1 / 20

BAB 4 MASALAH NILAI EIGEN

BAB 4 MASALAH NILAI EIGEN. TEOREM GERSCHGORIN KAEDAH KUASA KAEDAH KUASA BESERTA ANJAKAN ASALAN. PENGENALAN. Dlm SPL terdpt 2 kaedah lelaran. Lelaran blh menumpu kerana wujudnya sifat dominan pepenjuru tegas di dalam matriks A

ogden
Download Presentation

BAB 4 MASALAH NILAI EIGEN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. BAB 4MASALAH NILAI EIGEN TEOREM GERSCHGORIN KAEDAH KUASA KAEDAH KUASA BESERTA ANJAKAN ASALAN

  2. PENGENALAN • Dlm SPL terdpt 2 kaedah lelaran. • Lelaran blh menumpu kerana wujudnya sifat dominan pepenjuru tegas di dalam matriks A • Sifat dominan pepenjuru tegas blh dikaitkan dgn suatu nilai tersirat pd matriks tersebut => nilai ini dikenali sbg nilai eigen • Kepentingan nilai eigen bg kaedah berlelaran: • Blh menentukan samaada lelaran blh menumpu/tidak. • Jika magnitud < 1 bg semua nilai eigen => lelaran akan menumpu dan sebaliknya

  3. Pertimbangkan SPL berikut: Av = v dimana  adalah pemalar. • Jika wujud pemalar  dan v sebagai vektor tak sifar yg memenuhi persamaan di atas maka: •  adalah nilai eigen bg A • v sbg vektor eigen yg sepadan • Apabila SPL bg btk Av = v ditulis dgn menggunakan matriks identiti maka ia bertukar btk seperti berikut => Av = Iv dgn I adlh matriks identiti. • Maka ia juga blh ditulis spt berikut => v(A-I)=0

  4. Jika matriks A : dan B adalah - é ù 3 2 1 - é ù 3 2 ê ú • Cth: = = - A B 1 3 1 maka : ê ú ê ú - 1 5 ë û ê ú - - 1 2 4 ë û - - l - é ù é ù é ù 3 2 1 0 3 2 - l = - l = A I ê ú ê ú ê ú - - - l 1 5 0 1 1 5 ë û ë û ë û - - l - é ù é ù é ù 3 2 1 1 0 0 3 2 1 ê ú ê ú ê ú - l = - - l = - - l dan B I 1 3 1 0 1 0 1 3 1 ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú ê ú - - - - - l 1 2 4 0 0 1 1 2 4 ë û ë û ë û

  5. Selesaikan |A-  I| = 0 dan |B – I| = 0 P1() = 2-8  +13 P2() = -3 + 2  2 +16 -25

  6. Bilangan nilai eigen bergantung kpd saiz sesuatu matriks: • matriks 2x2 => ada 2 nilai aigen • matriks 3x3 => ada 3 nilai aigen • matriks nxn => ada n nilai aigen • Ada beberapa kaedah yg sesuai utk mendptkan . • Teorem berikut perlu diketahui yg blh membantu memudahkan kiraan  utk matriks A bersaiz nxn dgn nilai eigen i dimana i=1,2,3,….,n

  7. Teorem 1 Hasil tambah nilai eigen = hasil tambah unsur pepenjuru • Teorem 2 Hasil darab nilai eigen = nilai penentu A

  8. TEOREM GERCHGORIN • Digunakan utk menganggarkan nilai  • Caranya: • Menentukan pusat bulatan dan jejari bulatan • Bg matriks A: • pusat bulatan => unsur pepenjuru aii • jejari bulatan => jumalah unsur lain (dlm nilai mutlak) pd baris yg sama • Dgn itu bulatan yg dihasilkan menjadi anggaran kpd  yg dicari • Bulatan terbesar dihasilkan yg mencakupi semua bulatan ini menjadi anggaran kasar kesemua nilai eigen yg ada

  9. contoh é ù 3 -2 1 ê ú -1 3 1 ê ú ê ú 1 -2 -4 ë û • Baris pertama • Pusat 3  jejari |-2|+|1| = 3 • Baris kedua • Pusat 3  jejari |-1| + |1| = 2 • Baris ketiga • Pusat –4  jejari |1| + |-2| = 3 -7 0 3 6 Anggaran nilai eigen  (-7, 6)

  10. KAEDAH KUASA • Digunakan utk mengira nilai eigen dominan dan vektor eigen • Nilai eigen dominan => nilai eigen yg mempunyai modulus terbesar • max(|1|, |2|, |3|,….., |n|) • Rumus Kaedah Kuasa :

  11. Langkah-langkah penyelesaian Kaedah Kuasa: • Dapatkan iaitu permulaan pada k = 0 dengan diberi nilai awal bg vektor eigen, • Kenalpasti nilai eigen dominan drpd • Nilai eigen dominan di notasikan sbg • Dapatkan nilai berdasarkan kepada nilai yang diperolehi berdasarkan kepada rumus Kaedah Kuasa • Semak penumpuan berdasarkan kepada syarat jika tidak memenuhi syarat teruskan lelaran • Nilai eigen yg di cari adlh berdasarkan kpd nilai apabila lelaran sudah menumpu. • Utk menyemak sama ada nilai eigen yg diperolehi BENAR atau TIDAK pastikan nilai eigen tersebut memenuhi persamaan berikut AV= V = 1/ k V

  12. contoh contoh é ù 1 2 -1 ê ú 1 0 1 ê ú ê ú 4 -4 5 ë û • Vektor permulaan v0 = [0, 0, 1]T m0 = 0 • v = Av(0) = é ù é 0 ù é -1 ù 1 2 -1 ê ú ê ú ê ú = m1 = 5 0 1 1 0 1 ê ú ê ú ê ú 1 5 ê ú ê ú ê ú 4 -4 5 ë û ë û ë û é -0.2 ù |v1 – v0|>  teruskan • v(1) = v/m1 ê ú 0.2 ê ú 1.0 ê ú ë û

  13. Samb. contoh v = Av(1) = é ù é -0.2 ù é -0.8 ù 1 2 -1 ê ú ê ú ê ú = m2 = 3.4 0.2 0.8 1 0 1 ê ú ê ú ê ú 1.0 3.4 ê ú ê ú ê ú 4 -4 5 ë û ë û ë û é -0.235 ù |v2 – v1|>  teruskan • v(2) = v/m2 ê ú 0.235 ê ú 1.0 ê ú ë û

  14. Samb. contoh mk+1 k v(k) Av(k) 0 1 2 3 4 5 6 7 0 -0.2 -0.235 -0.245 -0.248 -0.249 -0.250 -0.250 5 3.4 3.12 3.04 3.016 3.008 3.000 5 3.4 3.12 3.04 3.016 3.008 3.000 0 0.2 0.235 0.245 0.248 0.249 0.250 0.250 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 -0.8 -0.765 -0.755 -0.752 -0.751 -0.750 1 0.8 0.765 0.755 0.752 0.751 0.750 |v7 – v6| < , maka 1 m7 = 3.000 dan v 1  v7 = (-0.250, 0.250, 1.000)

  15. Kaedah kuasa berserta anjakan asalan • Kaedah kuasa boleh digunakan utk mencari nilai eigen yg lain • A – pI, p  faktor anjakan • Jika p adalah nilai eigen dominan bg A, maka matriks A-pI akan memberikan nilai eigen dominan yg baru, *. • Nilai eigen terkecil bg A boleh diperolehi spt berikut • k = p + *

  16. Kaedah kuasa berserta anjakan asalan Teorem: Jika  adalah nilai eigen bg A maka -p adalah nilai eigen bagi A-pI sepadan dgn vektor eigen v yg sama Oleh itu, jika {1 , 2 ,…N } adalah nilai eigen bg A bersaiz NxN dgn | 1 | | 2 | … | k | dan p= 1 (nilai eigen dominan bg A), nilai eigen bg A- 1 I adalah {1- 1 , 2 - 1 ,… N - 1 } dgn keadaan 0 | 2 - 1 |  …<| N - 1 |. N - 1 menjadi eigen domain bg A- 1 I Katalah *= N - 1 Maka N = * + 1 eigen terkecil

  17. contoh é ù 1 2 -1 ê ú A= 1 0 1 ê ú ê ú 4 -4 5 ë û • Dpd contoh sebelum, diperolehi nilai eigen dominan bg matriks A , 1= 3.0 v1 = [-0.25,0.25,1.00] • Dapatkan nilai eigen terkecil. • Penyelesaian: • Kira B = A- 1 I dgn 1= 3.0 é ù -2 2 -1 é ù é ù 1 2 -1 1 0 0 ê ú ê ú ê ú - 3 = 1 -3 1 1 0 1 0 1 0 ê ú ê ú ê ú ê ú 4 -4 2 ê ú ê ú ë û 4 -4 5 0 0 1 ë û ë û

  18. Samb. contoh v = Bv(0) dgn v (0) = [0, 1, 0] dan  = 0.001 é ù é 0 ù é 2 ù 1 2 -1 ê ú ê ú ê ú = m1 = -4 1 -3 1 0 1 ê ú ê ú ê ú 1 -4 ê ú ê ú ê ú 4 -4 5 ë û ë û ë û é -0.5 ù |v1 – v0|>  teruskan • v(1) = v/m1 ê ú 0.75 ê ú 1.0 ê ú ë û

  19. Samb. contoh mk+1 k v(k) Av(k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -0.5 -4 -3 -2.332 -2.144 -2.068 -2.032 -2.016 -2.008 -2.004 -2.000 -4 -3 -2.332 -2.144 -2.068 -2.032 -2.016 -2.008 -2.004 -2.000 1 0.75 0.583 0.536 0.517 0.508 0.504 0.502 0.501 0.5 0.5 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1.5 1.166 1.072 1.034 1.016 1.008 1.004 1.002 1.000 -3 -1.75 -1.249 -1.108 -1.051 -1.024 -1.012 -1.006 -1.003 -1.000 |v7 – v6| < , maka * m10 = -2.00 dan v* v10 = (-0.5, 0.5, 1.0) Maka nilai eigen terkecil 3 = *+1 = -2.0 + 3.0 = 1.0

  20. Samb. contoh Oleh kerana matirks A bersaiz 3 x 3, maka 2boleh ditentukan dari rumus n n å å a l = ii i = = 1 1 i i 1+ 2+ 3 = a11+ a22 + a33 = 1+0+5 = 6 2 = 6-1.0-3.0 = 2.0

More Related