"CURSO DE AVALIAÇÃO S0CIOECONÔMICA DE PROJETOS" BRASÍLIA BRASIL CLAUDIA NERINA BOTTEON cbotteon@fcemail.uncu.e

1. "CURSO DE AVALIAÇÃO S0CIOECONÔMICA DE PROJETOS" BRASÍLIA BRASIL CLAUDIA NERINA BOTTEON cbotteon@fcemail.uncu.edu.ar cyatrape@yahoo.com.ar Maio - 2009

2. CONCEITOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA • PARA AVALIAÇÃO DE PROJETOS • Valor do dinheiro ao longo do tempo. • Juros e taxas de juros. • Valores atuais e futuros num único valor monetário e de uma série de valores iguais ou diferentes.

3. Momento 0 Momento 1 Momento 2 Momento n Fluxo mensal Primeiro mês Segundo mês “MOMENTO” Y “PERÍODO” Momento: INSTANTE no tempo (exemplo: 30 de Julio de 2003) Período: tempo decorrido entre dois momentos do projeto(exemplo: 30/7 á 30/8 de 2003)

4. VALOR DO DINHEIRO AO LONGO DO TEMPO IDEIA CENTRAL: O valor atribuído a um real hoje é maior que o valor dado a um real disponível no futuro. Não é o mesmo: R$ 100 hoje Promessa de R$ 100 num mês • CAUSAS DESTA DIFERENÇA: • Impaciência • Risco • Oportunidades de investimento

5. CONCEITO DE JUROS O QUÉ É JUROS? Os juros é esse “adicional” que se pode obter se o dinheiro for aplicado numa alternativa de investimento. TAXA DE JUROS É uma forma de medir qual porcentagem representa os juros em relação ao capital investido. Invisto R$ 1.000 Obtenho: R$ 60 Taxa: 60/1.000 = 0,06 = 6% Por exemplo: Importante: definir bem o período

6. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS • 1. JUROS SIMPLES • Os juros se recebem sobre o capital investido originalmente. • Suposto: os juros são retirands em cada período. Exemplo numérico: Se toma emprestado R$ 1.000 para ser devolvido em três anos, a juros simples. Taxa anual de juros: 10%

7. Capital inicial (A) = 1.000 Capital final ou valor ou montante total (MT) = 1.300 Juros totais (IT) = MT – A = 300 Forma de calcular o IT: 300 = 1.000 . 3 . 0,10 Fórmula “principal” IT = A . n . TP Fórmulas derivadas: Montante total: MT = A + IT = A + (A . n . TP) = A . ( 1 + n . TP) Taxa de juros: TP = IT / ( A . n)

8. JUROS SIMPLES E COMPOSTOS • 2. JUROS COMPOSTOS • Os juros são recebidos sobre o capital investido originalmente ao qual vão sendo acumulados os juros que se vão ganhando. • Suposto: os juros não são retirados em cada período. Exemplo numérico: Se toma emprestado R$ 1.000 a ser pago em três anos, a juros compostos. Taxa anual de juros: 10%

9. Capital inicial (A) = 1.000 Capital final ou valor ou MONTANTE TOTAL (MT) = 1.331 Juros totais (IT) = MT – A = 331 Forma de calcular o MT: 1.331 = 1.000 . (1+ 0,10) . (1+ 0,10) . (1+ 0,10) = 1.000 . (1+ 0,10)3 MT = A . ( 1 + i ) n Fórmula “principal”

10. Fórmulas derivadas: Juros totais: IT = MT - A = A . (1+i)n - A = A . [(1+i)n – 1] Capital inicial: A = MT / (1+i)n Taxa de juros: i = (MT / A)(1/n) - 1 • NA AVALIAÇÃODE PROJETOS: • Utiliza-se sempre JUROS COMPOSTOS • O capital inicial (A) é denominado de VALOR PRESENTE (VP) • O montante total (MT)é denominado de VALOR FUTURO (VF) Portanto, centramos a atenção em duas fórmulas: VF = VP . (1+i)n VP = VF / (1+i)n

11. EQUIVALÊNCIA DAS TAXAS DE JUROS 1. TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas de juros são proporcionais quando estando referidas a períodos de tempo diferentes, aplicadas sobre um mesmo capital inicial e se capitalizado a juros simples produzem o mesmo montante total em igual lapso de tempo. Utilizando o exemplo anterior (juros simples) Taxa 10% anual: MT = 1.000 . ( 1 + 3 . 0,10 ) = 1.300 Taxa 30% de 3 anos: MT = 1.000 . ( 1 + 1 . 0,30 ) = 1.300 No mesmo lapso (três anos) produzem o mesmo montante total. Pelo tanto, estas duas taxas são proporcionais.

12. Como se obtém outras taxas proporcionais a estas duas? Supõe-se que se deseja obter uma taxa proporcional semestral à taxa mensal de 1%.O procedimento tem três etapas: • Primeira etapa: igualização do prazo • Neste caso, o prazo se iguala em seis meses. • A taxa mensal é capitalizada seis vezes e a taxa semestral uma vez. • Segunda etapa: cálculo do MT em cada caso • Mensal: MT = A . ( 1 + 0,01 . 6 ) • Semestral: MT = A . ( 1 + TPsemestral . 1 ) Terceira etapa: igualização dos MT e cálculo da TP A . ( 1 + 0,01 . 6 ) = A . ( 1 + TP semestral . 1 ) 1,06 = 1 + TP semestral . 1 (1,6 – 1) = TP semetral = 0,06

13. 2. TAXAS EQUIVALENTES As taxas de juros são equivalentes quando são referidas a períodos de tempo diferentes, aplicadas sobre um mesmo capital inicial e capitalizado a juros COMPOSTOS produzem o mesmo montante total em igual lapso de tempo Utilizando o exemplo anterior (juros compostos) Taxa 10% anual: MT = 1.000 . ( 1 + 0,10 )3 = 1.331 Taxa 33,1% três anos: MT = 1.000 . ( 1 + 0,331) = 1.331 No mesmo lapso (três anos), as taxas produzem o mesmo montante total. Portanto, estas duas taxas são equivalentes.

14. Como se obtém outras taxas equivalentes a estas duas? Supõe-se que se deseja obter una taxa semestral equivalente à taxa mensal de 1%. O procedimento tem três etapas: • Primeira etapa: igualização do prazo • Neste caso, o prazo se iguala em seis meses. • A taxa mensal é capitalizada seis vezes e a taxa semestral uma vez. • Segunda etapa: cálculo do MT em cada caso • Mensal: MT = A . ( 1 + 0,01)6 • Semestral: MT = A . ( 1 + i semestral)1 Terceira etapa: igualização dos MT e cálculo de i ( 1 + 0,01 )6 = ( 1 + i semestral)1 ( 1,06152015) - 1 = i semestral i semestral = 0,0615

15. Taxa periódica proporcional Taxa efetiva anual Taxa nominal anual Um elemento essencial para poder passar de uma taxa nominal a uma efetiva é a unidade de tempo definida para a capitalização de juros Os resultados são diferentes Passar de uma taxa NOMINAL para outra EFETIVA Por equivalência de taxas Por proporcionalidade de taxas

16. 21,94% > 20% Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA Exemplo: Taxa nominal anual: 20% A capitalização é mensal Taxa mensal proporcional: TP anual = TP mensal x 12 0,2 / 12 = 0,0167 = TP mensal Taxa efetiva anual: (1 + 0,0167)12 - 1 = TEA 0,2194 = TEA

17. 21,74% > 20% Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA Exemplo: Taxa nominal anual: 20% A capitalização é bimestral Taxa bimestral proporcional: TP anual = TP bimestral x 6 0,2 / 6 = 0,0333 = TP bimestral Taxa efetiva anual: (1 + 0,0333)6 - 1 = TEA 0,2174 = TEA A TEA resultante com capitalização bimestral é menor que a TEA com capitalização mensal. Isto ocorre pois os juros passam a formar parte do capital a cada período e sobre quais são cobrados novos juros.

18. Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA Exemplo: Taxa nominal anual: 20% A capitalização é anual Taxa anual proporcional: TP anual = 20% Taxa efetiva anual: (1 + 0,2)1 - 1 = TEA 0,20 = TEA A TEA é igual a TNA, quando a capitalização é anual.

19. Passar de uma taxa NOMINAL a outra EFETIVA Exemplo: Taxa nominal anual: 12% A capitalização é mensal Taxa mensal proporcional: TP mensal = 1% Taxa efetiva mensal: (1 + 0,01) - 1 = i mensal 0,01 = i mensal Taxa efetiva bimestral: (1 + 0,01)2 - 1 = i bimestral 0,0201 = i bimestral

20. VALORES PRESENTES E VALORES FUTUROS • Valor futuro de uma soma presente • Valor presente de uma soma futura • Valor presente de um plano de prestações futuras diferentes • Valor presente de um plano de prestações iguais • Valor presente de um plano de prestações crescentes a uma taxa constante

21. VALOR FUTURO DE UMA SOMA PRESENTE • É o valor que essa soma (presente) terá ao final do tempo, considerando juros compostos. Soma presente (R$) ...JUROS... Valor Futuro (R$) • Para efetuar o cálculo é necessário conhecer: • A duração total do período • A quantidade de vezes que se capitaliza nesse lapso • A taxa de juros (coerente com o período de capitalização)

22. Fórmula geral a aplicar VF = VP . ( 1 + i ) n Exemplo 1: Qual é o valor futuro de R$ 150 ao final de três meses, se a taxa de juros efetiva mensal é de 2%? VF = 150 . ( 1 + 0,02 )3 = 159,18 150 153 156,06 159,18 “CAPITALIZAÇÃO” Exemplo 2: Qual é o valor futuro de R$ 150 ao final de três meses, se a taxa de juros efetiva mensal é de 2% durante dois meses e 5% no terceiro? VF = 150 . ( 1 + 0,02 )2 . ( 1 + 0,05 ) = 163,86 Se a taxa de juros muda o durante o lapso considerado, deve-se “separar” a fórmula geral

23. Fórmula geral a aplicar VF = VP . ( 1 + i ) n Exemplo 3: Qual é o valor futuro de R$ 100 ao final de 14 meses, se a taxa de juros efetiva semestral é de 10%? O primeiro a fazer é encontrar a taxa efetiva mensal: i mensal = (1,1)(1/6) – 1 = 1,6012% O valor futuro no momento 14 resulta: VF14 = 100 . ( 1,016012)14 = 124,91

24. 2. VALOR PRESENTE DE UMA SOMA FUTURA • É o valor que essa soma (futura) terá HOJE. Calcula-se utilizando juros compostos. Valor presente (R$) Soma Futura (R$) • Para efetuar o cálculo é necessário conhecer: • A duração total do período • A quantidade de vezes que se capitaliza nesse lapso • A taxa de juros (coerente com o período de capitalização)

25. Fórmula geral a aplicar VP = VF / ( 1 + i ) n Exemplo 1: Qual é o valor presente de R$ 150 a receber dentro de três meses, se a taxa de juros mensal é de 2%? VP = 150 / ( 1 + 0,02 )3 = 141,35 141,35 144,17 147,06 150 “ATUALIZAÇÃO” Exemplo 2: Qual é o valor presente de R$ 150 após três meses, si se estima que a taxa de juros mensal será 2% durante dois meses e 5% no terceiro? VP = 150 / [( 1 + 0,02 )2 . ( 1 + 0,05) ] = 137,31 Se a taxa de juro muda durante o lapso considerado, deve-se “separar” a fórmula geral

26. 3. VALOR PRESENTE DE FUTURAS E DIFERENTES SOMAS DE DINHEIRO • É a soma dos valores presentes de cada soma futura (utilizando juros compostos). ... SFn SF3 SF2 SF1 VP1 VP2 + VP3 ... Cada una das somas deve ser ATUALIZADA devidamente VPn VP

27. 200 400 = + = VP ( conjunto ) 149 , 05 10 18 ( 1 , 10 ) ( 1 , 10 ) Exemplo: Qual é o valor presente das seguintes duas somas a receber no futuro: R$ 200 ao final de 10 meses e R$ 400 ao final de 18 meses? A taxa efetiva mensal: 10%. 400 200 +

28. VALOR PRESENTE DE UM PLANO DE PRESTAÇÕES IGUAIS • É a soma dos valores presentes de cada prestação • (utilizando juros compostos). • O que é uma prestação? É uma soma de dinheiro que será paga ou recebida regularmente ao largo do tempo. • Devem ser iguais em montante • Devem estar uniformemente distribuídas no tempo • Tipos de prestações • De acordo ao seu número: • Denominam-se ANUALIDADES se são prestações finitas • Denominam-se PERPETUIDADES se são prestações infinitas • De acordo ao momento de pagamento da primeira delas: • No principio do período denominam-se ADIANTADAS • Ao final do período denominam-se VENCIDAS • Em qualquer outro momento, denominam-se DIFERIDAS

29. ¥ 0 1 2 1°C 2° C C C = + + VP .... + + ( 1 i ) ( 1 i ) 2 C C × + = + + + VP ( 1 i ) C .... + + ( 1 i ) ( 1 i ) 2 C = VP × + - = VP ( 1 i ) VP C i a) VALOR PRESENTE DE UMA PERPETUIDADE VENCIDA Diminuindo a segunda da primeira:

30. ¥ 0 1 2 1°C 2° C C = × + VP ( 1 i ) i b) VALOR PRESENTE DE UMA PERPETUIDADE ADIANTADA É como você atualizar todo o fluxo para o “momento –1” e em seguida capitalizar por um período

31. Exemplo 2: Qual será o valor de um conjunto de 6 prestações semestrais, se forem adiantadas? 250 250 250 ……. Exemplo 1: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitas prestações semestrais, iguais, consecutivas e vencidas de R$ 250, calculadas a 10% efetivo semestral? …… 250 250 250 VP = 250 / 0,10 = 2.500 VP = (250 / 0,10) . 1,1 = 2.500 . 1,1 = 2.750

32. Exemplo 3: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitas prestações semestrais, iguais, consecutivas e vencidas de R$ 250, calculadas a 10% efetivo anual? Primeiro: deve-se calcular a taxa efetiva semestral, já que as prestações são semestrais: 4,88% (equivalente à taxa de 10% anual). Logo: a cota VP = 250 / 0,0488 = 5.122,02 Exemplo 4: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitas prestações semestrais de R$ 250, se a primeira deve ser paga após 14 meses, calculadas a 10% efetivo anual?

33. 1° C 2° C Enésima C C C = + + + VP .... + n + + ( 1 i ) ( 1 i ) ( 1 i ) 2 C C C × + = + + + + VP ( 1 i ) C .... - + n 1 + + ( 1 i ) ( 1 i ) ( 1 i ) 2 é ù n + - C C 1 ( 1 i ) 1 × + - = - = × - = × VP ( 1 i ) VP C VP 1 C ê ú n + n n + + × ( 1 i ) i ( 1 i ) ( 1 i ) i ë û c) VALOR PRESENTE DE UMA ANUALIDADE VENCIDA Diminuindo a segunda da primeira:

34. 0 1 2 n-1 1°C 2° C é ù n + - C 1 ( 1 i ) 1 = × - × + = × × + VP 1 ( 1 i ) C ( 1 i ) ê ú n n + + × i ( 1 i ) ( 1 i ) i ë û d) VALOR PRESENTE DE UMA ANUALIDADE ADIANTADA Enésima

35. é ù 6 - ( 1 , 10 ) 1 = × = VP 250 1 . 088 , 82 ê ú 6 × ( 1 , 10 ) 0 , 10 ë û Exemplo 2: Qual será o valor de um conjunto de 6 prestações semestrais, se forem adiantadas? 250 250 250 250 250 250 é ù 6 - ( 1 , 10 ) 1 = × × = VP 250 ( 1 , 10 ) 1 . 197 , 70 ê ú 6 × ( 1 , 10 ) 0 , 10 ë û Exemplo 1: Qual é o valor presente de um conjunto de 6 prestações semestrais, iguais, consecutivas e vencidas de R$ 250, calculadas a 10% efetivo semestral? 250 250 250 250 250 250

36. Exemplo 3: Qual é o valor presente de um conjunto de 6 prestações semestrais, iguais e consecutivas de R$ 250 calculadas a 10% efetivo semestral, se a primeira delas for paga após 2 meses? Exemplo 4: Qual é o valor presente de um conjunto de 6 prestações semestrais, iguais e consecutivas de R$ 250 calculadas a 1% efetivo mensal, se a primeira delas deve ser paga após 12 meses?

37. 5. VALOR PRESENTE DE UM PLANO DE PRESTAÇÕES CRESCENTES A UMA TAXA CONSTANTE Taxa constante de crescimento:  C é o valor correspondente à primeira prestação/cota. Se o número de prestações for infinito:

38. Exemplo 1: Qual é o valor presente de um conjunto de infinitos benefícios líquidos de transitar, calculadas a 10% efetivo anual? Taxa constante de crescimento: 2% anual Exemplo 2: ¿Qual é o valor presente dos benefícios se seu número for 20?