del pollice individua il verso del prodotto vettoriale.

3. Proprietà del prodotto vettoriale • Il prodotto vettoriale non è commutativo: • Infatti: • Interpretazione geometrica del prodotto vettoriale • Il modulo del prodotto vettoriale è uguale all’area del parallelogramma formato con u due vettori. • Vettori paralleli o antiparalleli hanno un prodotto vettoriale nullo

4. Ulteriori proprietà del prodotto vettoriale • Prodotto vettoriale attraverso le componenti cartesiane: Proprietà distributiva

5. Il momento di un vettore b=r senq • Dato un vettore V qualsiasi ed il punto O, che in questa occasione si chiama “polo”, si definisce momento del vettore V rispetto al polo O la quantità: rposizione rispetto ad O del punto di applicazione del vettoreV. y q MO=rVsenq =V(rsenq) =bV • Il modulo del momento, MO, è uguale al modulo del vettore V per il braccio del vettore V rispetto al polo O • Il braccio è la distanza della retta di azione del vettore V dal polo O • Spostando il vettore V sulla sua retta di azione il momento resta invariato. q x O È importante l’ordine! Prima r poi V!

6. Momento della quantità di moto o momento angolare • Data la particella di massa m, • la cui posizione è individuata, al tempo t, dal vettore posizione r, • che al tempo t si muove con velocità v • E quindi possiede una quantità di moto p=mv • Si definisce momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O, la grandezza: y q x O Il modulo vale: Le dimensioni: Le unità di misura: kgm2s-1

7. Momento della forza • Data la particella di massa m, • la cui posizione è individuata, al tempo t, dal vettore posizione r, • che al tempo t subisce l’azione della forza F • Si definisce momento della forza F rispetto al polo O, la grandezza: y q x O Il modulo vale: Le dimensioni: Le unità di misura: kgm2s-2 Da non confondere con il lavoro che ha le stesse dimensioni (il lavoro è uno scalare, il momento della forza un vettore: sono due grandezze completamente diverse)

8. Relazione tra il momento della quantità di moto ed il momento della forza • Durante il moto di una particella, sia la sua posizione r che la sua velocità cambiano con il tempo, • È lecito aspettarsi che anche il momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O vari con il tempo. • Valutiamo a quanto è uguale la sua variazione (calcoliamo la derivata): • Attenzione a non cambiare il posto dei vettori, il prodotto vettoriale non commuta. • Il primo termine è nullo: i due vettori sono paralleli • La variazione del momento della quantità di moto della particella rispetto al polo O è uguale al momento della forza applicata valutato rispetto allo stesso polo!(è una diretta conseguenza della II legge di Newton)

9. Forze centrali • Si definisce forza centrale una forza agente in una certa regione dello spazio con le seguenti proprietà: • per qualunque posizione del punto materiale P che subisce la forza, • la direzione della forza agente su P passa sempre per un punto fisso dello spazio, detto centro della forza centrale, • e il suo modulo è funzione soltanto della distanza del punto materiale P dal centro stesso. • Esempio di forza centrale: la forza di gravitazione universale. • Anche la forza di Coulomb è centrale • Così come la forza elastica • Le forze centrali sono conservative

10. Moto di un punto materiale sotto l’azione di una forza centrale y x O y x O • Il momento di una forza centrale valutato rispetto al centro della forza è nullo • La forza ed il vettore posizione sono paralleli o anti paralleli • Il momento della quantità di moto rispetto al centro della forza deve rimanere costante • in direzione • Il moto è un moto piano • Verso • La traiettoria viene percorsa sempre nello stesso verso: orario o antiorario • Modulo • La velocità areale è costante: il segmento che connette il centro della forza con il punto materiale spazza aree uguali in tempi uguali.

11. La velocità areale y x O Il modulo del momento della quantità di moto rispetto al centro della forza vale: e quindi: • Consideriamo l’intervallo di tempo Dt • L’area spazzata nell’intervallo Dt è quella evidenziata in figura • Approssimativamente uguale all’area del triangolo di lati r(t), r(t+Dt), Dr. • L’eguaglianza approssimata diventa precisa per Dt che tende a zero. • L’area del triangolo vale: La velocità areale: Dalla definizione di velocità istantanea ricaviamo che: e quindi Nel caso di forze centrali, poiché il modulo del momento della quantità di moto è costante, allora la velocità areale è costante

12. La velocità areale y x O Perielio Più veloce Afelio Più lento • Se indichiamo con Dq l’angolo formato tra i vettori posizione all’istante t e t+Dt Dq q Il momento angolare:

13. Le leggi di Keplero • Le orbite dei pianeti sono delle ellissi. Il sole occupa uno dei fuochi. • Il segmento che congiunge il pianeta con il sole, spazza aree uguali in tempi uguali: in altre parole la velocità areale (l'area spazzata nell'unità di tempo), è costante. • Il quadrato del tempo di rivoluzione (T2), è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell'ellisse (a3). La costante di proporzionalità è la stessa per tutti i pianeti del sistema solare. • L’ipotesi che la forza di gravitazione universale sia una forza centrale • insieme con quella che un sistema di riferimento legato al sole possa essere considerato inerziale • giustifica le prime due leggi di Keplero ( in realtà la prima solo parzialmente)

14. Verifica della III legge di Keplero • Faremo la verifica supponendo che le orbite dei pianeti siano circolari anziché ellittiche. • L’eccentricità per la terra è 0.0167 • a è il semiasse maggiore • b quello minore • Se la traiettoria è circolare il moto è uniforme (la velocità areale deve essere costante) • Il pianeta è soggetto ad un’accelerazione centripeta • Quindi la forza di gravitazione universale si comporterà da forza centripeta:

15. Verifica della III legge di Keplero Ma la velocità è legata al periodo dalla relazione: Che appunto verifica la III legge di Keplero