Potencias y raíz cuadrada

1. exponente base 23 cuatro veces Potencias y raíz cuadrada 1 Potencias de exponente natural mayor que 1 En la expresión 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 se repite el mismo factor 14 veces. 314 = 4.782.969 Para abreviar escribimos: 3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 314 314 es una potencia de base 3 y exponente 14: 314 La base es el factor que se repite. 234 = 23 · 23 · 23 · 23 El exponente indica el número de veces que se repite Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados: 52 es el cuadrado de 5. 103 = 1000 Las potencias de exponente 3 se llaman cubos: 103 es el cubo de 10. Otros ejemplos: (a)2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 (b) 65 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 210 = 1.024 IMAGEN FINAL

2. Un número positivo. Un número negativo. Potencias y raíz cuadrada 2 Potencias de base un número negativo Si la base es un número negativo: (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3)4 = 81 Pero (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3)5 = –243 Si el exponente es 4, resulta un número positivo porque hay un número par de signos negativos. Recuerda que (–) · (–) = + y que (–) · (–) · (–) = (–) Si el exponente es 5, resulta un número negativo porque hay un número impar de signos negativos. ¡Cuidado! (–5)2 = 25, pero –52 = –25 En general: Las potencias de base negativa y exponente par son positivas. Las potencias de base negativa y exponente impar son negativas. Otros ejemplos: (a) (–2)6 = 64 (b) (–4)2 = 16 Son positivas: (c) (–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1) )·(–1)·(–1) = (–1)8 = 1 (a) (–2)5 = –32 (b) (–4)3= –64 Son negativas: (c) (–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1 )·(–1)·(–1) = (–1)7 = –1 IMAGEN FINAL

3. 27.000 (3 · 2 · 5)3 = 32 · 22 · 52 ¡Ojo! Es falso que (2+3)3 = 23 + 33 Potencias y raíz cuadrada 3 Potencia de un producto En la expresión (3 · 2 · 5)3 la base de la potencia es un producto. es la potencia de un producto Puede hacerse de dos modos: Modo 1º Efectuando antes el producto de la base y después la potencia: (3 · 2 · 5)3 = 303 Repitiendo la base tantas veces como indica el exponente: Modo 2º (3 · 2 · 5)3 = (3 · 2 · 5) ·(3 · 2 · 5) · (3 · 2 · 5) = (3 · 3 · 3) ·(2 · 2 · 2) · (5 · 5 · 5) = 32 · 22 · 52 Luego, La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. Otros ejemplos: (b) (5 · (–4))3 = 53 · (–4)3 (a) (4 · 8)2 = 322 = 1024 = (–20)3 = 42 · 82 (c) (2+3)3 = 53 = 125, pero 23 + 33 = 8 + 27 = 35 IMAGEN FINAL

4. 64 O también: O también: Potencias y raíz cuadrada 4 Potencia de un cociente En la expresión (32 : 8)3 la base de la potencia es un cociente. es la potencia de un cociente Puede hacerse de dos modos: Modo 1º Efectuando primero el cociente de la base y después la potencia: (32 : 8)3 = 43 Repitiendo la base tantas veces como indica el exponente: Modo 2º (32 : 8)3 La potencia de un cociente es igual al cociente de la potencia del dividendo y de la potencia del divisor. (32 : 8)3 = 323 : 83 Luego, Otros ejemplos: (a) (6 : 2)4 = 34 = 81 (b) [(–15) : 3)3 = (–5)3 = –125 (c) (32 – 8)3 = 243 = 13824, pero 323 – 83 = 32768 – 512 = 32256 ¡Ojo! Es falso que (32 – 8)3 = 323 – 83 IMAGEN FINAL

5. Potencias y raíz cuadrada 5 Producto de potencias de la misma base son potencias que tienen la misma base. Los factores del producto 42 · 45 · 43 Es un producto de potencias de la misma base Puede hacerse de dos modos: 42 · 45 · 43 = 16 · 1024 · 64 = 1048576 Modo 1º Directamente, multiplicando: Escribiendo cada potencia como producto y agrupar después: Modo 2º 42 · 45 · 43 = (4 ·4) · (4 · 4 · 4 · 4 · 4) ·(4 ·4 ·4) = 42+5+3 = 410 Luego, 42 · 45 · 43 = 42+5+3 2, 5 y 3 factores El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base, y de exponente la suma de los exponentes de los factores. –2 = (–2)1 o 61 = 6 Ejemplos: 1. (–2)4 · (–2) · (–2)2 = (–2)4+1+2 = (–2)7 = –128, utilizando la propiedad vista. También es igual a: 16 · (–2) · 4 = –128, haciendo los productos de las potencias. = (–3)2 · (–3)3 · (–3) = (–3)6 2. En forma de potencia, la expresión: (a) 9 · (–3)3 · (–3) Igualmente:(b) 16 · (–2)3 = (–2)4 · (–2)3 = (–2)7 IMAGEN FINAL

6. Potencias y raíz cuadrada 6 Cociente de potencias de la misma base El dividendo y el divisor de son potencias de la misma base 65 : 63 Es un cociente de potencias de la misma base Puede hacerse de dos modos: Calculando las potencias y dividiendo: Modo 1º Desarrollando las potencias y simplificando: Modo 2º 65 : 63 = 65–3 65 : 63 El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia con la misma base, y con exponente la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor. Se admite que: 50 = 1; (–7)0 = 1 Caso: El cociente 54 : 54 = 1 Pero si aplicamos la propiedad 54 : 54 = 54–4 = 50 Ejercicio: Escribe en forma de potencia: (a) 27 : 24 (b) (–5)6 : (–5)3 (a) 27 : 24 = 27–4 = 23 (b) (–5)6 : (–5)3 = (–5)6-3 = (–5)3 IMAGEN FINAL

7. Potencias y raíz cuadrada 7 Potencia de una potencia La expresión (52)4 es una potencia cuya base es otra potencia. Se llama potencia de una potencia Puede hacerse de dos modos: (52)4 = (25)4 = 390625 Modo 1º Directamente, haciendo la potencia de la potencia: Escribiendo como producto de potencias y agrupar después: Modo 2º (52)4 = 52 · 4 (52)4 = 52 ·52 ·52 ·52 = 52+2+2+2 = 52 · 4 = 58 La potencia de una potencia es igual a otra potencia con la misma base, y de exponente el producto de exponentes. Ejercicios 340 es un número enorme: tiene 20 cifras. 1. Calcula: [(–2)4]2 [(–2)4]2 = (–2)4·2 = (–2)8 = 64 2. Calcula: [(35)4]2 [(35)4]2 = 35·4·2 = 340 3. Calcula: {[(–1)3]9}7 {[(–1)3]9}7 = (–1)3·9·7 = (–1)189 = –1 IMAGEN FINAL

8. Potencias y raíz cuadrada 8 Cuadrados perfectos Cuadrado de lado 1: 1 ficha cuadrada A los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … se les llama cuadrados perfectos 12 = 1 Cuadrado de lado 2: 4 fichas cuadradas 22 = 4 Cuadrado de lado 3: 9 fichas Los cuadrados perfectos se obtiene elevando al cuadrado los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 32 = 9 Cuadrado de lado 4: 16 fichas 42 = 16 100, 144 y 10000 son cuadrados perfectos, pues: 100 = 102, 144 = 122, 10000 = 1002 Cuadrado de lado 5: 25 fichas 52 = 25 IMAGEN FINAL

9. Potencias y raíz cuadrada 8 Cuadrados perfectos Cuadrado de lado 1: 1 ficha cuadrada A los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … se les llama cuadrados perfectos 12 = 1 Cuadrado de lado 2: 4 fichas cuadradas 22 = 4 Cuadrado de lado 3: 9 fichas Los cuadrados perfectos se obtiene elevando al cuadrado los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... 32 = 9 Cuadrado de lado 4: 16 fichas 42 = 16 100, 144 y 10000 son cuadrados perfectos, pues: 100 = 102, 144 = 122, 10000 = 1002 Cuadrado de lado 5: 25 fichas 52 = 25 IMAGEN FINAL

10. 1º. Como 100 = 102, se cumple que 2º. Potencias y raíz cuadrada 9 Raíz cuadrada exacta Sabemos que los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … son los cuadrados perfectos de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... También se dice que 1, 2, 3, 4, 5, 6, … son la raíz cuadrada de los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … respectivamente. Se escribe así: La raíz cuadrada es la operación opuesta de elevar al cuadrado Raíz cuadrada exacta de número es otro número que elevado al cuadrado es igual al número dado. Ejemplos: 3º. Ten en cuenta: Como 36 = 62 = (–6)2, 6 y –6 son raíces cuadradas de 36. IMAGEN FINAL

11. 1º. Como 100 = 102, se cumple que 2º. Potencias y raíz cuadrada 9 Raíz cuadrada exacta Sabemos que los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … son los cuadrados perfectos de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... También se dice que 1, 2, 3, 4, 5, 6, … son la raíz cuadrada de los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … respectivamente. Se escribe así: La raíz cuadrada es la operación opuesta de elevar al cuadrado Raíz cuadrada exacta de número es otro número que elevado al cuadrado es igual al número dado. Ejemplos: 3º. Ten en cuenta: Como 36 = 62 = (–6)2, 6 y –6 son raíces cuadradas de 36. IMAGEN FINAL

12. tendrá 1 cifra tendrá 2 cifras tendrá 2 cifras tendrá 3 cifras Potencias y raíz cuadrada 11 Cálculo de la raíz cuadrada por aproximaciones (I) Paso 1º: Determinar el número de cifras de la raíz cuadrada del número dado. Observa: 4 cifras 1 cifra 2 cifras 3 cifras La raíz cuadrada de cualquier número comprendido entre: entre entre 10000 y 1000000 tendrá 3 cifras 1 y 100 tendrá 1 cifra 100 y 10000 tendrá 2 cifras Así, por ejemplo: De otra manera: Para averiguar el número de cifras de la raíz cuadrada de un número, basta con formar grupos de dos cifras, empezando por la derecha (el último grupo puede estar formado por una sola cifra). La raíz cuadrada tendrá tantas cifras como grupos se hayan formado. IMAGEN FINAL

13. Luego, Calcula por aproximación (tendrá 2 cifras) Luego, Haciendo los cuadrados de 51, 52, …, se observa que: Potencias y raíz cuadrada 12 Números 2001 - Matemáticas 1º ESO Cálculo de la raíz cuadrada por aproximaciones (II) Paso 2º: Buscar dos cuadrados perfectos entre los cuales esté el número dado. Tendrá 3 cifras: será un número entre 100 y 1.000. Por ejemplo: Como1002 = 10.000 < 12.824 < 40.000 = 2002 · Para determinar la cifra de las decenas calculamos los cuadrados de 110, 120, 130, etc. Como1102 = 12.100 y 1202= 14.400, 12.100 < 12.834 < 14.400 · Para determinar la cifra de las unidades calculamos los cuadrados de 111, 112, 113, etc. Como: 1112 = 12.321 < 12.834, 1122= 12.544 < 12.834, 1132 = 12.769 < 12.834, 1142= 12.996 > 12.834 (con resto 55, pues 12.824 – 1132 = 55). Otro ejemplo: 402 = 1600 502 = 2500 602 = 3600 Probamos con 402, 502, 602, etc. 3456 IMAGEN FINAL

14. Potencias y raíz cuadrada 13 Regla para el cálculo de la raíz cuadrada (I) La regla tradicional para el cálculo de la raíz entera de un número requiere una organización específica que indicamos a continuación. Para calcular la raíz de un número, por ejemplo 1º. Se divide el radicando en grupos de dos cifras, empezando por la derecha. 2º. Se trazan líneas que faciliten la aplicación de la regla. Lugar para la raíz Espacio para operar Espacio para pruebas y tanteos 3º. Esta regla tiene pasos parecidos a los empleados en la división; también se restará y se bajarán cifras, pero en este caso por grupos de dos resto 4º. El último paso consistirá en la comprobación: en la prueba de la radicación: 118527 = (raíz)2 + resto IMAGEN FINAL

15. Calculemos Potencias y raíz cuadrada 14 Regla para el cálculo de la raíz cuadrada (II) 1º. Se calcula la raíz cuadrada del primer grupo de cifras: de 11. Es 3 2º. Se hace el cuadrado de 3 y se resta al primer grupo: a 11 4º. Se toma el doble de 3 que es 6: a su izquierda se coloca otro número (6d), de modo que (6d·d), dé un número lo más próximo a 285, sin superarlo 3 4 4 –9 6 64 · 4 = 256 3º. Se baja el segundo grupo de cifras: 85 2 85 684 · 4 = 2736 2 68 –2 56 5º. Se resta 285 – 256. 27 29 –27 36 7º. Se baja el tercer grupo de cifras: 27 Ese número es 4: 64 · 4 = 256 191 6º. El número d (4) se coloca a la derecha del 3: 34 9º. Se resta 2927 – 2736 El número 191 es el resto de la raíz. 8º.Se toma el doble de 34, 68, y se procede como en 4º Ese nuevo d vale también 4. Se multiplica: 684 · 4 = 2736. Por tanto, 10º. La cifra 4 se coloca a la derecha de 34: 3 4 4 11º.Se hace la prueba: 3442 + 191 = 118336 + 191 = 118527 IMAGEN FINAL

16. Potencias y raíz cuadrada 16 Resolución de problemas Problema: Se colocan fichas en filas y en columnas de modo que formen el mayor cuadrado posible. Quedan sin colocar 43 fichas. Si se tuviera 22 fichas más se podría formar un cuadrado sin que sobrara ninguna ficha. ¿Cuántas fichas hay? Primero: Tantear para comprender mejor Observamos que el número de fichas debe ser un cuadrado perfecto más 43 ( fichas sobrantes). Si ese número fuese 28, se tendría: 282 + 43 = 784 + 43 = 827. Sumando a ese número 22 (las fichas que faltan) deberá dar otro cuadrado perfecto. Pero, 827 + 22 = 849 no lo es. Luego no puede haber 827. El número 28 no es válido. Segundo: Hacer un dibujo Sobran 43 Con las fichas que sobran y faltan (43 + 22 = 65), completaríamos un cuadrado de lado 1 unidad mayor. Faltan 22 Luego 64, que es 65 – 1, es el doble del lado. (Quitamos 1 por que se repite.) El lado valdrá la mitad de 64: 32. El número de fichas será: 322 + 43 = 1067. Tercero: Comprobación. Si a 1067 se le suman 22: 1067 + 22 = 1089, que es igual a 332. IMAGEN FINAL