Proportionnalité et fonction linéaire

1. Proportionnalité et fonction linéaire David Rolland, formateur en Mathématiques

2. Plan du cours- Faire le point sur ses connaissances - Les apports théoriques - Types de problèmes et méthodes de résolution - Quelques exemples de fonctions numériques - L’enseignement de la proportionnalité à l’école élémentaire (didactique)

3. Faire le point sur ses connaissances : 1/ Qu’évoque pour vous le terme « proportionnalité » ? 2/ Ces affirmations sont-elles vraies ou fausses ? a/ La taille d’une personne varie proportionnellement à son poids. b/ 5 et 7 sont proportionnels à 8 et 10. c/ Pour l’essence, le prix à payer est proportionnel à la quantité achetée. d/ 4 et 6 sont proportionnels à 5 et 7,5. e/ Le périmètre d’un cercle est proportionnel à son rayon. f/ L’aire d’un disque est proportionnelle à son rayon.

4. 3/ Résoudre le problème suivant en utilisant le plus de méthodes possibles. « 6 mètres de tissu coûtent 4 euros. Quel est le prix de 9 mètres du même tissu ? » 4/ Résoudre le problème suivant (extrait de l’émission « Coucou c’est nous » TF1) « Une poule et demie pond un œuf et demi en un jour et demi. Combien d’œufs pondent neuf poules en neuf jours ? »

5. I/ les apports théoriques 1/ Suites de nombres proportioonnelles Définition 1 : Deux suites de nombres réels (ayant le même nombre de termes) sont proportionnelles si on peut passer de chaque terme de la première suite au terme correspondant de la deuxième par un même opérateur multiplicatif Exercice 1 : les suites de nombres suivants sont-elles des suites proportionnelles ? a/ (10; 11; 12; 13) et (35; 38,5; 42; 45,5). b/ (0,5; 0,75; 0,9; 1,5; 2) et (2; 2,5; 2,8; 4; 5)

6. Exercice 2 : Compléter ces deux suites pour qu’elles soient proportionnelles ? Suite n°1 : ( 5 ; 7 ; ? ; ? , 12 ) Suite n°2 : (6 ; ? ; 10,2 ; 12 ; ? ). • Définition 2 : • L’opérateur multiplicatif qui permet de passer de chaque terme de la première suite à chaque terme de la seconde est aussi appelé coefficient de proportionnalité entre la première suite et la deuxième.

7. Définition 3 : On peut, ranger les valeurs des deux suites dans un tableau de valeurs appelé tableau de proportionnalité. • Exemple 1 :

8. Exemple 2 : X 4/3 X 3/4 Exemple 3 : X a X 1/a On a les égalités suivantes : y1 = a.x1 ; y2 = a.x2 ; y3 = a.x3 ; …. ; yn = a.xn .

9. Le coefficient de proportionnalité entre la deuxième suite et la première suite est l’inverse du coefficient de proportionnalité entre la première suite et la deuxième suite. Les égalités précédentes traduisent le fait que si deux suites de nombres sont proportionnelles, il existe une fonction appelée fonction linéaire, f : R R x ax telle que la deuxième suite soit l’image de la première par cette fonction.

10. 2/ Propriétés numériques. a/ Propriétés relatives à l’ordre : - Si deux suites de nombres sont proportionnelles et si le coefficient de proportionnalité est positif, l’ordre dans lequel sont rangés les nombres de la deuxième suite est le même que l’ordre dans lequel sont rangés les nombres de la première suite. - Si deux suites de nombres sont proportionnelles et si le coefficient de proportionnalité est négatif, l’ordre dans lequel sont rangés les nombres de la deuxième suite est l’inverse que l’ordre dans lequel sont rangés les nombres de la première suite.

11. b/ Linéarité du tableau de proportionnalité : Théorème 1 : Soit le tableau de proportionnalité suivant : On a : y3= k × y1 (propriété multiplicative de linéarité) et y4 = y1 + y2(propriété additive de linéarité).

12. On peut donc dire que « l’image d’une somme est la somme des images ». Dans le langage des fonctions, les deux égalités précédentes se traduisent par : f (x1+ x2) = f (x1) + f (x2) (I) f (kx) = k.f (x) pour tout réel k (II)

13. Démonstration de la propriété 1 : Si deux suites sont proportionnelles et si a est le coefficient de proportionnalité entre la première et la seconde, on a : y1= a x1 et y2 = a x2 et donc y1 + y2 = a x1 + a x2 = a (x1 + x2 ) Donc y1 + y2 est bien l’image de x1 + x2 . Cette propriété est également vérifiée avec la soustraction : f (x1 - x2) = f (x1) - f (x2)

14. Démonstration de la propriété 2 : Si deux suites sont proportionnelles et si a est le coefficient de proportionnalité entre la première et la seconde, on a : y = a x et donc k.y = k (a x) = a (kx) Donc ky est bien l’image de kx. Cette propriété est également vérifiée avec la division.

15. Exemple : activité découverte CM1 Objectif Calcul – Hatier page 168Complète le tableau de proportionnalité suivant : Le coefficient de proportionnalité est évident, c’est 7. c/ Retour à l’unité dans un tableau de proportionnalité Théorème 2 :. Soit le tableau de proportionnalité suivant : Avant de trouver y₂ , on cherche y₃ qui est donné par y₃ = y₁/x₁ (c’est aussi le coefficient de proportionnalité). y₂ se déduit alors par y₂ = x₂. y₃

16. Exemple : Déterminer y Y = 15/3 = 5

17. d/ Propriétés des rapports égaux, du produit en croix Soit le tableau de proportionnalité suivant : X a Un tableau de proportionnalité satisfait la propriété des rapports égaux suivante : y1 / x1 = y2 / x2 = y3/ x3 = … = yn/ xn = a (III) (à condition qu’aucun des nombres xn ne soit nul).

18. Démonstration de la propriété des rapports égaux : C’est évident car on a : y1= a x1 ; y2 = a x2 ; y3 = a x3 … yn = a xn

19. De ces égalités découle la règle de trois aussi appelée règle de la quatrième proportionnelle : A partir des égalités (III), il est facile de déduire les égalités du type : x1 y2= x2 y1 ou x2 y5= x5 y2 ou… On peut illustrer cette propriété sur ce tableau par l’identification des produits égaux, à l’aide de croix :

20. Exemple : 3 paquets de café coûtent XPF 945. Combien coûtent 8 paquets ? Combien peut-on acheter de paquets avec XPF 1575 ? Solution : Si on appelle p le prix de huit paquets, il y a proportion : p / 8 = 945 / 3 D’où : p = 8 x 945 / 3 = 2520. Le prix de 8 paquets est de XPF 2520. On peut effectuer ce calcul en commençant le calcul par le quotient 945 par 3, qui est égal à 315, ce qui représente le prix en XPF d’un paquet. Pour calculer le nombre de paquets que l’on peut acheter avec XPF 1575, il suffit de diviser 1575 par 315, ce qui donne 5 paquets.

21. e/ Propriétés des écarts. Pour deux suites proportionnelles, à des écarts égaux entre les nombres de la première suite correspondent des écarts égaux entre les nombres correspondants de la deuxième suite. Ainsi, dans le tableau ci-dessus, il y a le même écart (6) entre 14 et 20 d’une part et 20 et 26 d’autre part, et donc le même écart (4,5) entre 10,5 et 15 d’une part et 15 et 19,5 d’autre part.

22. Exercice 3 : Utiliser les propriétés précédentes pour reconnaître, parmi les suites de nombres mises en relation dans les tableaux suivants, celles qui ne sont pas proportionnelles.

23. Exercice 4 : Utiliser les propriétés précédentes pour compléter le tableau suivant de telle sorte que les suites de nombres en relation soient proportionnelles.

24. 3/ Propriété graphique des suites proportionnelles Soient deux suites proportionnelles; on considère les couples de nombres formés par un nombre de la première suite et son image dans la deuxième : ( x1 ; y1 );( x2 ; y2 ); ( x3 ; y3 ); … ; ( xn ; yn ) Soit un système d’axes gradués régulièrement à partir de 0 (repère du plan), les points correspondants à ces couples sont alignés sur une droite qui passe par l’origine des axes.

25. II/ Types de problèmes et méthodes de résolution 1/ Types de problèmes : a/ problème du type « recherche d’une quatrième proportionnelle » Deux grandeurs sont en présence. On a trois données, on cherche une quatrième. Exemple : « j’ai acheté 4 places de cinéma et j’ai payé 36 euros en tout.  Quel est le coût douze places de cinéma ? »

26. On distingue plusieurs cas : - les classiques comme le précédent, - les problèmes qui tout en étant du même type sont plus compliqués car ils mettent en jeu deux grandeurs de même nature (ex : agrandissement ou réduction de figures) - les problèmes de type « pourcentages ». Ce dernier type reprend le type de quatrième proportionnelle mais l’une des données de référence est sous-entendue. Par exemple, « dans une école de 200 élèves, 70 % des élèves mangent à la cantine. Quel est le nombre d’élèves qui mangent à la cantine dans cette école ? »

27. b/Type comparaison de proportion Deux grandeurs sont en présence mais impliqués dans deux situations différentes. On a 4 données, deux pour chaque situation. La question porte sur l’équivalence des deux situations. Exemple : Voici deux mélanges d’eau et de sucre. Dans le mélange A, on a dissous 25 grammes de sucre et 4 litres d’eau. Dans le mélange B, on a dissous 31 grammes de sucre et 5 litres d’eau. Quel est le mélange le plus sucré ?

28. c/Problème du type « proportionnalité multiple » Dans ces problèmes, une grandeur est fonction de plusieurs autres, dans une relation de linéarité par rapport à chacune d’elles lorsque toute les autres sont fixées. Exemple : Six vaches produisent en moyenne 4 000 litres de lait en 30 jours. Combien de jours faut-il à 18 vaches pour produire 72 000 litres de lait ?

29. Solution : Le volume de lait est considéré comme proportionnel d’une part au nombre de vaches (le nombre de jours étant fixé) et d’autre part au nombre de jours (le nombre de vaches étant fixé). Un mode de résolution possible consiste à utiliser cette double proportionnalité, par exemple en organisant les données dans un tableau comme celui-ci : X 3 Réponse : 180 jours X 3 X 6

30. d/ Autres types : vitesses, échelles.

31. 2/ Typologie de Vergnaud de problèmes : 1 – La multiplication • a • b ? ex. : J’ai 3 paquets de yaourts. Il y a 4 yaourts dans chaque paquet. Combien ai-je de yaourts ? 2 – La division-partition (recherche de la valeur d’une part) ex. : J’ai payé 9600 francs pour 3 bouteilles de vin. Quel est le prix d’une bouteille ? • ? • b c 3 – La division-quotition(recherche du nombre de parts) ex. : Pierre a 1200 francs et veut acheter des paquets de bonbons à 240 francs le paquet. Combien de paquets peut-il acheter ? • a • ? c

32. 4 – La 4ème proportionnelle (proportion simple sans présence de l’unité) ex. : 3 pelotes de laine pèsent 200 g. Il en faut 8 pour faire un pull. Combien pèse le pull  ? • a b • c ?

33. Exercice : voici différents problèmes, les classez suivant la typologie de Vergnaud. • 1)J’ai collé 32 timbres sur chaque page d’un album de 14 pages. Combien y a-t-il de timbres dans l’album ? • 2)Dans une bande de 96 cm j’ai découpé des rubans de 12 cm. Combien de rubans ai-je découpé ? • 3)Avec 354 bonbons je veux faire 12 paquets identiques. Combien de bonbons dois-je mettre dans chaque paquet ? • 4)Pour faire une expérience de chimie, un professeur verse 6dl d’eau et 15 g de sucre dans un récipient. Il donne ensuite à ses élève un récipient contenant de l’eau. Dans celui de Jacques il y a 8 dl d’eau, dans celui de Pierre il y a 18 dl, dans celui de Benoît il y a 30 dl, dans celui d’Isabelle il y a 15 dl d’eau et dans celui de Laurence il y a 12 dl. Quelle quantité de sucre doit mettre chaque élève dans son récipient afin d’avoir une eau aussi sucrée que celle du professeur ? • 5)Un appareil coûte 750 euros en décembre. Son prix augmente de 20 % en janvier. Combien coûte-t-il alors ? • 6)Je déplace un pion sur une piste graduée, par bonds réguliers. En partant de 0 j’ai avancé de 12 bonds de longueur 16. Quelle est la position d’arrivée ? • 7)J’ai collé 448 timbres dans un album. Il y a 14 timbres sur chaque page. Combien de pages ont été remplies ? • 8)On a acheté 7,20 m de fil électrique à 4 euros le mètre, combien a-t-on payé ? • 9)Je déplace un pion sur une piste graduée, par bonds réguliers. En partant de 0 et en 12 bonds , le pion arrive à la position 192. Quelle est la valeur de chaque bond ? • 10)On sait que pour 1000 g de poisson on paye 16 euros. Combien payera-t-on pour 3000 g ? Pour 1500 g ? Pour 500 g ? Pour 2500 g ? Pour 1040 g ? • 11) Mr Michel a consommé 32 litres pour parcourir 400 km. Combien de litres utilise son auto pour parcourir 1 km ? • 12) déplace un pion sur une piste graduée, en partant de 0, par bonds réguliers de longueur 12 . Je suis arrivé à la position 192. En combien de bonds ? • 13) Pierre a acheté 2 cahiers pour 4 euros, Jean en a acheté 4 pour 10 euros. • Leur camarade Michel pense qu’ils ne les ont pas acheté au même endroit. Explique pourquoi. • Pierre doit retourner dans le même magasin pour en acheter 6 autres, combien va-t-il payer ? • 14) Une dose de caramel mesure 0,25 dl. J’ai besoin de 5 doses pour napper mon gâteau. Quelle est la quantité de caramel dont je vais avoir besoin ?

34. SOLUTION : • Problèmes de type multiplicatif : (on connaît la valeur de l, et on cherche pour plusieurs). • Problème 1 : 1 32 Problème 6 : 1 16 14 ? 12 ? • Problème 8 : 1 4 Problème 14 : 1 0,25 7,20 ? 5 ? • Problèmes de type « division partition » : (on cherche la valeur d’une part). • Problème 3 : 1 ? Problème 9 : 1 ? 12 354 12 192 • Problème 11 : 1 ? 400 32 • Problèmes de type « division quotition » : (on cherche le nombre de part). • Problème 7 : 1 14 Problème 2 : 1 12 ? 448 ? 96 • Problème 12 : 1 12 ? 192 • Problème de recherche d’une 4ème proportionnelle : • Problème 4 : 6 15 6 15 6 15 8 ? 18 ? 30 ? • Problème 5 : 100 20 Problème 10 : 1000 16 750 ? 1040 ? • Problème 13 : 2 4 6 ?

35. 3/ Méthodes de résolution : Les procédures varient suivant les nombres en jeu. Ces procédures découlent soit des propriétés de la linéarité des fonctions, soit de la fonction elle-même. Il y a plusieurs méthodes pour un même problème de proportionnalité. Exemple : J’ai acheté 4 places de cinéma et j’ai payé en tout 36 euros. Quel est le coût de 12 places de cinéma ?

36. La correction de ce problème permet de mettre en évidence différentes procédures de résolution. L’énoncé suppose implicitement qu’on a affaire à une situation de proportionnalité mettant en jeu deux grandeurs et qui peut être représentée par le tableau suivant : Ce type de problème est appelé classiquement « problème de quatrième proportionnelle ». On a affaire à deux suites proportionnelles ( 4 ; 36 ) et ( 12 ; ? ) et, trois nombres sont connus, on doit chercher le quatrième

37. Procédure 1 : utilisation de la propriété additive (méthode très utilisée par les élèves) 12 = 4 + 4 + 4 donc prix des 12 places = 36 + 36 + 36. Le prix de 12 places est donc de 108 euros.

38. X 3 • Procédure 2 : utilisation de la propriété multiplicative X 3 12 = 3 x 4 donc prix des 12 places = 3 x 36

39. Procédure 3 : utilisation du coefficient de proportionnalité x9 36 = 4 x 9 donc CM = 9 donc prix des 12 places = 12 x 9 = 108.

40. Le prix pour 4 places permet de calculer le prix d’une seule place soit 9 euros. Le prix des 12 places est donc 12x9 euros, soit 108 euros. • Procédure 4 : utilisation du retour à l’unité • Procédure 5 : utilisation des rapports égaux 4 / 36 = 12 / x ou 36 / 4 = x / 12 qui donne x = (12 ).(36) /4 Procédure 6 : utilisation du produit en croix (variante de la précédente) 4.x = (12).(36) d’où x = (12).(36)/4

41. Prix en euros • Méthode 7 : utilisation de la représentation graphique Nombre de places On place le point de coordonnées ( 4 ; 36 ) et on trace la droite reliant l’origine O du repère et ce point. On cherche ensuite l’ordonnée du point de cette droite d’abscisse 12.

42. III/ Quelques exemples de fonctions numériques. 1/ Fonction linéaire: Définition : Sous ce terme, sont regroupées toutes les fonctions qui peuvent être décrites par un schéma du type : R R x ax (a étant un nombre réel constant) Ces fonctions sont caractéristiques des suites proportionnelles : à deux suites proportionnelles peut être associée une telle fonction (a étant le coefficient de proportionnalité), et inversement une telle fonction permet de générer des suites proportionnelles. Comme cela a déjà été indiqué, les propriétés de linéarité peuvent être traduites par : f(x) + f(y) = f(x + y) pour tous nombres réels x et y f(kx) = k f(x) pour tous nombres réels k et x.

43. Dans un système d’axes régulièrement gradués à partir de 0, les couples de nombres correspondants sont représentés par des points alignés sur une droite passant par l’origine O du repère (0;0). Représentation de la fonction linéaire de coefficient de proportionnalité 3

44. 2/ Fonction affine : Définition : Sous ce terme, sont regroupées toutes les fonctions qui peuvent être décrites par un schéma du type : R R x ax + b (a et b étant deux réels constants) Comme les fonctions linéaires, ces fonctions sont croissantes si a > 0 et vérifient la propriété des écarts. Dans un système d’axes régulièrement gradués à partir de 0, les couples de nombres correspondants sont représentés par des points alignés. La droite ne passe par l’origine que si b = 0. Remarque : la fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine (cas où b=o); mais elle possède de nombreuses propriétés que ne possèdent pas les autres fonctions affines (propriété de linéarité en particulier).

45. 3/ Fonction puissance : Définition : Sous ce terme, sont regroupées toutes les fonctions qui peuvent être décrites par un schéma du type : R R x axn Par exemple, la relation entre le rayon et « l’aire du disque » peut être représentée par une telle fonction : x πx² où πx² exprime l’aire en cm², x désigne le rayon du cercle en cm, a = π et n=2. Dans un système d’axes régulièrement gradués à partir de 0, les couples de nombres correspondants ne sont pas représentés par des points alignés (sauf si n=1 ou n=0 ou a=0) Dans le cas où n=2, les points sont situés sur une parabole.

46. Remarque : La fonction linéaire est aussi un cas particulier d’une telle fonction (cas où n=1).

47. 4/ Fonctions et tableur : Le tableur est un outil commode pour produire des ensembles de nombres qui sont en relation par une fonction donnée. Exemple 1 : tableaux associés à la fonction linéaire x 7,5x Formule Résultats

48. Exemple 2 : tableaux associés à la fonction linéaire x 2,5x + 3 Formule Résultats

49. IV/ Application de la proportionnalité. 1/ Vitesse moyenne. La vitesse moyenne d’un mobile parcourant une distance est la vitesse qu’aurait dû avoir le mobile pour parcourir la même distance dans le même temps en se déplaçant régulièrement, c’est-à-dire de telle manière que la distance parcourue soit proportionnelle au temps. La vitesse est alors représentée par le coefficient de proportionnalité. On a la relation : d = vxt, d représentant la distance parcourue, v la vitesse moyenne sur le parcours considéré et t la durée du parcours.

50. Exemple : Une voiture roule à la vitesse moyenne de 85 km/h. Combien de temps met-elle pour parcourir 136 km ? Solution : On a ainsi la relation : 136 km = 85 km/h x t donc t = 136km / 85km/h = 1,6 h. Il faut maintenant convertir 0,6 h en minutes. 0,6 h = 6/10 h = 6/10 x 60 min = 36 min. Donc t = 1h 36 min.