550 likes | 1.94k Views
BAB IX NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN. 9.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi Jika A adalah sebuah matriks n x n , maka sebuah vektor tak-nol x pada R n disebut vektor eigen ( eigenvector ) dari A jika Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x ; atau, Ax = x
E N D
BAB IX NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
9.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi Jika A adalah sebuah matriks nxn, maka sebuah vektor tak-nol x pada Rn disebut vektor eigen (eigenvector) dari A jika Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x; atau, Ax =x untuk skalar sembarang . Skalar disebut nilai eigen (eigenvalue) dari A, dan x disebut sebagai vektor eigen dari A yang terkait dengan .
Pada R2 dan R3, perkalian dengan A memetakan setiap vektor eigen x dari A ke garis yang sama melewati titik asal tempat x berada. Operator liner Ax = x akan memperkecil atau memperbesar x dengan faktor , dan membalikkan arahnya apabila negatif. x x x x x x x x < –1 > 1 < 0 0 < < 1
Contoh 9.1 Vektor Eigen dari matriks 2 x 2 yang terkait dengan nilai eigen = 3, karena = 3x Vektor x adalah vektor eigen dari A
Untuk memperoleh nilai eigen dari sebuah matriks A, nxn, kita menuliskan Ax =x sebagai, Ax = Ix atau secara ekivalen, (I – A)x = 0(1) Agar dapat menjadi nilai Eigen, harus terdapat satu solusi tak-nol dari persamaan ini. Akan tetapi, persamaan (1) memiliki solusi tak-nol jika dn hanya jika, det (I – A) = 0 Persamaan diatas disebut persamaan karakteristik matriks A; skalar-skalar yang memenuhi persamaan tsb. adalah nilai-nilai eigen A.
Apabila diperluas lagi, determinan det (I – A)adalah sebuah polinomial p dalam variabel yang disebut sebagai polinomial karakteristik matriks A. Dapat ditunjukkan bahwa jika A adalah sebuah matriks n x n, maka polinomial karakteristik A memiliki derajat n dan koeffisien variabel n adalah 1. Jelasnya polinomial karakteristik p(x) dari sebuah matriks nxn memiliki bentuk, p() = det (I – A) = n + c1n–1 + …+ cn. Berdasarkan teorema dasar, bahwa persamaan karakteristik n + c1n–1 + …+ cn = 0, memiliki sebanyak-banyak n solusi yang berbeda, sehingga sebuah matriks nxn memiliki sebanyak-banyaknya n nilai eigen yang berbeda.
Contoh 9.2 Vektor Eigen dari matriks 3 x 3 Tentukan nilai-nilai eigen dari Penyelesaian
Polinomial karakteristiks A adalah = 3 – 8 2 + 17 – 4 = 0 Nilai-nilai eigen dari A adalah
9.1 Nilai-nilai Eigen dari Matriks Segitiga Atas, Bawah, dan Matriks Diagonal. Teorema 9.1.1 Jika A adalah matriks segitiga atas, segitiga bawah, atau matriks diagonal yang berukuran nxn, maka nilai-nilai eigen dari A adalah elemen-elemen matriks yang terletak pada diagonal matriks A. Misal terdapat matriks
Nilai-nilai eigen didapat jika dan hanya jika det (I – A) = 0 ( – a11)( – a22)( – a33)( – a44) = 0 Nilai-nilai eigen adalah, = a11 = a22 = a33 = a44
Contoh 9.3 Nilai eigen dari matriks segitiga atas. Tentukan nilai-nilai eigen dari matriks Penyelesaian Nilai-nilai eigen adalah = 1, = –8, dan = 3
Teorema 9.1.2 Jika A adalah matriks nxn dan adalah sebuah bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen. adalah sebuah nilai eigen dari A. Sistem persamaan (I – A)x = 0 memiliki solusi non- trivial. (c) Terdapat sebuah vektor tak-nol x pada Rn sedemikian rupa sehingga Ax = x. (d) adalah sebuah solusi dari persamaan karakteristik det (I – A) = 0.
9.1.2 Menentukan Basis untuk Ruang Eigen Vektor-vektor Eigen Matriks A yang terkait dengan nilai eigen adalah vektor-vektor tak-nol x yang memenuhi persamaan Ax = x. Dengan kata lain vektor-vektor eigen yang terkait dengan adalah vektor-vektor tak-nol di dalam ruang solusi (I – A)x = 0. Ruang solusi ini disebut sebagai ruang eigen (eigenspace) dari matriks A yang terkait dengan .
Contoh 9.4 Basis untuk Ruang Eigen Tentukan basis-basis untuk ruang eigen dari matriks Penyelesaian Persamaan karakteristik matriks A adalah 3 – 52 + 8 – 4 = 0 ( – 1)( – 2)2 = 0 Nilai-nilai eigen = 1 dan = 2.
Menurut definisinya, adalah sebuah vektor eigen dari matriks A yang terkait dengan jika dan hanya jika x adalah sebuah solusi nontrivial dari (I – A)x = 0, yaitu
Jika = 2, maka x1 + x3 = 0 x1= –x3 Jika x1= s, maka x3= –s Sedangkan x2 ditentukan = t
Sehingga vektor eigen dari A yang terkait dengan = 2 adalah vektor-vektor tak-nol yang berbentuk, maka vektor-vektor ini membentuk sebuah basis untuk ruang eigen yang terkait dengan = 2.
Jika = 1, maka Selanjutnya didapat x2 =x3 = s x1= – 2x3= –2s
Sehingga vektor eigen dari A yang terkait dengan = 1 adalah vektor-vektor tak-nol yang berbentuk, Karena bebas linier, vektor-vektor ini membentuk sebuah basis untuk ruang eigen yang terkait dengan = 1.
9.1.3 Pangkat suatu Matriks Jika nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks A telah didapat, maka kita dapat menentukan nilai eigen dan vektor dari matriks A pangkat bilangan bulat positif. Jika adalah nilai eigen dari A dan x adalah vektor eigen yang terkait dengan , maka A2x = A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) = 2x 2 adalah nilai eigen dari A2 dan x adalah vektor eigen dari A2 terkait terkait dengan .
Teorema 9.1.3 Jika k adalah bilangan bulat positif, adalah nilai eigen dari suatu matriks A dan x adalah vektor eigen yang terkait dengan , maka k adalah nilai eigen dari Ak dan x adalah vektor eigen yang terkait dengan . Contoh 9.5 Telah ditunjukkan pada contoh 9.4 bahwa nilai eigen dari adalah = 2 dan 1, sehingga dari teorema 9.1.3, nilai = 27 = 128 dan = 17 = 1 adalah nilai-nilai eigen dari A7
adalah vektor-vektor eigen dari A yang terkait dengan nilai eigen = 2, sehingga dari teorema teorema 9.1.3 keduanya juga merupakan vektor-vektor eigen dari A7 yang terkait dengan = 27 = 128. Vektor-vektor Vektor adalah juga vektor eigen dari A yang terkait dengan nilai eigen = 1, sehingga dari teorema teorema 9.1.3 vektor ini juga merupakan vektor eigen dari A7 yang terkait dengan = 17 = 1.
9.1.4 Nilai Eigen dan Keterbalikan Teorema 9.1.4 Sebuah matriks persegi A dapat dibalik jika dan hanya jika = 0 bukan merupakan nilai eigen dari A.
Latihan Tentukan persamaan karakteristik, nilai eigen, dan basis-basis untuk ruang eigen dari matriks A berikut. Tentukan nilai eigen, dan basis-basis untuk ruang eigen dari A25 jika
9.2 Diagonalisasi Definisi Sebuah matriks persegi A dikatakan dapat didiagonalisasi (diagonalizable) jika terdapat sebuah matriks P yang dapat dibalik sedemikian rupa, sehingga P-1AP adalah sebuah matriks diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi A. Teorema 9.2.1 Jika A adalah sebuah matriks persegi nxn, maka kedua pernyataan berikut adalah ekivalen. a) A dapat didiagonalisasi b) A memiliki n vektor eigen yang bebas linier
9.2.1 Prosedur untuk Mendiagonalisasi sebuah Matriks Langkah 1 Tentukan persamaan karakteristik. Dari persamaan ini didapat nilai eigen. Langkah 2 Tentukan n vektor eigen dari A yang bebas linier, misalkan p1, p2, …, pn. Langkah 3 Bentuk sebuah matriks P dengan p1, p2, …, pn sebagai vektor-vektor kolomnya. Langkah 4 Matriks P-1AP kemudian akan menjadi diagonal dengan 1, 2, …, n.
Contoh 9.6 Menentukan Matriks P yang Mendiagonalisasi Matriks A Tentukan matriks P yang mendiagonalisasi Penyelesaian
Persamaan karakteristik matriks A adalah ( – 2)( – 3)2 = 0 Nilai-nilai eigen = 2 dan = 3. Menurut definisinya adalah sebuah vektor eigen dari matriks A yang terkait dengan jika dan hanya jika x adalah sebuah solusi nontrivial dari (I – A)x = 0, yaitu
Untuk nilai eigen = 2 x3 = 0 ;x2 = 0 ; x1 = s
Untuk nilai eigen = 3 x1 = –2x3 x3 = s ; x1 = –2s ; x2 = t
Contoh 9.7 Tentukan matriks P yang mendiagonalisasi Penyelesaian
Persamaan karakteristik matriks A adalah ( – 3)( – 2)2 = 0 Nilai-nilai eigen = 3 dan = 2. Untuk nilai eigen = 3 x2 = x3 = 0 ;x1 = s
Untuk nilai eigen = 2 x1 = 0 ; x2 = 0 ; x3 = t Karena hanya terdapat 2 vektor basis, maka matriks A tidak dapat didiagonalisasi
9.2.2 Menghitung Pangkat Sebuah Matriks Jika A adalah sebuah matriks nxn dan P adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka (P-1AP)2 = P-1APP-1AP = P-1AIAP = P-1A2 P Secara umum untuk bilangan positif sembarang k, (P-1AP)k = P-1Ak P Dari persamaan diatas, jika A dapat didiagonalisasi, dan P-1AP = D adalah sebuah matriks diagonal, maka P-1Ak P = (P-1AP)k = Dk Sehingga didapat Ak = PDkP-1
Contoh 9.8 Hitung A15 jika diketahui Penyelesaian Dari contoh 9.6 telah diketahui bahwa matriks dapat didiagonalisasi oleh matriks
Latihan , tentukan A1000
9.3 Diagonalisasi Ortogonal Teorema 9.3.1 Jika A adalah sebuah matriks persegi nxn, maka pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen. a) A dapat didiagonalisasi secara ortogonal b) A memiliki sebuah himpunan vektor-vektor eigen yang ortonormal A adalah simetrik Teorema 9.3.2 Jika A adalah sebuah matriks simetrik, maka a)Nilai eigen matriks A semuanya bilangan real b) Vektor eigen yang berasal dari ruang eigen yang berbeda saling ortogonal
Langkah-langkah Mendiagonalisasi Matriks Simetrik Langkah 1. Tentukan sebuah basis untuk setiap ruang eigen matriks A Langkah 2. Terapkan proses Gram-Schmidt pada masing-masing basis ini untuk memperoleh sebuah basis ortonormal untuk setiap ruang eigen Langkah 3. Bentuk sebuah matriks P yang kolom-kolomnya adalah ventor-vektor basis yang dibuat pada langkah 2. Matriks ini secara ortogonal mendiagonalisasi matriks A.
Contoh 9.9 Tentukan sebuah matiks ortogonal P yang mendiagonalisasi Penyelesaian Persamaan karakteristik untuk A adalah Nilai eigen dari A adalah = 2 dan = 8
Basis ruang eigen yang terkait dengan = 2 adalah Dengan melakukan proses Gram-Schmidt pada {u1, u2} didapat vektor eigen ortonormal berikut.
Basis ruang eigen yang terkait dengan = 2 adalah Dengan melakukan proses Gram-Schmidt pada {u3} didapat vektor eigen ortonormal berikut.
Vektor-vektor kolom v1, v2, v3 membentuk matriks P Karena PTAP adalah matriks diagonal, maka P mendiagonalisasi A secara ortogonal.
Latihan Tentukan sebuah matriks P yang mendiagonalisasi A secara ortogonal dan tentukan P-1AP