INFORMACYJNE

2. INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • PUBLICZNE GIMNAZJUM W CZŁOPIE • ID grupy: • 98/7_MF_G2 • Kompetencja: • MATEMATYCZNO-FIZYCZNA • Temat projektowy: • W ŚWIECIE LICZB • Semestr/rok szkolny: • II 2010/2011

3. NASZA GRUPA

4. Prymitywne sposoby liczenia • Jak liczyli ludzie pierwotni? Dokładnie nie wiemy, ale przypuszczamy, że tak: "jeden, dwa, dużo". Zdarza się jeszcze gdzieniegdzie w naszych czasach, że niektóre "prymitywne" plemiona w ten sposób oceniają ilość posiadanych elementów. Podobnie, małe dziecko potrafi w pierwszej połowie drugiego roku życia rozróżnić jeden, dwa i "więcej" przedmiotów. (A pamiętajmy o tym, że różne etapy rozwoju ludzkości mają swe odbicie w rozwoju małego człowieka.)

5. Początki • Człowiek potrafił liczyć już w epoce pierwotnej. Nie znał jeszcze cyfr. Wyniki swych obliczeń zapisywał na kościach, nacinając na nich kreski. Za najstarszy zapis liczby uważa się 55 nacięć na kości wilka sprzed 30 tysięcy lat. Kość tę znaleziono w Czechach w 1937r. i jest na niej widocznych 55 karbów, zgrupowanych po 5, stąd domyślamy się, że chodzi tu o liczbę.

6. Rozwój liczb • W rozwoju kultury ludzkiej pierwsze pojawiły się liczby naturalne. Systemy pozycyjne pojawiły się w I tysiącleciu przed naszą erą w starożytnej Babilonii, w pierwszych latach naszej ery u Majów, przed IX wiekiem naszej ery  w Indiach, skąd system dziesiątkowy przejęli Arabowie, a od nich Europejczycy. Znaki, za pomocą których zapisujemy liczby to cyfry. Używamy 10 cyfr. Są to:   1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 0. Wyraz cyfra pochodzi od arabskiego wyrazu sifr, oznaczającego zero. Zostało ono zaczerpnięte od Hindusów.

7. Rozwój liczb • Wiadomo, że zera używał induski uczony Arjabhata, którego dzieło pt. ,,Surjasiddhanta”   w zachowanej swej postaci sięga wieku V. Uczony użył tam terminu ,,siunia”, który oznacza pustkę, zero. Zero było zapisywane początkowo jako punkt. Jeszcze dziś w Turcji, Egipcie i krajach Bliskiego Wschodu zero zapisuje się   w kształcie kropki czworokątnej, a piątkę w kształcie zera. Najstarsze dokumenty zawierające znaki liczb sięgają IV wieku p.n.e. System liczb, których używamy obecnie, wynaleźli Hindusi. Europejczycy poznali go jednak za pośrednictwem Arabów, dlatego mówimy   o „cyfrach arabskich”. Dawniej w Europie nie pisano liczb, tak jak dziś. Najstarszy znany europejski rękopis, w którym spotykamy cyfry arabskie (bez zera) był pisany w Hiszpanii w 976 roku. W rękopisach arabskich cyfry te spotykamy już sto lat wcześniej

8. Dawne sposoby zapisu liczb • Cywilizacja sumeryjska (ok. 3500 lat p.n.e.) - znaki liczbowe były glinianymi żetonami:

9. Dawne sposoby zapisu liczb • Znaki używane przez wyższych urzędników elamickich (ok. 3500 lat p.n.e.):

10. Dawne sposoby zapisu liczb • Hieroglify egipskie (wynalezione w początkach III tysiąclecia p.n.e.):

11. Dawne sposoby zapisu liczb • Znaki chińskie (wymyślone przeszło 3000 lat temu); ich obecny kształt po wielowiekowych zmianach jest następujący:

12. Dawne sposoby zapisu liczb • Znaki syryjskie:

13. Dawne sposoby zapisu liczb • Znaki Majów (cywilizacja Majów powstała w IV tysiącleciu p.n.e.; wyginęła w XIV w n.e.)

14. Dawne sposoby zapisu liczb • Cyfry Majów służące do zapisu liczbyw systemie dwudziestkowym:

15. Liczby pierwsze • Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną n większą od 1, której jedynymi dzielnikami są 1 oraz n.Początkowe liczby pierwsze to : 2,3,5,7,11,13,17,19,... . • EuklidesEuklides ok. 365 p.n.e • Już grecki matematyk Euklides wykazał, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych.Posłużył się w tym celu tzw. dowodem „nie wprost” .

16. Jak znajdujemy liczby pierwsze • Przepis, obecnie nazywany sitemEratostenesa, stosowano już w starożytności i... tak naprawdę to do dziś praktycznie nie wymyślono nic szybszego i bardziej skutecznego. Metoda jest bardzo prosta: wypisujemy kolejne liczby naturalne, począwszy od dwójki (dopóty, dopóki nam starczy cierpliwości). Następnie skreślamy wszystkie liczby podzielne przez dwa, oprócz niej samej. Potem wybieramy pierwszą nie skreśloną liczbę (będzie to oczywiście 3) i skreślamy wszystkie większe liczby przez nią podzielne i tak dalej. Sito Eratostenesa "przesiewa" wszystkie liczby naturalne mniejsze od pewnej ustalonej liczby i pozostawia tylko liczby pierwsze, choć to przesiewanie jest dosyć żmudne.

17. Ciekawe liczby pierwsze • Dwudziestoletni Kanadyjczyk Michael Cameron znalazł największą taką liczbę ze znanych obecnie. Odkrycie zostało dokonane 14 listopada 2001 r.Liczba ta składa się z 4053946 cyfr i ma postać213466917 - 1, • Gdyby spróbować wydrukować ją w  książce formatu A – 5, to książka ta musiałaby mieć co najmniej 1000 stron.

18. Ciekawe liczby pierwsze • Liczba pierwsza 26972593-1(odkryta 1 czerwca 1999 roku) ma ponad 2 mln cyfr, dokładnie 2 098 960. Jest ona 38 z kolei tzw. liczbą Mersenne'a.  • Największą znalezioną dotąd liczbą pierwszą jest liczba: 213466917-1. Rekordzistkę odkryto 14 listopada 2001 roku. Liczba ta składa się z 4053946 cyfr! Co więcej, liczba ta należy do tzw. liczb Mersenne'a (jest to 39 liczba pierwsza Mersenne'a).

19. Ciekawe liczby pierwsze • liczba 31415926535897932384626433832795028841 zestawiona z początkowych 38 cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby π, jest pierwsza. • Liczba 73939133 nie tylko jest pierwsza, ale liczby otrzymane z niej przez kolejne obcinanie cyfr od prawej też są pierwsze: 7393913, 739391, 73939, 7393, 739, 73, 7.

20. Ciekawe liczby pierwsze • Liczba 11111111111111111111111 złożona z 23 jedynek jest pierwsza. • Istnieją liczby pierwsze złożone z kolejnych cyfr np.: 23, 67, 4567, 23456789, 1234567891, 1234567891234567891234567891. W dwóch ostatnich liczbach cyfry występują w tak zwanym rosnącym porządku cyklicznym, tzn. po kolei, z tym że po 9 może być 0 lub 1. Trudniej trafić na liczby pierwsze z malejącym porządkiem cyklicznym: 43, 10987, 76543 i 1987.

21. LICZBY • Liczba to graficzne przedstawienie ilości, wielkości czegoś. Na ich podstawie przedstawia się wiele wartości w życiu codziennym np. w sklepie, w banku. Liczby dzielimy na: naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste, algebraiczne.

22. LICZBA Liczba jest to stała matematyczna, pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. Jej wartość wynosi około 3,14159 26535. Liczba pi na przykładzie koła o r=1 Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis PalmariorumMathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π).

23. OSZACOWANIA LICZBY Najważniejsze oszacowania liczby Babilończycy ok. 2000p.n.e =3 Egipcjanie ok.. 2000p.n.e = (16/9) Archimedes III w.p.n.e =22/7 Ptolemeusz IIw.p.n.e = 3+8/60+30/3600=3,1416 Alchwarizmi rok 830 = BhaskaraXIIw. = 754/240=3,1416 Leonardo z Pizy XII-XIIIw. =864/275=3,1416 Piotr Metius 1585rok = 355/113=3,141593

24. ŻARTY I WIERSZYKI O LICZBIE Dlaczego pociąg jak jedzie to stuka? Elementem poruszającym się po torze jest koło. A obręcz koła to nic innego jak okrąg. Należy przeanalizować wzór na długość okręgu: 2 = to stała, r= określony promień, a π = trzy z...hakiem. I ten hak stuka! Jaś o kole z werwą dyskutuje bo dobrze temat ten czuje czy Ty już odgadłeś, skąd zmiana ta wynika ? Oto i wiem i pomnę doskonale... Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła.

25. NAZEWNICTWO WIELKICH LICZB W zależności od n liczby noszą różne nazwy w oparciu o nazwy łacińskie. Z łaciny:bi- oznacza dwu- (stąd bilion)tri- oznacza trój- (stąd trylion)quadri- oznacza czwór- (stąd kwadrylion)quintus oznacza piąty (stąd kwintylion) sextus oznacza szósty (stąd sekstylion) septimus oznacza siódmy (stąd septylion) octavus oznacza ósmy (stąd oktylion) nonus oznacza dziewiąty (stąd nonilion lub nonylion) deimus oznacza dziesiąty (stąd decylion) undecimus oznacza jedenasty (stąd undecylion) duodecimus oznacza dwunasty (stąd duodecylion) centum oznacza sto, lub centesimus - setny (stąd centylion)

26. LICZBY GIGANTY Liczby od jeden do biliard Liczby od trylion do kwintyliard Liczby od sekstylion do oktyliard Liczby od nonilion do centylion

27. ZADANIE 1 Jak dysponując dwoma nieregularnymi naczyniami o pojemności 3 i 5 litrów odmierzyć 4 litry. Nalewamy do naczynia 5-litrowego do pełna. Przelewamy z naczynia 5-litrowego do naczynia 3-litrowego tak, że w 5-litrowym zostaje nam dokładnie 2 litry. Wylewamy wodę z naczynia 3-litrowego. 2 litry będące w naczyniu 5-litrowym przelewamy do naczynia 3-litrowego. Do naczynia 5-litrowego nalewamy pełno wody i przelewamy ile się da wody do naczynia 3-litrowego - a da się1 litr, czyli w naczyniu 5-litrowym zostaje 1 litr wody.

28. ZADANIE 2 Dwaj ojcowie podarowali synom pieniądze. Jeden dał swemu synowi 150 zł, drugi zaś dał swojemu - 100 zł. Okazuje się jednak, że obaj synowie razem powiększyli swoje kapitały tylko o 150 zł. Jak to wyjaśnić? Byli dziadek, ojciec (syn dziadka) i syn. Dziadek dał ojcu 150 zł, zaś ojciec dał synowi 100 zł. Kapitał ojca zwiększył się o 50 zł, zaś kapitał syna o 100 zł. Razem 150 zł.

29. ZADANIE 3 Posługując się tylko dodawaniem napisz liczbę 28 przy pomocy pięciu dwójek, a jak tysiąc za pomocą ośmiu ósemek? Odpowiedź 22+2+2+2=28 888+88+8+8+8=1000

30. Złota liczba • Podział odcinka na takie dwie nierówne części, że stosunek większej części do mniejszej wynosi tyle samo, ile stosunek całego odcinka do większej części nazywa się złotym podziałem (złotym cięciem). • Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych. • Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.

31. W starożytności • Grecy wysoko cenili harmonię i proporcje. • złoty podział uważali za proporcję doskonałą. • stosowali go w architekturze i sztuce.

32. Złota liczba Parthenon na Akropolu Apollo Belwederski Twórcą rzeźby byłLeochares (IV wiek pne.) Linia I dzieli na dwie części całą postać w złotej proporcji, linia E wskazuje złotą proporcję między głową a górną częścią tułowia, linia O zaznacza podział nóg w kolanach według złotego cięcia. • fronton świątyni mieści się w złotym prostokącie • plan świątyni jest złotym prostokątem

33. Złote cięcie w przyrodzie Rysunek Leonarda da Vinci • Na wspólnej gałązce między każdymi dwiema parami listków trzecia para leży w miejscu złotego cięcia.

34. a + b a a b a b a + b Złoty podział odcinka • liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ(fi)). • Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części.

35. Wzory i zależności • dokładna wartość:przybliżona wartość: kwadrat złotej liczby: • złota liczba jest dodatnim rozwiązaniem równania: odwrotność złotej liczby: dokładna wartość: • przybliżona wartość:

36. Własności złotej liczby • Aby podnieść do kwadratu złotą liczbę, wystarczy dodać do niej jedynkę. • Aby znaleźć odwrotność złotej liczby, wystarczy odjąć od niej jedynkę. • Potęgi złotej liczby są liniowo zależne od tej liczby. (Współczynniki przy φ, jak i wyrazy wolne, są kolejnymi wyrazami ciągu Fibonacciego).

37. Złoty prostokąt • W złotym prostokącie stosunek długości do szerokości jest złotą liczbą

38. a - b b b a Złoty prostokąt • Prostokąt otrzymany po odcięciu możliwie największego kwadratu jest złotym prostokątem

39. Pięciokąt foremny a złota liczba • punkt przecięcia przekątnych pięciokąta foremnego wyznacza ich złoty podział. • przekątna pięciokąta foremnego pozostaje w złotej proporcji z jego bokiem. • złoty stosunek w pięciokącie foremnym odkrył i udowodnił Hippasus (V wiek pne).

40. Ciąg Fibonacciego • 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … • Liczby z ciągu nazywane są liczbami Fibonacciego, • pierwszy i drugi wyraz to 1,każdy następny to suma dwóch poprzednich, • postać rekurencyjna ciągu (fn – n-tywyraz ciągu):

41. Ciąg Fibonacciego a złota liczba • Dzieląc każdą z liczb tego ciągu przez poprzednią otrzymujemy coraz lepsze przybliżenia złotej liczby:3:2=1,5 5:3=1,(6) 8:5=1,6 13:8=1,625… 89:55=1,61818… 144:89=1,61797… • Wzór ogólny ciągu (φ-złota liczba) – wzór Bineta:

42. Liczby Fibonacciego w przyrodzie • Łuski ananasa, szyszek sosnowych, pestki w słonecznikach tworzą dwa układy linii spiralnych prawoskrętnych i lewoskrętnych. Liczby tych spiral to kolejne liczby Fibonacciego. • Liczby Fibonacciego rządzą układem liści prawie wszystkich roślin. • Niektóre drzewa rozrastają się według modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź.

43. Ananas

44. Słonecznik

45. C 36º D 36º 36º A B Złoty trójkąt • trójkąt równoramienny, w którym stosunek ramienia do podstawy jest równy złotej liczbie to złoty trójkąt. • w złotym trójkącie kąt między ramionami ma 36°.

46. LICZBA TRÓJKĄTNA • Liczba trójkątna to każda  taka liczba o numerze n, będąca na przykład liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z n kół. Graficznie liczby trójkątne można przedstawić następująco:

47. LICZBY TRÓJKĄTNE • Zależność na n-tą liczbę trójkątną można przedstawić według wzoru: gdzie n jest liczbą naturalną. Liczba trójkątna o n-tym numerze jest sumą kolejnych liczb naturalnych.

48. Liczba kwadratowa • Liczba kwadratowa natomiast to każda taka liczba o numerze n, będąca na przykład  liczbą kół jednakowej wielkości, z których można ułożyć kwadrat o boku zbudowanym z n kół. Graficznie liczby kwadratowe można przedstawić następująco:

49. Liczba kwadratowa • Zależność na n-tą liczbę kwadratową można przedstawić według wzoru: • gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb ciągu naturalnego.

50. Trójkąt pascala • Jednym z najbardziej interesujących układów liczbowych jest trójkąt Pascala (od nazwiska Blaise'a Pascala, sławnego francuskiego matematyka i filozofa). Aby zbudować trójkąt, zacznij od „1” na wierzchołku, następnie kontynuuj układanie liczb poniżej w układzie trójkąta.     Każda cyfra stanowi sumę dwóch wyżej położonych liczb, np. 1 + 3 = 4.