Geschichten aus der 4.Dimension

1. Geschichten aus der 4.Dimension Eine Einführung in mehrdimensionales Denken von Erwin Rybin, Mai 2007

2. Was bedeutet 4.Dimension? • Es handelt sich um eine 4. RAUMdimension, d.h. so wie wir vom Übergang von 2d auf 3d die z-Achse einführen, müssten wir eine neue Achse einführen. • Diese ist nicht vorstellbar, aber theoretisch behandelbar • Man kann Analogien suchen, z.B. unseren neuen Freund FLACHI

3. Übergang von 2d auf 3d • Neue Achse normal auf x und y-Achse

4. Übergang von 2d auf 3d • Aus einem Quadrat wird ein Würfel:

5. Übergang von 2d auf 3d • Aus einem Kreis wird eine Kugel

6. Übergang von 2d auf 3d • Aus einem gleichseitigen Dreieck wird ein Tetraeder

7. Übergang von 2d auf 3d • Aus einem Flachlandwesen wird ein Mensch  Flachi Euer Lehrer

8. Flachis Land & Flachis Haus • Flachi lebt in Flachland, in einem Haus mit 6 Zimmern:

9. Flachis Sicht der Welt • So wie wir Menschen eigentlich nur Flächen sehen (darum haben wir im Kino und beim Fernsehen so einen lebensechten Eindruck) • So sieht Flachi nur Linien:

10. Flachis Liniensicht • Um das besser zu verstehen: Legt verschiedene Münzen auf einen Tisch und seht sie Euch dann von der Tischkante an  • Ihr bemerkt sicher, dass ihr von den Münzen fast nur Linien seht, aber trotzdem könnt ihr sie durch Länge & Farbe unterscheiden!

11. Ein 3-dimensionaler Gegenstand in Flachis 2d-Welt • Stellt Euch nun vor, ihr würdet einen Gegenstand, z.B. eine bunte Vase durch Flachis Welt stecken und auf- undab bewegen:

12. Ein 3-dimensionaler Gegenstand in Flachis 2d-Welt • Flachi würde nur bunte Linien sehen, die sich im Lauf der Zeit verändern:

13. Ein 3-dimensionaler Gegenstand in Flachis 2d-Welt • Indem er sich um die Vase bewegt, merkt er dass die Linien immer gleich lang sind • Er schließt daraus, dass es sich bei den Linien, die er sieht, um Kreise handelt • WARUM? (Denke an die Münzen am Tisch)

14. Wir falten Flachis Welt: • Stellt Euch vor, in Flachis Haus sind die Zimmer nummeriert: 5 4 3 2 6 1

15. Wir falten Flachis Welt: • Flachi kann von Zimmer 1 nur in Zimmer 2 gehen; um von 2 in 5 oder 6 zu kommen, muss er zuerst in Zimmer 3 gehen 5 4 3 2 6 1

16. Wir falten Flachis Welt: • Wir falten nun Flachis Haus in die 3. Dimension; wir erhalten dabei aus 6 Quadraten einen Würfel

17. Wir falten Flachis Welt:

18. Wir falten Flachis Welt: • Probiert diese Faltung von Flachis Haus nun selbst an einem Papiermodell aus! • Ihr seht: • Flachi kann nun von Zimmer 1 auch in die Zimmer 4, 5 und 6 gehen! • Er kann auch direkt von Zimmer 2 in 5 oder 6 gehen!

19. Flachis Faltung • Dabei muss sich Flachi freilich selbst falten. Als 2d-Wesen nimmt er den Vorgang aber nicht als Faltung in der 3.Dimension war

20. Flachis Faltung • Flachi sieht, dass sein halber Körper plötzlich verschwindet und später wieder auftaucht • Er geht durch ein Fenster und ist statt im Freien in einem anderen Zimmer • Flachi ist reichlich verwirrt – wer kann ihm erklären, was geschah?

21. Flachi in der 3d-Welt • Wie wir zuvor schon gesehen haben, nimmt Flachi alle Elemente als Linien wahr • So wie wir sieht er nur die äußere Begrenzung der Gegenstände, er kann nicht hineinsehen

22. Flachi in der 3d-Welt • Wenn wir Flachi in unsere 3d-Welt bringen, würde er ganz neue Dinge in seiner Welt sehen, er sieht zwar nach wie vor nur Linien:

23. Flachi in der 3d-Welt • Aber in den Linien kann er erkennen, wie die Dinge von INNEN aussehen • Er sieht den QUERSCHNITT seiner 2d-Welt!

24. Flachi in der 3d-Welt • Wichtig ist aber, dass wir Flachi in der 3.Dimension gut beschützen… • sonst würden ihm sofort die Augen herausfallen, da sie keine Unterlage haben

25. Gedankensprung in die 4.Dimension • Genauso wie sich Flachi keine 3.Dimension vorstellen kann, können wir uns keine 4. Dimension vorstellen • Wir können aber mathematisch berechnen, welche Eigenschaften 4-dimensionale Körper wie Hyperkugel, Hyperwürfel o.ä. haben würden

26. Gedankensprung in die 4.Dimension • So wie wir 3-dimensionale Objekte durch 2-dimensionale Flächen begrenzen können (z.B. 6 Quadrate für einen Würfel) • So wären 4-dimensionale Hyperkörper durch 3-dimensionale Körper begrenzt (z.B. 8 Würfel für einen Hyperwürfel)

27. Gedankensprung in die 4.Dimension • Wie würden wir 3-dimensionale Menschen es bemerken, wenn ein 4-dimensionales Wesen mit uns Kontakt aufnimmt? • z.B. eine 4-dimensionale Vase in unsere Welt hält? • z.B. unser Haus faltet?

28. Unser Haus • Stellt Euch vor, wir leben in einem Haus mit 6 Zimmern, Keller(7) und Dachboden(8)

29. Unser Haus • Unser Haus sieht damit Flachis Haus ähnlich, nur ist es 3-dimensional

30. Unsere Sicht der Welt • Wir sehen aus unserer Welt immer nur einen 2-dimensionalen Ausschnitt (vergleiche dazu Foto oder Film) • Um die Rückseite eines Objektes sehen zu können, müssen wir uns im Raum (der ist ja 3-dimensional) bewegen

31. Eine 4-dimensionale Vase • So wie Flachi von einer 3d-Vase nur die Teile sieht, die sich gerade in seiner 2d-Welt befinden (d.h. er sieht Linien und bemerkt durch herumgehen, dass es sich im Kreise handelt) • So sehen wir von einer 4d-Vase nur die Flächen (und durch herumgehen merken wir, dass es sich um Kugeln handelt)

32. Eine 4-dimensionale Vase • Im Lauf der Zeit ändert die Kugel Größe und Farbe

33. Die 4d-Faltung unseres Hauses • Unser Haus hat ja 6 Zimmer, Keller(7) und Dachboden(8) • Um in den Keller (7) zu gelangen, müssen wir zuerst in die Zimmer 1, 2, und 3 gehen

34. Die 4d-Faltung unseres Hauses • Wenn das 4d-Wesen unser Haus falten würde (zu einem Hyperwürfel), könnten wir vom Eingang direkt in den Keller gehen • WARUM?

35. Unsere Welt aus der 4.Dimension • So wie Flachi aus der 3. Dimension nach wie vor nur Linien (also 1-dimensional) sieht, könnten auch wir aus der 4. Dimension nur Flächen sehen – allerdings würden wir den QUERSCHNITT der Objekte sehen! • Und wir hoffen dabei, dass das 4-Wesen gut auf uns aufpasst, damit unser Körper nicht in der 4.Dimension zerfällt (WARUM?)

36. Unsere Welt aus der 4.Dimension • Wir würden aus der 4.Dimension den QUERSCHNITT der Objekte sehen! • Warum? (Denke dabei, wie Flachi die 3d-Welt wahrnimmt)

37. Wiederholung: Im Haus

38. Wiederholung: Die Vase

39. Wiederholung: Die Faltung

40. Wiederholung: In der höheren Dimension

41. Lesetipps • Edwin A. Abbott: Flächenland • Ian Stewart, Thomas Filk: Flacherland, Die unglaubliche Reise der Vikki Line durch Raum und Zeit