1 / 44

BAB IX NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

BAB IX NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN. 9.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi Jika A adalah sebuah matriks n x n , maka sebuah vektor tak-nol x pada R n disebut vektor eigen ( eigenvector ) dari A jika Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x ; atau, Ax =  x

tanika
Download Presentation

BAB IX NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB IX NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

  2. 9.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi Jika A adalah sebuah matriks nxn, maka sebuah vektor tak-nol x pada Rn disebut vektor eigen (eigenvector) dari A jika Ax adalah sebuah kelipatan skalar dari x; atau, Ax =x untuk skalar sembarang . Skalar  disebut nilai eigen (eigenvalue) dari A, dan x disebut sebagai vektor eigen dari A yang terkait dengan .

  3. Pada R2 dan R3, perkalian dengan A memetakan setiap vektor eigen x dari A ke garis yang sama melewati titik asal tempat x berada. Operator liner Ax = x akan memperkecil atau memperbesar x dengan faktor , dan membalikkan arahnya apabila  negatif. x x x x x x x x  < –1  > 1  < 0 0 <  < 1

  4. Contoh 9.1 Vektor Eigen dari matriks 2 x 2 yang terkait dengan nilai eigen  = 3, karena = 3x Vektor x adalah vektor eigen dari A

  5. Untuk memperoleh nilai eigen dari sebuah matriks A, nxn, kita menuliskan Ax =x sebagai, Ax = Ix atau secara ekivalen, (I – A)x = 0(1) Agar  dapat menjadi nilai Eigen, harus terdapat satu solusi tak-nol dari persamaan ini. Akan tetapi, persamaan (1) memiliki solusi tak-nol jika dn hanya jika, det (I – A) = 0 Persamaan diatas disebut persamaan karakteristik matriks A; skalar-skalar yang memenuhi persamaan tsb. adalah nilai-nilai eigen A.

  6. Apabila diperluas lagi, determinan det (I – A)adalah sebuah polinomial p dalam variabel  yang disebut sebagai polinomial karakteristik matriks A. Dapat ditunjukkan bahwa jika A adalah sebuah matriks n x n, maka polinomial karakteristik A memiliki derajat n dan koeffisien variabel n adalah 1. Jelasnya polinomial karakteristik p(x) dari sebuah matriks nxn memiliki bentuk, p() = det (I – A) = n + c1n–1 + …+ cn. Berdasarkan teorema dasar, bahwa persamaan karakteristik n + c1n–1 + …+ cn = 0, memiliki sebanyak-banyak n solusi yang berbeda, sehingga sebuah matriks nxn memiliki sebanyak-banyaknya n nilai eigen yang berbeda.

  7. Contoh 9.2 Vektor Eigen dari matriks 3 x 3 Tentukan nilai-nilai eigen dari Penyelesaian

  8. Polinomial karakteristiks A adalah = 3 – 8 2 + 17 – 4 = 0 Nilai-nilai eigen dari A adalah

  9. 9.1 Nilai-nilai Eigen dari Matriks Segitiga Atas, Bawah, dan Matriks Diagonal. Teorema 9.1.1 Jika A adalah matriks segitiga atas, segitiga bawah, atau matriks diagonal yang berukuran nxn, maka nilai-nilai eigen dari A adalah elemen-elemen matriks yang terletak pada diagonal matriks A. Misal terdapat matriks

  10. Nilai-nilai eigen didapat jika dan hanya jika det (I – A) = 0 ( – a11)( – a22)( – a33)( – a44) = 0 Nilai-nilai eigen adalah,  = a11 = a22 = a33  = a44

  11. Contoh 9.3 Nilai eigen dari matriks segitiga atas. Tentukan nilai-nilai eigen dari matriks Penyelesaian Nilai-nilai eigen adalah  = 1, = –8, dan = 3

  12. Teorema 9.1.2 Jika A adalah matriks nxn dan  adalah sebuah bilangan real, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen.  adalah sebuah nilai eigen dari A. Sistem persamaan (I – A)x = 0 memiliki solusi non- trivial. (c) Terdapat sebuah vektor tak-nol x pada Rn sedemikian rupa sehingga Ax = x. (d)  adalah sebuah solusi dari persamaan karakteristik det (I – A) = 0.

  13. 9.1.2 Menentukan Basis untuk Ruang Eigen Vektor-vektor Eigen Matriks A yang terkait dengan nilai eigen  adalah vektor-vektor tak-nol x yang memenuhi persamaan Ax = x. Dengan kata lain vektor-vektor eigen yang terkait dengan  adalah vektor-vektor tak-nol di dalam ruang solusi (I – A)x = 0. Ruang solusi ini disebut sebagai ruang eigen (eigenspace) dari matriks A yang terkait dengan .

  14. Contoh 9.4 Basis untuk Ruang Eigen Tentukan basis-basis untuk ruang eigen dari matriks Penyelesaian Persamaan karakteristik matriks A adalah 3 – 52 + 8 – 4 = 0  ( – 1)( – 2)2 = 0 Nilai-nilai eigen  = 1 dan  = 2.

  15. Menurut definisinya, adalah sebuah vektor eigen dari matriks A yang terkait dengan  jika dan hanya jika x adalah sebuah solusi nontrivial dari (I – A)x = 0, yaitu

  16. Jika  = 2, maka x1 + x3 = 0  x1= –x3 Jika x1= s, maka x3= –s Sedangkan x2 ditentukan = t

  17. Sehingga vektor eigen dari A yang terkait dengan  = 2 adalah vektor-vektor tak-nol yang berbentuk, maka vektor-vektor ini membentuk sebuah basis untuk ruang eigen yang terkait dengan  = 2.

  18. Jika  = 1, maka Selanjutnya didapat x2 =x3 = s x1= – 2x3= –2s

  19. Sehingga vektor eigen dari A yang terkait dengan  = 1 adalah vektor-vektor tak-nol yang berbentuk, Karena bebas linier, vektor-vektor ini membentuk sebuah basis untuk ruang eigen yang terkait dengan  = 1.

  20. 9.1.3 Pangkat suatu Matriks Jika nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks A telah didapat, maka kita dapat menentukan nilai eigen dan vektor dari matriks A pangkat bilangan bulat positif. Jika  adalah nilai eigen dari A dan x adalah vektor eigen yang terkait dengan , maka A2x = A(Ax) = A(x) = (Ax) = (x) = 2x 2 adalah nilai eigen dari A2 dan x adalah vektor eigen dari A2 terkait terkait dengan .

  21. Teorema 9.1.3 Jika k adalah bilangan bulat positif,  adalah nilai eigen dari suatu matriks A dan x adalah vektor eigen yang terkait dengan , maka k adalah nilai eigen dari Ak dan x adalah vektor eigen yang terkait dengan . Contoh 9.5 Telah ditunjukkan pada contoh 9.4 bahwa nilai eigen dari adalah  = 2 dan 1, sehingga dari teorema 9.1.3, nilai  = 27 = 128 dan  = 17 = 1 adalah nilai-nilai eigen dari A7

  22. adalah vektor-vektor eigen dari A yang terkait dengan nilai eigen  = 2, sehingga dari teorema teorema 9.1.3 keduanya juga merupakan vektor-vektor eigen dari A7 yang terkait dengan  = 27 = 128. Vektor-vektor Vektor adalah juga vektor eigen dari A yang terkait dengan nilai eigen  = 1, sehingga dari teorema teorema 9.1.3 vektor ini juga merupakan vektor eigen dari A7 yang terkait dengan  = 17 = 1.

  23. 9.1.4 Nilai Eigen dan Keterbalikan Teorema 9.1.4 Sebuah matriks persegi A dapat dibalik jika dan hanya jika  = 0 bukan merupakan nilai eigen dari A.

  24. Latihan Tentukan persamaan karakteristik, nilai eigen, dan basis-basis untuk ruang eigen dari matriks A berikut. Tentukan nilai eigen, dan basis-basis untuk ruang eigen dari A25 jika

  25. 9.2 Diagonalisasi Definisi Sebuah matriks persegi A dikatakan dapat didiagonalisasi (diagonalizable) jika terdapat sebuah matriks P yang dapat dibalik sedemikian rupa, sehingga P-1AP adalah sebuah matriks diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi A. Teorema 9.2.1 Jika A adalah sebuah matriks persegi nxn, maka kedua pernyataan berikut adalah ekivalen. a) A dapat didiagonalisasi b) A memiliki n vektor eigen yang bebas linier

  26. 9.2.1 Prosedur untuk Mendiagonalisasi sebuah Matriks Langkah 1 Tentukan persamaan karakteristik. Dari persamaan ini didapat nilai eigen. Langkah 2 Tentukan n vektor eigen dari A yang bebas linier, misalkan p1, p2, …, pn. Langkah 3 Bentuk sebuah matriks P dengan p1, p2, …, pn sebagai vektor-vektor kolomnya. Langkah 4 Matriks P-1AP kemudian akan menjadi diagonal dengan 1, 2, …, n.

  27. Contoh 9.6 Menentukan Matriks P yang Mendiagonalisasi Matriks A Tentukan matriks P yang mendiagonalisasi Penyelesaian

  28. Persamaan karakteristik matriks A adalah ( – 2)( – 3)2 = 0 Nilai-nilai eigen  = 2 dan  = 3. Menurut definisinya adalah sebuah vektor eigen dari matriks A yang terkait dengan  jika dan hanya jika x adalah sebuah solusi nontrivial dari (I – A)x = 0, yaitu

  29. Untuk nilai eigen  = 2 x3 = 0 ;x2 = 0 ; x1 = s

  30. Untuk nilai eigen  = 3 x1 = –2x3 x3 = s ; x1 = –2s ; x2 = t

  31. Contoh 9.7 Tentukan matriks P yang mendiagonalisasi Penyelesaian

  32. Persamaan karakteristik matriks A adalah ( – 3)( – 2)2 = 0 Nilai-nilai eigen  = 3 dan  = 2. Untuk nilai eigen  = 3 x2 = x3 = 0 ;x1 = s

  33. Untuk nilai eigen  = 2 x1 = 0 ; x2 = 0 ; x3 = t Karena hanya terdapat 2 vektor basis, maka matriks A tidak dapat didiagonalisasi

  34. 9.2.2 Menghitung Pangkat Sebuah Matriks Jika A adalah sebuah matriks nxn dan P adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka (P-1AP)2 = P-1APP-1AP = P-1AIAP = P-1A2 P Secara umum untuk bilangan positif sembarang k, (P-1AP)k = P-1Ak P Dari persamaan diatas, jika A dapat didiagonalisasi, dan P-1AP = D adalah sebuah matriks diagonal, maka P-1Ak P = (P-1AP)k = Dk Sehingga didapat Ak = PDkP-1

  35. Contoh 9.8 Hitung A15 jika diketahui Penyelesaian Dari contoh 9.6 telah diketahui bahwa matriks dapat didiagonalisasi oleh matriks

  36. Karena D matriks diagonal, maka

  37. Latihan , tentukan A1000

  38. 9.3 Diagonalisasi Ortogonal Teorema 9.3.1 Jika A adalah sebuah matriks persegi nxn, maka pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen. a) A dapat didiagonalisasi secara ortogonal b) A memiliki sebuah himpunan vektor-vektor eigen yang ortonormal A adalah simetrik Teorema 9.3.2 Jika A adalah sebuah matriks simetrik, maka a)Nilai eigen matriks A semuanya bilangan real b) Vektor eigen yang berasal dari ruang eigen yang berbeda saling ortogonal

  39. Langkah-langkah Mendiagonalisasi Matriks Simetrik Langkah 1. Tentukan sebuah basis untuk setiap ruang eigen matriks A Langkah 2. Terapkan proses Gram-Schmidt pada masing-masing basis ini untuk memperoleh sebuah basis ortonormal untuk setiap ruang eigen Langkah 3. Bentuk sebuah matriks P yang kolom-kolomnya adalah ventor-vektor basis yang dibuat pada langkah 2. Matriks ini secara ortogonal mendiagonalisasi matriks A.

  40. Contoh 9.9 Tentukan sebuah matiks ortogonal P yang mendiagonalisasi Penyelesaian Persamaan karakteristik untuk A adalah Nilai eigen dari A adalah  = 2 dan  = 8

  41. Basis ruang eigen yang terkait dengan  = 2 adalah Dengan melakukan proses Gram-Schmidt pada {u1, u2} didapat vektor eigen ortonormal berikut.

  42. Basis ruang eigen yang terkait dengan  = 2 adalah Dengan melakukan proses Gram-Schmidt pada {u3} didapat vektor eigen ortonormal berikut.

  43. Vektor-vektor kolom v1, v2, v3 membentuk matriks P Karena PTAP adalah matriks diagonal, maka P mendiagonalisasi A secara ortogonal.

  44. Latihan Tentukan sebuah matriks P yang mendiagonalisasi A secara ortogonal dan tentukan P-1AP

More Related