1 / 16

Temat: Zbiór liczb naturalnych

Temat: Zbiór liczb naturalnych. 1. Zbiór liczb rzeczywistych (R) i jego podzbiory. R. W. C. N. NW. R – zbiór liczb rzeczywistych,. W – zbiór liczb wymiernych,. NW – zbiór liczb niewymiernych,. C – zbiór liczb całkowitych,. N – zbiór liczb naturalnych. 2. Zbiór liczb naturalnych ( N ).

stash
Download Presentation

Temat: Zbiór liczb naturalnych

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Temat: Zbiór liczb naturalnych

  2. 1. Zbiór liczb rzeczywistych (R) i jego podzbiory. R W C N NW R – zbiór liczb rzeczywistych, W – zbiór liczb wymiernych, NW – zbiór liczb niewymiernych, C – zbiór liczb całkowitych, N – zbiór liczb naturalnych.

  3. 2. Zbiór liczb naturalnych (N). N = {0, 1, 2, 3, 4, …} Zbiór liczb naturalnych możemy podzielić na: N= {0}  N+

  4. 3. Podzielność liczb Definicja 1/42 Liczba naturalnanjest podzielna przez liczbę naturalnąm różną od zera  istnieje taka liczba naturalna k, że n = m·k. Liczbę m nazywamy dzielnikiem liczby n, zaś o liczbie n mówimy wówczas, że jest wielokrotnością liczby m. Fakt, że m jest dzielnikiem liczby n, oznaczamy: m|n. Zapis symboliczny

  5. 4. Liczby pierwsze i złożone. Definicja 2/42 Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną n większą od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 oraz n. Liczbą złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną n większą od 1, która nie jest liczbą pierwszą. Posiada więcej niż dwa podzielniki naturalne.

  6. Ciekawostki Wiadomość z 11-12-2003 www.wp.pl :Ponad 200 tys. komputerów połączonych w sieć pracowało przez osiem lat, by wyselekcjonować jak największą liczbę pierwszą. Udało się. Wynik składa się z 6320430 cyfr - poinformowała agencja Associated Press. W dniu 23 sierpnia 2008r, odkryto 45. znaną liczbę pierwszą Mersenne’a, 2 43112609 -1, która zapisie dziesiętnym posiada 12978189 cyfr. Znalazł ją Edson Smith z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Los Angeles. Poszukiwania prowadził w sieci przy użyciu 75 uczelnianych komputerów. Liczby pierwsze używane są w szyfrowaniu.

  7. 5. Rozkład liczb na czynniki pierwsze. Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze, to znaczy przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Rozkładając liczbę pierwszą na czynniki dzielimy ją kolejno przez możliwie najmniejsze liczby pierwsze, do momentu otrzymania wyniku 1. 60 2 60 = 2·2·3·5 30 2 15 3 WNIOSEK: Rozkład dowolnej liczby na czynniki pierwsze jest jednoznaczny (nie ma możliwości danej liczby rozłożyć na dwa różne sposoby). 5 5 1

  8. 6. Cechy podzielności liczb naturalnych. Twierdzenie 1/43 Dowolna liczba naturalna jest: podzielna przez 2  cyfrą jedności jest 0, 2, 4, 6, 8, podzielna przez 3  suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 3, podzielna przez 4  liczba utworzona z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4, podzielna przez 5  cyfrą jedności jest 0 lub 5, podzielna przez 6  gdy dzieli się przez 2 i 3, podzielna przez 8  liczba utworzona z trzech ostatnich cyfr jest podzielna przez 8, podzielna przez 9  suma cyfr tej liczby jest podzielna przez 9, podzielna przez 10  cyfrą jedności jest 0.

  9. 7. NWD(a,b) oraz NWW(a,b). • Definicja 3/44 • Niech dane będą liczby naturalne a, b, z których co najmniej jedna jest różna od zera. • Największym Wspólnym Dzielnikiem liczb a, b nazywamy największą liczbę naturalną, która jest dzielnikiem każdej z liczb a i b. Oznaczamy ją: NWD(a,b) 2)Niech dane będą liczby naturalne a, b, obie różne od zera. Najmniejszą Wspólną Wielokrotnością liczb a, b nazywamy najmniejszą liczbę naturalną różną od 0, która jest podzielna przez a i b. Oznaczamy ją: NWW(a,b)

  10. 8.Przykład: Znajdź NWD(1080,5040), NWW(1080,5040) 1080 2 5040 2 540 2 2520 2 270 2 1260 2 135 3 630 2 45 3 315 3 15 3 105 3 5 5 35 5 1 7 7 1 1080 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 5040 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5· 7

  11. Wyznaczamy NWD jako iloczyn czynników powtarzających się: 1080 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 5040 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5· 7 NWD(1080,5040) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 360

  12. Wyznaczamy NWW jako iloczyn czynników pierwszej liczby powiększony przez iloczyn czynników drugiej liczby nie występujących w pierwszej ( wykreślamy z drugiej te czynniki, które są w pierwszej, a pozostałe dopisujemy do NWW) 1080 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 5040 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5· 7 NWW(1080,5040) = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5· 2· 7= 15120 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5· 2· 7 = 15120

  13. 9. Liczby względnie pierwsze. Definicja 4/44 Liczby naturalne a, b, z których co najmniej jedna jest różna od zera nazywamy względnie pierwszymi wtedy, gdy NWD(a,b)=1. 10. Twierdzenie 1/43 Dla dowolnych liczb naturalnych a, b większych od zera prawdziwa jest równość: NWD(a,b) · NWW(a,b) = a · b

  14. Zad 1. Suma dwóch liczb naturalnych dodatnich jest równa 252, a ich największy wspólny dzielnik jest równy 21. Wyznacz te liczby. Zad 2. Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 96, a ich największy wspólny dzielnik wynosi 12. Znajdź te liczby.

  15. Zad 3. Iloczyn dwóch liczb naturalnych wynosi 2646, a największy wspólny dzielnik tych liczb to 21. Co to za liczby? Zad 4. Iloczyn dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi 2700 a ich NWD=6. Podaj te liczby.

  16. 11. Podzielność liczb z resztą. Definicja 5/46 Niech n i m będą liczbami naturalnymi oraz m 0. W wyniku dzielenia liczby n przez liczbę m otrzymujemy resztę r wtedy, gdy istnieje taka liczba naturalna k, dla której n = m · k + r, gdzie k, r  N oraz r < m.

More Related