GEOMETRÍA PLANA

1. GEOMETRÍA PLANA TEMA 8 * 3º ESO Apuntes de Matemáticas 3º ESO

2. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TEMA 8.4 * 3º ESO Apuntes de Matemáticas 3º ESO

3. FIGURAS SEMEJANTES • Dos figuras son semejantes si presentan la misma forma pero distinto tamaño. • Ejemplos: Un árbol en la realidad y una fotografía impresa del mismo árbol. O un edificio y la maqueta de dicho edificio. • Al reducir o ampliar una figura obtenemos otra figura semejante. • Las dimensiones de las figuras semejantes son proporcionales. • La constante que permite pasar de las dimensiones de una figura a las dimensiones de la figura semejante se llama razón de semejanza. • Para ampliar, la razón de semejanza es mayor que la unidad. • Ejemplo: Al dibujar un virus o una bacteria visto por microscopio. • Para reducir la razón de semejanza es menor que la unidad. • Ejemplo: Al dibujar el plano callejero de mi ciudad. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

4. A B” C” B’ C’ B C Teorema de Tales • Si dos rectas secantes (en rojo en la figura) son cortadas por rectas paralelas entre sí (en azul en la figura), los segmentos que determinan en las rectas secantes son proporcionales. • Podemos poner: • AB’ AC’ B’C’ • ----- = ----- = ------ = r • AB AC BC • Y también: • AB” AC” B”C” • ----- = ----- = ------ = r’ • AB AC BC • Los triángulos ABC, AB’C’ y AB”C” son semejantes. Apuntes de Matemáticas 3º ESO

5. A • Ejemplo: • Sea el triángulo ABC tal que, • AB=10, BC=6, CA = 8 • Trazamos una recta paralela al lado BC. • Los triángulos ABC y AB’C’ son semejantes. • Se cumple que: • AB’ AC’ B’C’ • ----- = ----- = ------ = r • AB AC BC • 5 4 3 • --- = ---- = ---- = 0,5 • 10 8 6 • La razón de semejanza es r=0,5 B’ C’ B C Apuntes de Matemáticas 3º ESO

6. Triángulos en posición de Tales • Dos o más triángulos están en posición de Tales si comparten un ángulo y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos. • En la figura comparten el ángulo A y los lados a, a’, a’’ son paralelos. • Si dos o más triángulos están en posición de Tales, entonces son semejantes y se cumple: • a b c • ----- = ----- = ------ = r • a’ b’ c’ • Siendo a, b y c los lados de un triángulo; y a’, b’ y c’ los lados homólogos del otro triángulo. A c’’ b’’ B” C” c’ a’’ b’ c b B’ C’ a’ B C a Apuntes de Matemáticas 3º ESO

7. Problema • Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio son de 0,5 m y de 8,4 m respectivamente. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: 1 0,5 --- = ------  0,5. h = 8,4  h = 16,8 m H 8,4 H 1 m s S Apuntes de Matemáticas 3º ESO

8. Problema_2 • Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio suman 10 m y la sombra del edifico, en ese instante, es la cuarta parte de su altura. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: 1 s 1 10 - S --- = ------  ------ = -------- H S 4.S S 1 = 40 – 4.S  4.S = 39  S = 9,75 m Luego H = 4.S = 4.9,75 = 39 m H 1 m s S Apuntes de Matemáticas 3º ESO

9. Problema_3 • En la siguiente figura, hallar la medida de los segmentos x, y y z. • Se sabe que las dos líneas rojas son paralelas al lado a , de valor desconocido. • Las líneas paralelas a la base a forman triángulos en posición de Tales. • Al ser triángulos semejantes se cumplirá: • r = x / 4 = 9 / 3 = y / 2 • Luego r = 3 • Y por tanto: • x = 4.r = 4.3 =12 cm • y = 2.r = 2.3 = 6 cm 2 cm a 3 cm 4 cm x 9 cm y Apuntes de Matemáticas 3º ESO

10. Problema_4 • Veamos de otra manera: • r = 27 / (4+2+x) = (y+z) / (4+2) • r = 27 / (4+2+x) = (27 – 9) / (4+2) • O sea: 27 /(6+x) = 18 / 6 • 27 /(6+x) = 3 ; 27 = 18+3.x ; 3.x = 9 ; x = 3 • Como r = 9 / x  r = 9 / 3 = 3 • Y ya podemos hallar y y z: • y = 4.r = 4.3 = 12 ; z = 2.r = 2.3 = 6 • En la siguiente figura, hallar la medida de los segmentos x, y y z. • Se sabe que las dos líneas rojas son paralelas al lado a , de valor desconocido. • Las líneas paralelas a la base a forman triángulos en posición de Tales. • Al ser triángulos semejantes se cumplirá: • r = y / 4 = 9 / x = z / 2 = (9+y+z)/(4+x+2) • Pero no podemos obtener r. 2 cm a x 4 cm y 9 cm z 27 cm Apuntes de Matemáticas 3º ESO

11. Aplicación de Thales • Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. • 1.- Se traza una recta desde A • con una inclinación cualquiera • respecto al segmento AB. B A Apuntes de Matemáticas 3º ESO

12. Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. • 2.- Sobre dicha recta se llevan siete veces consecutivas una distancia d cualquiera. d d d d d d d B A Apuntes de Matemáticas 3º ESO

13. Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. • 3.- Se une el extremo resultante de la recta con el punto B del segmento a dividir. Se trazan paralelas a la línea trazada anteriormente que pasen por las divisiones de la recta. d d d d d d d B A Apuntes de Matemáticas 3º ESO

14. Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. • 4.- Los cortes de las paralelas así trazadas con el segmento AB nos determinarán las 7 partes en que queda dividido el segmento AB. d d d d d d d B A Apuntes de Matemáticas 3º ESO