1 / 19

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 6b)

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 6b). Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi. Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü. Örnek. EULER METOD U Euler Metod u ile basit bir ODE çözümü Diferansiyel denklemin y’ = f( x, y ) a≤ x ≤ b olduğunu düşünelim

stu
Download Presentation

YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 6b)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 6b) Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi

  2. Diferansiyel Denklemlerin Sayısal Çözümü

  3. Örnek EULER METODU Euler Metodu ile basit bir ODE çözümü Diferansiyel denkleminy’=f(x,y) a≤x≤bolduğunu düşünelim y’ = x + y; 0 ≤ x ≤ 1 a = 0, b = 1, y(0) = 2. İlk olarak h=0.5 (n = 2)için yaklaşık çözümü buluruz, çok büyük basamak boyutundadır. Yaklaşık olarakx1 = 0.5 y1=y0 + h (x0 + y0)= 2.0 + 0.5 (0.0 + 2.0) = 3.0 Sonra h=0.05 olsun diye n=20 aralığında yaklaşık çözümü buluruz.

  4. Eulerin Matlab ile çözümü

  5. İşaret (Euler)

  6. Değiştirilmiş Euler Metodu

  7. Yüksek Düzey Taylor Metodları Daha iyi bir çözüm elde etmenin teknik bir yolu daha yüksek dereceden kesme hatası içerisinde Y için Taylor serilerinde daha fazla terim kullanmaktır. Örneğin ikinci düzey Taylor metodu kullanımı y(x+h)=y(x)+hy’(x)+(h2/2)y’’(x)+O(h3) O(h3), lokal kısıtlanmış hatadır.

  8. Taylor Metodu ile basit bir ODE çözümü Diferansiyel denklem düşünelim y’=x+y; 0≤x≤1önceki şart ile y(0)=2. İkinci düzey Taylor metot denklem uygulamasını buluruz. y’’=d/dx(x+y)=1+y’=1+x+y Bu verilenler yaklaşık formüllerdir. y(x+h)=y(x)+hy’(x)+(h2/2)y’’(x)

  9. Devamı yi+1=yi+h(xi+yi)+(h2/2)(1+xi+yi) n=2 (h=0.5) için bulduğumuz değerler; y1=y0+h(x0+y0)+(h2/2)(1+x0+y0)= =2+0.5(0+2)+((.5)2/2)(1+0+2)=3.375 y2=y1+h(x1+y1)+(h2/2)(1+x1+y1)= =3.375+0.5(0.5+3.375)+((0.5)2/2)(1+0.5+3.375)=5.9219

  10. MATLAB Program f. Taylor

  11. İşaret (Taylor)

  12. Runge-Kutta Metodu Runge-Kuttayöntemlerimühendislikuygulamalarındakullanılan en popüleryöntemdir. Sebebi basitliği ve doğruluğudur. En basit Runge-Kutta metodlarından biri, Eulermetodu ile belirtilen y deki değişikliğin yarısının çekilmesiylexi + h/2 ve yideki akım değerinin toplanmasıylay nin yaklaşık değeri bulunur. Bu metot midpointmetot olarak bilinir.

  13. MidpointMetod k1=hf(xi,yi) Euler metodunda belirtilen y deki değişiklik. k2=hf(xi+0.5h,yi+0.5k1)midpoint de hesaplanan eğimde kullanılan y deki değişiklik.

  14. Midpoint Metodu ile basit bir ODE çözümü Diferansiyel denklem düşünelim y’=x + y; 0≤ x ≤1 önceki şartlar ile(a=0.0, b=0.0),y(0) = 2. İlk olarak h=0.5 (n=2) için yaklaşık çözümü bulmalıyız, çok büyük basamak boyutundadır. k1=hf(x0,y0)=0.5(0.0+2.0)=1.0 k2=hf(x0+0.5h,y0+0.5k1)=0.5(0.0+0.5*0.5+2.0+0.5*1.0)=1.375 Y1=y0+k2=2.0+1.375=3.375 Sonra, y2noktası için yaklaşık çözümü buluruz.x2=0.0+2h=1.0

  15. Devamı • k1=hf(x1,y1)=0.5(x1,y1)=0.5(0.5+3.375)=1.9375 • k2=hf(x1+0.5h,y1+0.5k1)=0.5(0.5+0.5*0.5+3.375+0.5*1.9375)=2.547 y2=y1+k2=3.375+2.5469=5.922

  16. MidpointMatlab Programı

  17. İşaret (Midpoint)

  18. Bölüm 6b Sonu

  19. Referanslar Celik, Ismail, B., “IntroductoryNumericalMethodsforEngineering Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458 Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Varol, A., “SayisalAnaliz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001

More Related