Évaluation algébrique des limites

1. Évaluation algébriquedes limites Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon

2. Introduction Dans l’évaluation algébrique des limites, on utilise les propriétés des limites ainsi que les limites de fonctions simples. Nous constituerons donc une banque de limites décrivant le comportement de fonctions simples. Nous ferons des ajouts à cette banque dans les chapitres suivants. Nous accepterons sans démonstration les théorèmes et propriétés des limites qui font l’objet de cette présentation.

3. Limite d’une fonction constante Théorème Limite d’une constante Soit f(x) = k, où kÎR, une fonction constante, alors : f(x) = k Si la fonction est constante, lorsque x s’approche de c, les images demeurent égales à k. C’est la limite. Fonction constante

4. Limite de la fonction identité Théorème Limite de la fonction identité Soit f(x) = x, la fonction identité, alors : f(x) = x Si la fonction est l’identité, lorsque x s’approche de c, les images s’approchent également de c. C’est la limite. Fonction identité

5. Propriétés des limites S Somme et différence de fonctions Si L, M, c et k sont des nombres réels et que : et Limite d’une somme de fonctions La limite de la somme de deux fonctions est égale à la somme des limites de ces deux fonctions. Limite d’une différence de fonctions La limite de la différence de deux fonctions est égale à la différence des limites de ces deux fonctions.

6. Propriétés des limites S Produits Si L, M, c et k sont des nombres réels et que : et Limite du produit d’une fonction par une constante La limite du produit d’une fonction par une constante est égale au produit de la constante par la limite de la fonction. Limite d’un produit de fonctions La limite d’un produit de deux fonctions est égale au produit des limites de ces deux fonctions.

7. Propriétés des limites La limite du quotient de deux fonctions est égale au quotient des limites de ces deux fonctions, à condition que soit différente de 0. S S Quotient et puissance Si L, M, c et k sont des nombres réels et que : et REMARQUE Ces propriétés demeurent valides si x tend vers l’infini et que L et M sont des nombres réels. Lorsque la limite de l’une ou des deux fonctions est infini ou moins l’infini, on rencontre diverses indéterminations qui relèvent de l’algèbre de l’infini. Limite d’un quotient de deux fonctions Limite d’une puissance rationnelle d’une fonction La limite d’une puissance rationnelle d’une fonction est égale à la puissance de la limite, à condition que celle -ci soit un nombre réel. , où r et s sont des entiers et s ≠ 0

8. Exemple 4.1.1 S S S S Utiliser les propriétés des limites pour évaluer les limites suivantes : Solution a) , limite d’une puissance rationnelle; , limite de la fonction identité. = 24 = 16 b) La fonction n’est pas définie lorsque x < 2. La limite à gauche n’existe pas. En évaluant la limite à droite, on obtient : REMARQUE La limite n’existe pas, cependant on décrit le comportement local de la fonction en écrivant : , limite d’une puissance rationnelle; , limite d’une différence; , limite de la fonction identité et de la fonction constante.

9. Exemple 4.1.1 S S S S Utiliser les propriétés des limites pour évaluer les limites suivantes : Solution c) , limite d’un quotient; REMARQUE Si on considère les limites présentées dans cet exemple, il semble que, dans plusieurs cas, il suffira d’évaluer la fonction à x = c pour déterminer la limite. Il y a cependant des cas qui échappent à cette affirmation. Nous considérerons maintenant ces cas. , car la limite du dénominateur est non-nulle. d) , ne peut être évaluée de cette façon, car la limite du dénominateur est nulle. e) , ne peut être évaluée de cette façon, car la limite du dénominateur est nulle.

10. Formes particulières Forme 0/0 Lorsqu’on étudie la limite lorsque x tend vers c d’une fonction rationnelle, on obtient parfois 0/0. On dit alors que la limite est de la forme 0/0. C’est une forme indéterminée, ce qui signifie que l’on ne peut connaître la limite en évaluant la fonction à c. Exploitons à nouveau l’approche numérique pour analyser localement le comportement d’une fonction présentant une indétermination de la forme 0/0.

11. Exemple 4.1.2 S S S S S S x x f(x) f(x) 1,5 4,5 2,5 5,5 Évaluer 1,9 4,9 2,1 5,1 Solution 1,99 4,99 2,01 5,01 Lorsque x s’approche de 2, cette expres-sion donne 0/0. Pour pouvoir visualiser ce qui se passe, considérons la fonction définie par : 1,999 4,999 2,001 5,001 Représentons graphiquement les valeurs du tableau. Si le numérateur et le dénominateur s’annulent à x = 2, cela signifie qu’ils ont en commun le facteur x – 2. C’est le seul facteur qui s’annule lorsque x prend la valeur 2. En décomposant en facteurs le numérateur de la fonction f(x), on obtient : On peut donc écrire : On constate que les images sont définies partout dans le voisinage, sauf à x = 2, où la fonction n’est pas définie. On peut alors calculer la limite en évaluant l’image par la fonction g(x), cela donne g(2) = 5. On obtient : En faisant une étude numérique du comportement des images de cette fonction lorsque x s’approche de 2 par la gauche et par la droite, on obtient les valeurs consignées dans le tableau ci–contre. On constate que la limite existe lorsque x tend vers 2, puisque la limite à gauche est égale à la limite à droite et que cette limite est un nombre réel. Symboliquement, on a : On dit que la fonction a un trou à x = 2. On constate que le graphique de la fonction f(x) est presque identique à celui de la fonction g(x) = x + 3, sauf que la fonction f(x) a un trou à x = 2. Cependant, ces deux fonctions ont la même limite lorsque x s’approche de 2. Puisque la limite existe, on devrait pouvoir la déterminer algébriquement.

12. Limites de la forme 0/0 Dans l’exemple 4.1.2, la démarche consistait à déterminer une fonction g ayant le même comportement que f au voisinage de 2 mais ne présentant pas de trou. On a pu évaluer la limite par substitution dans la fonction g. PROCÉDURE pour lever une indétermination de la forme 0/0 1. Effectuer les manipulations algébriques permettant de rendre visible le facteur qui s’annule simultanément au numérateur et au dénominateur. 2. En simplifiant ce facteur, déterminer la fonction ayant le même comportement graphique dans le voisinage, mais n’ayant pas de trou. 3. Utiliser cette fonction pour déterminer la limite par calcul de l’image.

13. Exemple 4.1.3 S S Évaluer Solution Lorsque x s’approche de 3, on obtient une forme indéterminée 0/0. Cela signifie que le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun. Ce facteur est x – 3. En décomposant le numérateur en facteurs, on obtient : Les fonctions ont la même limite lorsque x s’approche de 3. Cependant, on peut facilement déterminer celle de g(x) par calcul de l’image et on obtient :

14. Exemple 4.1.4 S S Évaluer Solution Lorsque x s’approche de 4, on obtient une forme indéterminée 0/0. Cela signifie que le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun, x – 4. Il faut d’abord faire une mise au même dénominateur. Les fonctions ont la même limite lorsque x s’approche de 4. Cependant, on peut facilement déterminer celle de g(x) par calcul de l’image et on obtient :

15. Exemple 4.1.5 S S Évaluer Solution Lorsque x s’approche de 2, on obtient une forme indéterminée 0/0. Le numérateur et le dénominateur ont un facteur commun, x – 2. Il faut faire le produit par le conjugué du dénominateur. En factorisant, on a alors : En calculant l’image de 2 par la fonction g, on obtient :

16. Algèbre de l’infini Considérons maintenant un autre cas, celui où le dénominateur est seul à s’annuler. On obtient alors une forme k/0. Nous allons encore une fois faire quelques calculs pour analyser la situation et dégager une procédure qui nous évitera les calculs par la suite. Nous avons déjà signalé que les propriétés de la somme, de la différence et du produit par une constante demeurent valides si x tend vers l’infini. Nous verrons également comment procéder pour évaluer les limites de la forme ∞/∞.

17. Exemple 4.1.6 S S S S S x x f(x) f(x) 2,5 –2 3,5 2 Évaluer 2,9 –10 3,1 10 Solution 2,99 –100 3,01 100 Lorsque x s’approche de 3, cette expres-sion s’approche de 1/0. Pour pouvoir visualiser ce qui se passe, considérons la fonction définie par : Représentons graphiquement les valeurs du tableau. 2,999 –1 000 3,001 1 000 La limite n’existe pas, cependant on décrit le comportement local de la fonction à l’aide de l’écriture des limites. En faisant une étude numérique du comportement des images de cette fonction lorsque x s’approche de 3 par la gauche et par la droite, on obtient les valeurs consignées dans le tableau ci–contre. On constate que lorsque x tend vers 3 par la gauche, les images deviennent de plus en plus grandes négativement. De plus, lorsque x tend vers 3 par la droite les images deviennent de plus en plus grandes positivement. Symboliquement, on écrit : REMARQUE En représentant graphiquement les données, on constate que le graphique de la fonction se rapproche de plus en plus d’une droite verticale à mesure que x s’approche de 3. On dira que le graphique de la fonction a une asymptote verticale à x = 3.

18. Asymptote verticale DÉFINITION Asymptote verticale Le graphique d’une fonction f a uneasymptote verticaleà x = c si au moins l’une des conditions suivantes est vérifiée : ou ou ou NOTATIONS signifie que le numérateur s’approche d’une valeur constante alors que le dénominateur s’approche de 0 tout en étant positif. Dans un tel cas, la limite est +∞ si k est positif et –∞ si k est négatif. signifie que le numérateur s’approche d’une valeur constante alors que le dénominateur s’approche de 0 tout en étant positif. Dans un tel cas, la limite est –∞ si k est positif et ∞ si k est négatif.

19. Limites infinies S Voyons maintenant comment exploiter cette notation dans l’analyse du comportement, au voisinage de 3, de la fonction : Lorsque x s’approche de 3 par la gauche (3–), le numérateur s’approche de 1 alors que le dénominateur s’approche de 0 en étant plus petit que 0. On a donc : Lorsque x s’approche de 3 par la droite (3+), le numérateur s’approche de 1 alors que le dénominateur s’approche de 0 en étant plus grand que 0. On a donc : On peut maintenant évaluer une limite de la forme k/0 sans effectuer de calculs.

20. Limites particulières S S En faisant une étude numérique du comportement des images de de la fonction définie par f(x) = 1/x, on obtient quelques limites particulières dont certaines nous seront utiles dans l’évaluation des limites à l’infini. Pour évaluer les limites à l’infini de fonctions algébriques, on trans-forme l’expression en mettant en évidence les puissances de x et on utilise les limites parti-culières.

21. Exemple 4.1.8 S S S Évaluer Solution , par mise en évidence; , en simplifiant; REMARQUE On met toujours en évidence la plus grande puissance de la variable indépendante dans le numérateur et la plus grande puissance de la variable indépendante dans le dénominateur. Après ces mises en évidence, on simplifie. Le facteur mis en évidence n’est pas nécessairement le même au numérateur et au dénominateur. , car On obtient donc :

22. Exemple 4.1.9 S S Évaluer Solution , par mise en évidence; , en simplifiant; , car On obtient donc :

23. Exemple 4.1.10 S S Évaluer Solution , par mise en évidence; , en simplifiant; et , car On obtient donc :

24. Asymptote horizontale DÉFINITION Asymptote horizontale Le graphique d’une fonction f a uneasymptote horizontale à y = L si au moins l’une des conditions suivantes est vérifiée : ou où L est un nombre réel.

25. Conclusion Nous avons développé une approche algébrique pour évaluer les limites. Pour évaluer une limite de la forme 0/0, cette approche consiste à déterminer une fonction ayant la même limite pour pouvoir l’évaluer en calculant l’image. Pour évaluer une limite de la forme 1/0, on analyse le comportement à gauche et à droite pour déterminer si on a k/–∞ ou k/∞. Pour évaluer une limite de la forme ∞/∞, on met en évidence le plus grand exposant du numérateur et le plus grand exposant du dénominateur, on simplifie et on utilise les limites particulières pertinentes.

26. Lecture Calcul différentiel, applications en sciences de la nature,Section 4.1, p.107-119. Exercices Calcul différentiel, applications en sciences de la nature,Section 4.2, p. 120-121.