Fonctions numériques usuelles

1. Fonctions numériques usuelles CHAPITRE 7

2. Le plan du chapitre • La fonction exponentielle • La fonction logarithme • Les fonctions puissances • Les fonctions sin et cos ; relations entre les lignes trigonométriques • Les fonctions Arcos et Arsin • La fonction tangente et la fonction Arctan • Quelques relations importantes • Les fonctions trigonométriques sinh et cosh • Les fonctions trigométriques inverses Argsinh et Argcosh • La fonction tanh et son inverse

3. La fonction exponentielle lim (ex/xn) = + l’infini en +l’infini x k  k=n exp (x)  k ! k=0 lim (ex xn) = 0 en - l’infini exp (x1+x2) = exp (x1) x exp (x2)

4. La méthode d’Euler exp ’ = exp Étape 0 : Choix d’un « pas » : 1/N (entre 0 et x) u0 = 1 Dérivée « discrète » un+1-un = un 1/N (1+ x/N)N ---> exp (x) lorsque N tend vers + l’infini

5. La fonction logarithme (1) x  R et y = exp (x) y  et x = log (y) lim+infini (log y /y) =0 lim0 (|y| log |y|) =0 log (y1 y2) = log (y1) + log (y2)

6. La fonction logarithme (2) log’ = [ y ---> 1/y] sur { y ; y > 0 } (log |y-a|)’ = [y ---> 1/(y-a)] sur R \ {a} Remarque : pour tout entier n de Z différent de -1, on a sur R \{a} : (y-a)n+1 []’ =[ y ---> (y-a)n] n+1

7. Les fonctions puissance (ax1) x2 = a x1x2 ax1+x2 =ax1x ax2 (ab)x = axx bx a-x = (1/a)x a > 0 x  R  ax := exp (x log a) [ x  ax]’ = [x  log(a) x ax]

8. La fonction cosinus x  R x 2k  k=n cos (x)  (-1)k (2k) ! k=0 cos 0 = 1 cos 2 <-1/3 (suites adjacentes) cos s’annule en au moins un point de [0,2]  := 2 inf{x>0, cos x=0}

9. La fonction sinus x  R x 2k+1  k=n sin (x)  (-1)k (2k+1) ! k=0 (suites adjacentes)

10. Relations entre fonctions trigonométriques cos (x1 + x2) = cos (x1) cos (x2) – sin (x1) sin (x2) sin (x1+ x2) = cos (x1) sin (x2) + sin (x1) cos (x2) cos’ = - sin sin’ = cos cos2 x + sin2 x =1 cos (x+ 2)=cos x sin (x+2) = sin x   (cos (x), sin (x)) ( pourx  [0, 2[) paramétrage bijectif du cercle de centre (0,0) et de rayon 1

11. Fonctions trigonométriques inverses Arcos : [-1,1] --- > [0, ] Arcsin : [-1,1] --- > [-/2 , /2] sur ]-1,1[ Arcsin’ = 1/(cos(Arcsin)) = [y  (1-y2)-1/2] sur ]-1,1[ Arcos’ = -1/(sin(Arcos)) = [y  - (1-y2)-1/2] Arcsin (y) + Arcos (y) = /2 pour y  [-1,1]

12. La fonction tangente tan x := sin (x) / cos (x)  tan’ = 1 + tan2

13. La fonction Arctan (Arc-tangente) x  ]-/2 , /2[ et y =tan (x) y  R et x= Arctan (y) 1 1 Arctan’(y) = ------------------------ = ---------- 1 + tan2 (Arctan y) 1 + y2

14. Quelques relations importantes cos (t) = 2 cos2 (t/2) -1 = (1-u2)/(1+u2) sin (t) = 2 sin (t/2) cos (t/2) = 2u/(1+u2) t  ]-, [ u= tan (t/2) , t = 2 Arctan u

15. 1-u2 2u --------- , ------- 1+u2 1+u2 (0,0) (-1,0) 1 Un paramétrage rationnel du cercle unité privé d’un point

16. Les fonctions hyperboliques cosh x : = (ex+e-x)/2 , x  R sinh x : = (ex – e-x)/2 , x  R cosh2 x – sinh2 x = 1 cosh’ = sinh sinh’ = cosh

17. Intersection d’un plan et d’un cône : hyperbole, ellipse ou parabole hyperbole (2 branches) ellipse les Coniques

18. Le paramétrage de la demi-hyperbole x = cosh t , t  R x2 – y2=1 , x>0 y = sinh t , t  R

19. La fonction argsinh : R  R x  R et y = sinh xy  R et x=argsinh y variable auxiliaire argsinh’ (y) = 1/cosh(argsinh(y)) = (1+y2)-1/2 { X = ex X2 – 2y X - 1 =0 sinh x = y x= argsinh y =log [y + (1+y2)1/2]

20. La fonction argcosh : {y ; y 1}  {x ; x  0} x0 et y = cosh xy 1 et x=argcosh y variable auxiliaire argcosh’ (y) = 1/sinh(argcosh(y)) = (y2 -1)-1/2 , y > 1 { X = ex x0(donc X 1) X2 – 2y X +1 =0 cosh x = y x= argcosh y =log [y + (y2 -1)1/2]

21. La fonction tangente hyperbolique tanh : x  R  tanh x := sinh x / cosh x tanh’ : x  R  1 – tanh2 x = (cosh x)-2 x  R et y = tanh xy  ]-1,1[ et x= argtanh y argtanh’ y = 1/(1-y2) = (1/2) x 1/(y+1) - (1/2) x 1/(y-1) , y  ]-1,1[ argtanh y = log (|y+1|/|y-1|)1/2 , y  ]-1,1[

22. Fin du chapitre 7