A MAGIA DA MATEMÁTICA (A arte de produzir fome...)

1. A MAGIA DA MATEMÁTICA(A arte de produzir fome...) “É natural que nossos alunos sintam mais prazer quando estão envolvidos em atividades desafiadoras e que permitam a descoberta. É o que chamamos de heurística. Para isso precisam de estímulo, de motivação, de provocação.” Prof. Ilydio Pereira de Sá (UERJ – USS – UNIFESO) www.magiadamatematica.com

2. POR QUE TEM DE SER UMA “MÁ-TEMÁTICA”? A Matemática tem a duvidosa honra de ser a matéria menos apreciada do curso ... Os futuros professores passam pelas escolas elementares aprendendo a detestar a Matemática ... Depois, voltam à escola elementar para ensinar uma nova geração a detestá-la.“ (Educational Testing Service, Princeton)

3. Não podemos esquecer a importância do aspectolúdico, associado ao exercício intelectual, característico da matemática. Infelizmente, parece que tal aspecto tem sido desprezado. Por que não introduzir no currículo uma matemática construtiva, lúdica, desafiadora, interessante, nova e útil para o mundo moderno? (UBIRATAN D’AMBROSIO)

4. "Por ter alto valor no desenvolvimento da inteligência e do raciocínio, é a Matemática um dos caminhos mais seguros por onde podemos levar o homem a sentir o poder do pensamento, a mágica do espírito.“ (MALBA TAHAN em O HOMEM QUE CALCULAVA)

5. Aprender sem pensar é trabalho perdido. Confúcio ( 551- 479 a. C. ) – Filósofo Chinês Todos sabemos do medo que a maioria das pessoas têm da matemática. Sabemos que o mito de ciência difícil, hermética e sem grandes atrativos, percorre gerações. Sabemos também que a atitude do professor, as metodologias usadas e o seu próprio modo de “encarar” a matemática são fundamentais no combate ou no reforço desse mito.

6. Por que aprender Matemática? Algumas perguntas que nossos alunos fazem ... • Professor, para que serve toda essa Matemática que estamos estudando? • Todas esses números e fórmulas não são para mim... não tenho cabeça para isso! Qual o verdadeiro papel da Matemática na formação do aluno? Como fazer para motivá-los para o estudo da Matemática?

7. Respostas, às vezes evasivas ... “Tudo isso você vai precisar para o que vai aprender mais tarde” ... ... o que nem sempre é verdadeiro, todos sabemos.

8. Muito do que ainda restou e que se ensina no modo tradicional, descontextualizado, está lá por mesmice. Ninguém tem coragem de tirar dos programas. A única razão é de natureza histórica – há tempo se ensina isso. E o professor infere: "se me ensinaram é porque era importante, portanto...ensino o que me ensinaram". (D’AMBROSIO)

9. Ninguém ilustrou melhor essa reflexão que René Thom, um dos mais importantes matemáticos do século passado, ao divulgar um poema de um sábio chinês, que diz: "Havia um homem que aprendeu a matar dragões e deu tudo que possuía para se aperfeiçoar nessa arte. Depois de três anos ele se achava perfeitamente preparado mas, que frustração, não encontrou oportunidades de praticar sua habilidade." (Dschuang Dsi) "Como resultado ele resolveu ensinar como matar dragões." (René Thom)

10. Usando atividades lúdicas, problemas heurísticos (desafiadores), curiosidades, histórias, tecnologias, etc, os educadores matemáticos têm um poderoso auxílio para a sua prática docente cotidiana. Existem saídas? Ajudaria bastante se os professores da Escola Básica, trouxessem para a sala de aula questões práticas interessantes, histórias, desafios, jogos, curiosidades, que sirvam de fatores de motivação e investigação.

11. O importante é que tais atividades sejam trabalhadas e investigadas, resistindo à tentação inicial de buscar “regras decoradas” e sem significado.

12. A tentativa e o erro são muito importantes no processo de aprendizagem. Numa atividade de investigação matemática o resultado é importante, mas, muito mais importante que a resposta é o caminho percorrido para encontrá-la.

13. [...]Toda experiência de aprendizagem se inicia com uma experiência afetiva. É a fome que põe em funcionamento o aparelho pensador. [...] • [...] conhecimentos que não são nascidos do desejo são como uma maravilhosa cozinha na casa de uma pessoa que sofre de anorexia. Pessoa sem fome: o fogão nunca será aceso. O banquete nunca será servido. [...] (Rubem Alves – 2002)

14. O enfoque progressista que ampara a Educação Matemática concebe o ensino de Matemática integralmente comprometido com a transformação social, desenvolvendo estratégias que solicitam maior participação do aluno, de modo que a Matemática seja atraente, prazerosa, lúdica e útil, tanto quanto instrumento para a vida e para o trabalho.

15. A proposta é a de instigar o aprender da matemática não como um ato mecânico de “decorar e aplicar fórmulas”, mas compreender que “a matemática” está na vida, muito antes de ser apreendida ou apresentada no espaço escolarizado. Cabe, portanto, despertar o interesse, o prazer por esta matemática. Foi com essa finalidade que selecionamos todas as atividades lúdicas apresentadas. Estas poderão ser usadas em sala de aula da educação básica, por professores ou como sugestões para futuros professores.

16. Explorando o lado lúdico da Matemática Motivação, desafio Ponto de Partida Quais as vantagens?

17. Tomada de decisões; trabalho em equipes; desenvolvimento de estratégias, da imaginação e da criatividade. Muitas situações diárias se assemelham a jogos e desafios e que exigem tomada de decisões. Essencial na construção dos conceitos Matemáticos e em situações do dia-a-dia. DESENVOLVIMENTODE HABILIDADES SITUAÇÕES DO COTIDIANO RACIOCÍNIO LÓGICO DEDUTIVO POSSIBILIDADES DOS JOGOS, DESAFIOS E ATIVIDADES LÚDICAS

18. Algumas atividades Lúdicas que podem ser aplicadas em sala de aula.

19. Atividade 1: Investigando quadrados perfeitos Sobre o tema raiz quadrada, existem ricas atividades investigativas que podem gerar procedimentos interessantes para esse cálculo, ao mesmo tempo que permitem também relembrar importantes propriedades dos números naturais. Vamos aqui exibir duas dessas atividades, que permitem saber se o número natural dado é um quadrado perfeito e, ao mesmo tempo, determinar a sua raiz quadrada. As duas técnicas que mostraremos, por sua simplicidade, poderão ser trabalhadas nas classes do Ensino Fundamental, associadas a outros temas tradicionais, como divisores de um número natural, por exemplo.

20. A) Subtraindo números ímpares Uma forma de verificarmos se um número é quadrado perfeito é subtraindo-o, sucessivamente da seqüência dos números ímpares. Se chegarmos ao resultado zero, o número em questão é quadrado perfeito e o número de subtrações feitas é exatamente o valor da raiz quadrada desse número. Vejamos alguns exemplos: 16 16 – 1 = 15 15 – 3 = 12 12 – 5 = 7 7 – 7 = 0 Logo, o número 16 é um quadrado perfeito e a raiz quadrada de 16 é exatamente 4 (o número de subtrações que fizemos).

21. 36 36 – 1 = 35 35 – 3 = 32 32 – 5 = 27 27 – 7 = 20 20 – 9 = 11 11 – 11 = 0 Logo, o número 36 é um quadrado perfeito e a raiz quadrada de 36 é exatamente 6 (o número de subtrações que fizemos). 24 24 – 1 = 23 23 – 3 = 20 20 – 5 = 15 15 – 7 = 8 8 – 9 ≠ 0 Logo, o número 24 NÃO é um quadrado perfeito. Como se justifica o processo?

22. JUSTIFICATIVA: Para um aluno do Ensino Médio podemos, através da soma da P.A, mostrar que a soma dos n primeiros números naturais ímpares é igual a n2. Logo, temos: 1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2n – 1) = n2 É claro então que, se fizermos a subtração n2 – 1 – 3 – 5 – 7 - ... Chegaremos sempre a zero. Como são n parcelas, o número de subtrações é exatamente o valor da raiz quadrada procurada (n). Para um aluno do Ensino Fundamental podemos também mostrar que essa soma é igual a n2, através de indução incompleta, fazendo com eles alguns exemplos para buscar a lei de formação. 1 + 3 = 4 = 22 (são duas parcelas) 1 + 3 + 5 = 9 = 32 (são três parcelas) 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 (são quatro parcelas) ...

23. Pitágoras e seus discípulos imaginavam os números naturais como pontos ou figuras geométricas. Assim sendo, essa propriedade dos números quadrados, pode ser vista e verificada através da seguinte seqüência de imagens.

24. B) Através dos divisores naturais do número investigado “Todo quadrado perfeito tem uma quantidade ímpar de divisores naturais. Ordenando tais divisores de forma crescente, o valor da raiz quadrada do número investigado é exatamente o número que se encontra no centro dessa seqüência.” Vejamos alguns exemplos: 49 Os divisores naturais de 49 são: 1, 7, 49. Como são 3 divisores (uma quantidade ímpar), o número 49 é quadrado perfeito. O termo que está no centro da seqüência ordenada dos divisores é o 7, logo, a raiz quadrada de 49 é igual a 7.

25. 64 Os divisores naturais de 64 são: {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64} Como são 7 divisores (uma quantidade ímpar), o número 64 é quadrado perfeito. O termo que está no centro da seqüência ordenada dos divisores é o 8, logo, a raiz quadrada de 64 é igual a 8. Como se justifica o processo?

26. Justificativa 1 x 64 = 64 2 x 32 = 64 8 x 8 = 64, o que justifica o método 4 x 16 = 64 Por exemplo, o número 64 tem como divisores naturais os números: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Veja que se “pegarmos” os pares de divisores eqüidistantes dos extremos, teremos todas as duplas de fatores naturais que geram o produto igual a 64. Veja: 1 2 4 8 16 32 64 É claro que, só quando a quantidade de divisores for um número ímpar vai existir esse termo central, que é a raiz quadrada procurada.

27. Agora vou descobrir as idades de alguns de vocês. Basta dizer sim ou não, conforme a sua idade esteja ou não nas telas que irão surgir em seguida. Clicar aqui Atividade 2: O adivinho indiscreto Qual a justificativa matemática desse jogo?

28. Justificativa Esta atividade envolve uma interessante propriedade dos números naturais e do Sistema Binário de numeração. “Todo número natural pode ser escrito como uma soma de potências de 2” Vejamos, por exemplo, o número 23. Em primeiro lugar vamos escrevê-lo na base 2. Logo, o número 23, escrito na base 2, fica: 23 = 101112 . Isto significa que:

29. Assim sendo, o número 23 só irá aparecer (SIM) nas cartelas iniciadas pelas potências de 2 que estão na sua decomposição (1, 2, 4, 16). Nós só temos que somar esses valores. Verifique na tabela !

30. Imagine que você pedisse a um aluno do Ensino Fundamental que calculasse uma área irregular e não poligonal. Esse cálculo, de forma aproximada, poderia ser feito com uma balança de dois pratos? Atividade 3:Área com balança????

31. Tira retangular, com 1 cm de largura, feita com o mesmo material que a figura que se deseja calcular a área. Devemos colocar uma tira bem grande e ir cortando com cuidado. Quando a balança ficar em equilíbrio, se a tira tiver x cm de comprimento, a área da figura será x cm2. Por que?

32. Atividade 4: Quebra-cabeça com Pitágoras Atualmente existem, catalogadas, cerca de 400 demonstrações do Teorema de Pitágoras. Várias dessas demonstrações podem ser iniciadas com quebra-cabeças interessantes, como o que vamos propor. Trata-se de uma simples e criativa solução de Henry Perigal, publicada em 1873, em Londres. A partir de um triângulo retângulo qualquer, construímos 3 quadrados. Um sobre a hipotenusa e os outros dois sobre os catetos. Traçamos, em seguida, dois segmentos de reta no quadrado construído sobre o maior cateto, passando pelo seu centro, sendo um dos segmentos paralelo e o outro perpendicular à hipotenusa do triângulo retângulo.

33. A proposta do quebra-cabeça é recortar as 4 partes obtidas sobre o quadrado do meio e o quadrado menor e, com as 5 peças obtidas, tentar recobrir o quadrado maior (que foi feito sobre a hipotenusa).

34. Solução

35. Veja com recursos de Geometria Dinâmica

36. Veja que idéia genial !!!!

37. Atividade 5: SOFTWARE PARA DESENVOLVIMENTO DE RACIOCÍNIO ESPACIAL – CONSTRUFIG 3D

38. Sobre o CONSTRUFIG3D O CONSTRUFIG3D é um software gráfico para construção de figuras geométricas tridimensionais a partir de figuras geométricas bidimensionais. • O aluno pode selecionar o tipo e quantidade de figuras, a partir das opções disponíveis e verifica se é possível gerar uma figura tridimensional compatível. Isto é feito de uma forma interativa utilizando um método de tentativa e erro.

39. Link para download do software: http://sites.google.com/site/construfig3d/Home/download  DEMONSTRAÇÃO Coordenação do Projeto: Dr. Carlos Vítor de A. Carvalho http://sites.google.com/site/carlosvitorcarvalho

40. Atividade 6: Área do Círculo A seguir, uma atividade de Geometria Dinâmica, para demonstração da fórmula da área do círculo.

41. Atividade 7: Produto de Frações Normalmente as operações de Adição e Subtração de frações costumam ser associadas à visualizações com chocolates, pizzas ou similares. O que não é usual é um processo para a visualização do produto de frações. A seguir mostraremos uma forma prática e visual para tal operação. O professor pode fazer um modelo com transparências, retroprojetor ou até mesmo com papel transparente.

42. Sugerimos usar a representação das frações como partes de um mesmo todo. Para uma das frações a serem multiplicadas usamos uma representação com linhas horizontais e para a outra com linhas verticais. Fazendo a sobreposição das duas frações, através da interseção dos conjuntos representados, teremos o produto dessas frações. Vejamos alguns exemplos. Vamos representar esse produto geometricamente: Deslizando uma fração sobre a outra

43. Simples, não? Dessa forma, podemos concluir que para multiplicarmos duas frações, basta determinarmos o produto de seus numeradores e de seus denominadores.

44. Atividade 8: Identificando códigos de barras EAN - 13

45. Interpretando os Códigos de Barras O código de barras, que foi desenvolvido nos Estados Unidos pelo Uniform Code Council (UCC), é lido por raio laser(leitura ótica). O código mais utilizado atualmente é o EAN/UCC-13, que usa um conjunto de 13 dígitos, sendo que o último (chamado de dígito verificador) é obtido mediante operações matemáticas com os outros 12, conforme veremos em nosso estudo.

46. Atividade: Observe com atenção as embalagens a seguir. Verifique que todas têm um código de barras (neste caso com 13 algarismos). Se você comparar essas embalagens, através de informações como: País de origem, produto, empresa, ... poderá tirar uma série de conclusões a respeito desses códigos de barras. Uma dica: Esse código, que é um dos mais usados no Mundo todo, pode ser subdividido em 4 partes: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

47. 789 1000 25260 4 Dois produtos da Nestlé - Brasil 789 1000 14810 5

48. 789 1022 16100 7 789 1022 63800 4 Dois produtos da Bombril - Brasil

49. 789 1024 17861 4 789 1024 19530 7 Dois produtos da Colgate Palmolive - Brasil

50. 789 3333 26010 3 789 3333 17211 6 Dois produtos da Flashmann Royal - Brasil