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Produto vetorial de dois vetores; Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial; Produto misto. Aula 4. PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES. Definição É um produto definido apenas para vetores do ℝ³ que resulta em um vetor do próprio ℝ³.

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Presentation Transcript

  1. Produto vetorial de dois vetores; Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial; Produto misto. Aula 4

  2. PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES Definição É um produto definido apenas para vetores do ℝ³ que resulta em um vetor do próprio ℝ³. O produto vetorial dos vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2) do ℝ³, denotado por x (lê-se vetorial ), é definido como: x =

  3. PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES • Características do vetor x • Consideremos os vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2). • Direção de x • O vetor x é simultaneamente ortogonal a e x x

  4. PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES Características do vetor x Consideremos os vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2). b) Sentido de x x

  5. PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES Características do vetor x Consideremos os vetores = (x1, y1, z1) e = (x2, y2, z2). c) Comprimento de x Se é o ângulo entre os vetores e não-nulos, então | x | = ||||sen

  6. PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES Exemplo O produto vetorial dos vetores = (1, 2, 1) e = (–2, 3, 1) é dado por:

  7. Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial No paralelogramo ao lado, determinado pelos vetores não-nulos e , a medida da base é e da altura é sen, a área A deste paralelogramo é A = (base)(altura) = sen ou seja, A = | x | sen Exemplo Determinar a área do paralelogramo formado pelos vetores = (2, 0, 0) e = (0, 3, 0)

  8. PRODUTO MISTO Definição Chama-se produto misto dos vetores = x1 + y1 + z1, = x2 + y2 + z2 e = x3 + y3 + z3, tomados nesta ordem, ao número real ( x ). O produto misto de , e também por (, ,). ( x ) =

  9. PRODUTO MISTO Propriedade do produto misto (, , ) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares. x

  10. PRODUTO MISTO Interpretação geométrica do módulo do produto misto Geometricamente, o produto misto ( x ) é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não-coplanares , e . V = | (, , ) | x

  11. PRODUTO MISTO Exemplos 1. Calcular o produto misto dos vetores = 2 + 3 + 5, = – + 3 + 3 e = 4 – 3 + 2. 2. Verificar se são coplanares os vetores = (2, –1, 1), = (1, 0, –1) e = (2, –1, 4). 3. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores = (0, 1, 2), = (4, 2, 1) e = (3, m, 2) seja igual a 33.

  12. REFERÊNCIAS LORETO, A. P.; LORETO, A. C. C. Vetores e geometria analítica – teoria e exercícios. 2. ed. SP: LCTE, 2009. WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. SP: Bookman, 2009. CORRÊA, P. S. Q, Álgebra linear e geometria analítica. Rio de Janeiro: Interciência, 2006. CENGAGE LEARNING 2010.

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