Dane INFORMACYJNE

Dane INFORMACYJNE • Nazwa szkoły: • ZESPÓŁ SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH • ID grupy: • 97/53_MF_G2 • Kompetencja: • MATEMATYCZNO-FIZYCZNA • Temat projektowy: • RÓWNANIA DIOFANTYCZNE • Semestr/rok szkolny: • SEMESTR II/2011/2012

Równania diofantyczne • Cele jakie postawiliśmy sobie w tym temacie: • Znalezienie i zaprezentowanie podstawowych informacji o równaniach diofantycznych i sposobach ich rozwiązywania. • Stworzenie prezentacji multimedialnej prezentującej wyniki projektu.

WSTęp • Równaniem diofantycznym nazywamy równanie, z reguły o kilku niewiadomych, którego rozwiązań szukamy w liczbach całkowitych. • Przykłady:

WSTęp • Nazwa równań diofantycznych pochodzi od imienia greckiego matematyka Diofantosa (III w. n. e.). Znany jest epigram o długości jego zycia: • Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant - a dzieki przedziwnej sztuce • zmarłego i wiek Jego zdradzi ci ten głaz: • Chłopcem przez szóstą część życia pozostać bóg mu pozwolił, • Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów część życia minęła, • A znowu żywota gdy przebył część siódma, • Młodą małżonkę w dom dobry wprowadził mu bóg. • Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka. • Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiek ojca • w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades. • Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofantwśród liczb • Jeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał sie z życiem.

WSTęp • Tłumacząc na język bardziej przystępny mamy: • 1/6 życia zajęła mu młodość, • potem po 1/12 życia wyrosła mu broda, • następnie po 1/7 życia ożenił się, • po 5 latach urodził mu sie syn, • syn żył połowę krócej od ojca, • ojciec zmarł 4 lata po synu. • Oblicz ile lat żył Diofantos!

Równania diofantyczne • Twierdzenie 1. • Równanie diofantyczne • posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

Równania diofantyczne • Twierdzenie 1. • Ponadto jeśli para liczb całkowitych x0, y0 jest rozwiązaniem równania • to wszystkie rozwiązania dane są wzorami: • gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.

Równania diofantyczne Przykład 1.Znajdź rozwiązania równania Do znalezienia NWD liczb 309 i 186 zastosujemy algorytm Euklidesa, zatem: Zatem

Równania diofantyczne Przykład 1.Znajdź rozwiązania równania Ponadto Zatem

Równania diofantyczne Przykład 1.Znajdź rozwiązania równania Stąd rozwiązaniem naszego równania diofantycznego jest para liczb: Aby znaleźć pozostałe rozwiązania, zastosujemy dalszą część twierdzenia 1, mianowicie:

Równania diofantyczne Przykład 1.Znajdź rozwiązania równania W konsekwencji mamy: gdzie t jest dowolną liczbą całkowitą.

Równania diofantyczne Przykład 2.Ile biletów po 3 zł i po 5 zł moznakupic za 149 zł, jeslinalezywydacwszystkie pieniadze? Niech: x – ilość biletów po 3 zł y – ilość biletów po 5 zł Zatem musimy rozwiązać następujące równanie diofantyczne: Postępujemy podobnie jak w rozwiązaniu poprzedniego równania.

Równania diofantyczne Przykład 2.Ile biletów po 3 zł i po 5 zł moznakupic za 149 zł, jeslinalezywydacwszystkie pieniadze? Zatem Mnożąc obustronnie przez 149 otrzymujemy:

Równania diofantyczne Przykład 2.Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydąć wszystkie pieniądze? No tak. Ale przecież nie można kupić -149 biletów, zatem szukamy teraz pozostałych rozwiązań. Rozwiązania muszą być liczbami nieujemnymi, czyli:

Równania diofantyczne Przykład 2.Ile biletów po 3 zł i po 5 zł można kupić za 149 zł, jeśli należy wydąć wszystkie pieniądze? Zatem bilety można kupić na następujące sposoby:

Równania diofantyczne • Twierdzenie 2. • Równanie diofantyczne • posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

Równania diofantyczne Przykład 3.Znajdź rozwiązania równania Niech Otrzymujemy zatem układ równań: Rozwiązując drugie równanie metodą z poprzednich przykładów mamy:

Równania diofantyczne Przykład 3.Znajdź rozwiązania równania Łatwo zauważyć, że w pierwszym równaniu zachodzi zależność: czyli

Równania diofantyczne Przykład 3.Znajdź rozwiązania równania Podstawiając rozwiązanie do rozwiązań z pierwszego równania, otrzymujemy następujące równania końcowe: gdzie u i t są dowolnymi liczbami całkowitymi.

Bibliografia • Wykaz najważniejszych źródeł, z których korzystaliśmy tworząc niniejszą prezentację: • W. Sierpiński, Wstęp do teorii liczb, PZWS, Warszawa 1956 • Wykład dr Andrzeja Sładka z Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach, listopad 2005

Prezentację dla Państwa przygotowali: • Oliwia Grudziecka • Martyna Jakubowska • Joanna Opałka • Agata Pawłowska • Magdalena Socha • Daniela Świadek • Monika Wałkiewicz • Małgorzata Wyciślak • Magdalena Żurawska • Denis Özer

Dziękujemy za uwagę!

Dane INFORMACYJNE