Introducción a la Derivada

1. Introducción a la Derivada Antes de iniciar, esimportantereflexionar… Dóndeestoy, y a dóndevoy? Dominio del Cálculo Diferencial Lo que yo quiero lograr!! Fuerzas externas que atacan Tácticas y acciones a tomar Posición actual Dónde estoy? Ej. Apatía, irresponsabilidad distracciones, etc.

2. Introducción a la Derivada Recordemos el caminotrazado… Unidad 1. Límite Cálculo Diferencial Unidad 2. Continuidad Unidad 3. La derivada Unidad 3. La derivada Ya analizamos funciones… También limites de funciones… Y el tema que iniciamos hoy es…. Unidad 4. Integrales Pero, antes de iniciarveamosuna simple pregunta…

3. Introducción a la Derivada “La pregunta del millón…” Qué es una derivada? ( un minuto de silencio…) veamos un ejemplo...

4. Introducción a la Derivada “La pregunta del millón…” Si tenemos una función definida por La mayoría contestaría: “su derivada es: ” MUY BIEN!! ….. Pero…….. Qué es una derivada? “memorizar términos matemáticos y no tener la mínima idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..” “las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”

5. Introducción a la Derivada Algunosconceptosbásicos. La recta secante y la recta tangente en términos geométricos Recta tangente Recta secante “es una recta que tiene un punto en común con un circulo” “es una recta que intersecta un círculo en dos puntos” apliquemos lo anterior en una función..

6. Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original

7. Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original Recta secante

8. Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. La recta secante y la recta tangente en una función Función original Recta tangente

9. Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. Sabemos que una de las características principales de una recta es su pendiente (m) En términos muy simples la pendiente de una recta es un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!

10. Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta secante en la curva de una función es: Función original Recta secante

11. Introducción a la Derivada Algunos conceptos básicos. Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta tangente si solo conoce un punto? Recta tangente

12. Introducción a la Derivada Algo de historia. Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran : Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo Moderno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a una curva a través de lo que el llamo símbolos. Cómo?

13. Introducción a la Derivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE Observe que si hacemos diversas aproximaciones de rectas secantes, podemos hacer una muy buena estimación de la Pendiente de la recta tangente Supongamos que deseamos conocer la pendiente de la recta tangente en X=1

14. Introducción a la Derivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

15. Introducción a la Derivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

16. Introducción a la Derivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

17. Introducción a la Derivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

18. Introducción a la Derivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

19. Introducción a la Derivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

20. Introducción a la Derivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

21. Introducción a la Derivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

22. Introducción a la Derivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

23. Introducción a la Derivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

24. Introducción a la Derivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE Observa que el punto Cada vez se acerca más al punto Continuar Volver a mostrar Atajo

25. Introducción a la Derivada La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE Ahora, como expresar el comportamiento anterior en términos matemáticos?

26. Introducción a la Derivada La derivada. Aprox. Procedemos a sustituir:

27. Introducción a la Derivada La derivada. Considerando: Procedemos a sustituir:

28. Introducción a la Derivada La derivada. Ahora Consideremos:

29. Introducción a la Derivada La derivada. Ahora recordemos el comportamiento de las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

30. Introducción a la Derivada La derivada. Ahora recordemos el comportamiento de las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

31. Introducción a la Derivada La derivada. Se puede observar que el punto cada vez se aproxima más al punto pero no llegará a tocarlo Podemos expresar lo anterior así: lim Analizando dicho comportamiento, procedemos a aplicar un límite así:

32. Introducción a la Derivada La derivada. Finalmente considerando lo siguiente: lim La expresión nos queda así:

33. Introducción a la Derivada La derivada. Finalmente considerando lo siguiente: lim La expresión nos queda así:

34. Introducción a la Derivada La derivada. Este límite (el cual genera otra función), representala pendiente de las diversas rectas tangentes a la gráfica de una función….. Y se le conoce comúnmente como: = La Derivada Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así: Por su origen basado en incrementos lim

35. Introducción a la Derivada lim = La derivada. Y precisamente por esta fórmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido: Si tenemos una función definida por Entonces su derivada es: Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original Comprobemos lo anterior con una breve práctica..

36. Introducción a la Derivada Aplicación del límiteobtenido…. Procederemos a la aplicación del límite deducido para obtener la derivada de la función: Recordemos que la derivada esta definida por el límite: Al evaluar el término se puede observar que: Al sustituirlo obtenemos:

37. Introducción a la Derivada Aplicación del límiteobtenido…. Al desarrollar el binomio al cuadrado obtenemos: Reduciendo términos: Aplicando los teoremas sobre límites tenemos lo siguiente:

38. Introducción a la Derivada Aplicación del límiteobtenido…. 0 Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que: Si tenemos una función definida por Entonces su derivada es: Y gracias al desarrollo del límite anterior podemos generalizar su aplicación en diversas funciones, tal como se muestra en la siguiente tabla:

39. Tomada de “El Cálculo” por Louis Leithold Ahora apliquemos la derivada para obtener las pendientes de las rectas tangentes

40. Representación gráfica de: La función que representa su derivada es:

41. Representación gráfica de: La función que representa su derivada es: Suponga que deseamos conocer la pendiente de la recta tangente mostrada Al sustituir en la derivada el valor de X: Observe que:

42. Representación gráfica de: La función que representa su derivada es: De esta manera podemos obtener las pendientes de diversas rectas tangentes localizadas en la gráfica de una función

43. Representación gráfica de: La función que representa su derivada es: De esta manera podemos obtener las pendientes de diversas rectas tangentes localizadas en la gráfica de una función